高中数学 3.3《三角函数的图像和性质》教案（3） 湘教版必修2

1、课 题：14 三角函数的图象与性质（3）教学目的：1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3掌握正弦函数yAsin(x)的周期及求法教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1y=sinx，xR和y=cosx，xR的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线 2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x0， 2的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函数

2、yxo1-1y=cosx xÎ0,2p的五个点关键是(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1) 3定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R或(，)，分别记作： ysinx，xR ycosx，xR4值域正弦函数、余弦函数的值域都是1，1其中正弦函数y=sinx,xR当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1而余弦函数ycosx，xR当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值15周期性一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x

3、)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1°周期函数xÎ定义域M，则必有x+TÎM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2°“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)¹f (x0)）3°T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,-2p,-4p,都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k(

4、kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是26奇偶性ysinx为奇函数，ycosx为偶函数正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称7单调性正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1二、讲解范例：例1 求下列函数的周期：(1)y3cosx，xR；(2)ysin2x，xR；(3)y2sin(x)，xR解：(1)ycosx的周期是2只有x增到x2时，函数值才重复出现

5、y3cosx，xR的周期是2(2)令Z2x，那么xR必须并且只需ZR，且函数ysinZ，ZR的周期是2即Z22x22(x)只有当x至少增加到x，函数值才能重复出现ysin2x的周期是(3)令Zx，那么xR必须并且只需ZR，且函数y2sinZ，ZR的周期是2，由于Z2(x)2 (x4)，所以只有自变量x至少要增加到x4，函数值才能重复取得，即T4是能使等式2sin (xT)2sin(x)成立的最小正数从而y2sin(x)，xR的周期是4从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x的系数有关一般地，函数yAsin(x)，xR及函数yAcos(x)，xR(其中A、为常数，且A0，0)的周期T根据这个结论

6、，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期，如对于上述例子：(1)T2，(2)T，(3)T2÷4例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0(1)sin()sin()；(2)cos()cos()解：(1)且函数ysinx，x，是增函数sin()sin()即sin()sin()0(2)cos()coscoscos()coscos0且函数ycosx，x0，是减函数coscos即coscos0cos()cos()0例3 求函数y的值域解：由已知：cosxcosx1()213y22y802yymax，ymin2例4f(x)sinx图象的对称轴是 解：由图象可知：对称轴方程是：xk(kZ)

7、例5 (1)函数ysin(x)在什么区间上是增函数?(2)函数y3sin(2x)在什么区间是减函数?解：(1)函数ysinx在下列区间上是增函数：2kx2k (kZ)函数ysin(x)为增函数，当且仅当2kx2k 即2kx2k(kZ)为所求(2)y3sin(2x)3sin(2x)由2k2x2k得kxk (kZ)为所求或：令u2x，则u是x的减函数又ysin在2k，2k(kZ)上为增函数，原函数y3sin(2x)在区间2k，2k上递减设2k2x2k解得kxk(kZ)原函数y3sin(2x)在k，k(kZ)上单调递减三、课堂练习：1函数ycos2（x）sin2（x）1是( )A奇函数而不是偶函数

8、B偶函数而不是奇函数C奇函数且是偶函数 D非奇非偶函数2函数ysin（2x）图象的一条对称轴方程是( )Ax Bx Cx Dx3设条件甲为“yAsin(x)是偶函数”，条件乙为“”，则甲是乙的( )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4函数ysin4xcos4x的最小正周期为 5函数ysin2xtanx的值域为 6函数yxsinx，x0，的最大值为( )A0 B 1 C D 7求函数y2sin22x4sin2xcos2x3cos22x的最小正周期8求函数f（x）sin6xcos6x的最小正周期，并求f（x）的最大值和最小值9已知f（x），问x在0，上取什么值时，f（x）取到最大值和最小值参考答案：1A 2A 3B 4 50，2 6C 7 8 函数最大值