二次函数与四边形的动点问题(含答案)

1、精品文档1。迎下载二次函数与四边形一.二次函数与四边形的形状2例 1.如图，抛物线y x 2x 3与 x 轴交 A、B 两点(A 点在 B 点左侧)，直线l与抛物线交于 A、C 两点，其中 C 点的横坐标为 2.(1) 求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；(2) P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平 行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；(3)点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F,使 A C F、G 这样的四个 点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在， 求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存 在，请说明理由.练习 1.23 .如

2、图，对称轴为直线x-的抛物线经过点2A (6, 0)和 B( 0, 4).(1) 求抛物线解析式及顶点坐标；2)设点 E (x,y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF 的面积 S 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当平行四边形 OEAF 勺面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？是否存在点 E,使平行四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.B(0,4)A(6,0)精品文档2。迎下载练习 2. 25.如图，已知与x轴交于点A(1,0)和B(5,0)的抛物线L,

3、的顶点为C(3,4)，抛物线12与 h关于x轴对称，顶点为C(1)求抛物线12的函数关系式；(2)已知原点0,定点D(0,4),I2上的点P与li上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到 何处时，以点D,0, P, P为顶点的四边形是平行四边形?M，使ABM是以AB为斜边且一个角为30o的直角三角形？若存,B( 2,0),E(0,8)(1) 求抛物线Ci关于原点对称的抛物线C2的解析式；(2)设抛物线Ci的顶点为M，抛物线C2与X轴分别交于C, D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形MDNA的 面积为S若点A，点D同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分 别向右、向左运动；与此同时，点M

4、，点N同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写 出自变量t的取值范围；(3) 当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出 此最大值；(4) 在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求 出此时t(3)在12上是否存在点求出点M的坐标；若不存在,说明理由.练习 3.如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A( 4,0),7 A-274-5-fi-7-S精品文档3。迎下载的值；若不能，请说明理由.精品文档二.二次函数与四边形的面积例 1. 25.如图 10,已知抛物线 P: y=ax2+

5、bx+c(a丰0)与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在 x 轴的正半轴 上)，与 y 轴交于点 C,矩形 DEFG 勺一条边 DE 在线段 AB 上，顶点 F、G 分别在线段 BC AC 上，抛物 线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x-3-212y-52-4-520求 A、B C 三点的坐标；(2)若点 D 的坐标为(m, 0)，矩形 DEFG 勺面积为 S,求 S 与 m 的函数关 系，并指出 m 的取值范围；(3)当矩形 DEFG勺面积 S取最大值时， 连接 DF 并延长至点 M使 FM=kDF, 若点 M 不在抛物线 P 上，求 k 的取值范围.练习 1如图，平面直角坐标系中

6、有一直角梯形OMNH点H的坐标为(一 8, 0)，点N的坐标为(-6, 4).(1)画出直角梯形OMN绕点0旋转 180的图形OABC并写出顶点A,B, C的坐标(点M的对 应点为A,点N的对应点为B,点H的对应点为C);(2) 求出过A B, C三点的抛物线的表达式；(3) 截取CE=OF=A(=m且E,F,G分别在线段CQ OA AB上,求四边形BEFG勺面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；(4)在(3)的情况下，四边形BEFG1否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值， 并指出相等的邻边；若

7、不存在，说明理由.Av-H(-9* 0)pl.精品文档3欢迎下载K-a -4) )HI精品文档6。迎下载练习 3.如图，正方形ABCD的边长为2cm,在对称中心0处有一钉子.动点P,Q同时从点A出发，点P沿A B C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止.P,Q两点用一条可伸缩 的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm2.(1) 当0 x1时，求y与x之间的函数关系式；(2)当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；(3) 当1x2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时ZPOQ的变化范围；(4)当0 x2时，请在给出的

8、直角坐标系中画出y与x之间的函数图象.练习 4.如图，已知抛物线丨1：y=x2-4 的图象与x轴相交于A C两点，B是抛物线l1上的动点(B不与A C重合)，抛物线12与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD勺第四个顶点为D.(1)求12的解析式；(2)求证：点D一定在12上;(3)SBCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由.注：计算结果不取近似值精品文档7。迎下载三.二次函数与四边形的动态探究例 1. 28.如图 1,在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC已知0(0 , 0) ,A(4

9、, 0) , Q0 ,3)，点P是0A边上的动点(与点O A不重合)现将PAB沿PB翻折，得到PDB再在0C边上选取 适当的点己，将厶POE沿PE翻折，得到PFE并使直线PD PF重合.(1) 设P(x, 0),E(0 ,y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；(2) 如图 2,若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；(3) 在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q使厶PEC是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.图 1图 2例 2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上，点

10、C在y轴的正半轴上， 线段OB 0C的长(0汗00是方程x2- 10 x+ 16 = 0 的两个根，且抛 物线的对称轴是直线x=- 2.(1) 求A B、C三点的坐标；(2) 求此抛物线的表达式；(3)连接AC BC若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合)，过点E作EF/ AC交BC于点F,连接CE设AE的长为mCEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的 取值范围；(4) 在(3)的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出8642- 一氐-4 -2 Q4 i S精品文档8。迎下载的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时BCE勺形状；若不存在，请说明理由.例 3如

11、图，矩形ABCDK AB=3,BC= 4,将矩形ABC沿对角线A平移，平移后的矩形为EFGH(A E、C、G 始终在同一条直线上)，当点 E 与 C 重时停止移动.平移中EF与BC交于点N, GH与BC的延长线交于点MEH与DC交于点P, FG与DC的延长线交于点Q设 S 表示矩形PCM的面积，S表示矩形NFQC勺面积.(1)S与S相等吗？请说明理由.(2)设AE= x,写出S和 x 之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？3)如图 11,连结 BE,当AE为何值时，ABE是等腰三角形.练习 1.如图 12,四边形OAB(为直角梯形，A(4,0),B(3, 4),C(0,

12、4).点M从0出发以每秒 2 个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒 1 个单位长度的速度向C运动.其 中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q连结MQ(1)点(填M或 N)能到达终点；(2) 求厶AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；图 12精品文档9。迎下载（3）是否存在点M使得AQM为直角三角形？若存在，求出点 若不存在，说明理由.练习 2、实验与探究（1）在图 1, 2, 3 中，给出平行四边形ABCD的顶点A B,ABCD的顶点A, B,D的坐标（如图所示），求出顶

13、点C的M的坐标,D的坐标（如图所示），写出图 1,2，3 中的顶点C的坐标，它们分别是(5,2)，（2）在图 4 中，给出平行四边形f的代数式表示）；图 4精品文档10。迎下载坐标（C点坐标用含a，b, c, d, e,归纳与发现（3）通过对图 1, 2, 3, 4 的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a, b）,B（c,d）,C（m, n）,D（e, f）（如图 4）时，则四个顶点的横坐标a, c, m, e之间的等量关系为；纵坐标b,d,n,f之间的等量关系为（不必证明）；运用与推广1519（4）在同一直角坐标系中有抛物线

14、yx2（5c 3）x c和三个点G C,c,S- C,c,222 2H （2c,0）（其中c 0） 问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G, S, H,P为顶点的四精品文档x11欢迎下载 y0, y 表示点 E 到 OA 的距离 OA 是YOEAF的对角线,17S 2SVOAE2 2 OA y 6y 4( )225.边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标.答案：一.二次函数与四边形的形状例 1.解：(1 )令 y=0,解得xi1或x23 A (-1 , 0) B (3, 0);将 C 点的横坐标 x=2 代入y2x 2x 3得 y=-3 , C(2, -3 ) 直线AC 的函数解

15、析式是 y=-x-1(2)设 P 点的横坐标为 x (-1wxw2)贝 9 P、E 的坐标分别为：P (x,-x-1 ),E (x,x22x 3) /P 点在 E 点的上方，PE=( x 1) (x22x 3)x2x19当x2时，PE的最大值=4(3)存在 4 个这样的点 F,分别是F1(1,0), F2(3,0),F3(4F4(47,0)精品文档12。迎下载因为抛物线与x轴的两个交点是(1, 0)的(6, 0),所以，自变量x的 取值范围是1vXv6.根据题意，当S=24时，即4(x $2524.721化简，得(x ).解之，得捲3,X24.24故所求的点 E 有两个，分别为 E ( 3,

16、4), E2(4, - 4).点 E1(3, 4)满足 OE = AE，所以YOEAF是菱形；点 E2(4, 4)不满足 OE = AE，所以YOEAF不是菱形.当 OAL EF,且 OA = EF 时，YOEAF是正方形，此时点坐标只能是(3, 3).而坐标为(3, 3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点E,使YOEAF为正方形.54练习 2.解：(1)由题意知点C的坐标为(3,4).设l2的函数关系式为y320，解得a11又Q点A(1,0)在抛物线y a(x 3)24上,(1 3)2a 4抛物线l2的函数关系式为y (x 3)24(或y x26x5).(2)Q P与P始终关于x轴对称,PP

17、与y轴平行.设点P的横坐标为m,2则其纵坐标为m 6m 5,QOD1O23452 mE4.BC4，即l2A23l1m26m 5当m26m52时，解得m 3当m26m 52时，解得当占=1八、 、P运动到(3v 6,2)或(3.6,2)或(32,2)或(32，2)时,，以点D,O, P,P为顶点的四边形是平行四边形.(3)满足条件的点 M 不存在理由如下：若存在满足条件的点M在|2上，则AMB90o,Q BAM 30o(或ABM30),BM AB2过点M作MEAB于点E，可得BMEBAM 30o.EB BM2点M的坐标为(4,. 3)但是，当x 4时，y 426 4516 2453.3.不存在这

18、样的点M构成满足条件的直角三角形.精品文档x13欢迎下载精品文档14。迎下载练习 3.解(1)点A( 4,0)，点B( 2,0)，点E(0,8)关于原点的对称点分别为D(4,0),C(2,0),F (0,8).设抛物线C2的解析式是1 :t16a 4b c 0,a1, y ax2bx c(a 0)，贝U4a 2b c 0,解得b 6,c 8.c 8.-4所以所求抛物线的解析式是yx26x 8.(2)由(1)可计算得点M( 3, 1), N(3,.一过点N作NH AD，垂足为H. 2当运动到时刻t时，AD 2OD 8 2t,NH 1 2t.-3B4根据中心对称的性质OA OD,OM ON，所以四

19、边形MDNAV是平行四边形. 67所以S 2SAADN.所以，四边形MDNA的面积72S (8 2t)(1 2t) 4t 14t 8.因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知0t 4.24t 14t8,t的取值范围是0t 4.781(3)S 4 t, (0t 4).44781所以t时，S有最大值一.44提示：也可用顶点坐标公式来求.(4)在运动过程中四边形MDNA能形成矩形.由(2)知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD, MN，所以当AD MN时四边形MDNA是矩形.所以OD ON.所以OD2ON2OH2NH2.所以t24t22 0.解之得t1- 6 2, t26 2(舍).所以在运动过

20、程中四边形MDNA可以形成矩形，此时t . 62.点评本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。二.二次函数与四边形的面积所以，所求关系式是S精品文档x15欢迎下载例 1.解：(1)解法一：设y ax2bx c(a 0),精品文档16。迎下载任取 x,y 的三组值代入，求出解析式y = x2+ X- 4 ,2令 y=0,求出 x1= - 4,x2= 2 ；令 x=0，得 y=-4 ,A、B C 三点的坐标分别是 A(2 , 0) , B(-4 , 0) , C(0, -4).解法二：由抛物线 P 过点(1，-5)，(-3，-5)可知，2 2抛

21、物线 P 的对称轴方程为 x=-1 ,又抛物线 P 过(2 , 0)、(-2 , -4)，则由抛物线的对称性可知，点 A、B、C 的坐标分别为 A(2 , 0) , B(-4 , 0) , C(0, -4).(2)由题意，AD= DG，而 AO=2 OC=4 AD=2-m 故DG=4-2mAO OCBEEF又 =,EF=DG 得 BE=4-2m DE=3m,BO OC2SDEFG=DG DE=(4-2m) 3m=12m-6m (0vm 0.9说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分若选择另一问题：/ AD-DG，而 AD-1, AO-2 OC-4 则 DG-2 AO OCFGCP又T-，而 AB

22、-6, CP-2 OC-4 贝 U FG-3AB OCSDEFG-DG FG-6.练习 1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC .1 分 A, B,C三点与M N, H分别关于点0中心对称，A(0 , 4) ,B( 6 , 4) ,C(8 , 0). 3 分(写错一个点的坐标扣 1 分)y = x-3又可求得抛物线 P 的解析式为：y精品文档17欢。迎下载(2)设过A,B,C三点的抛物线关系式为抛物线过点A(0, 4),则抛物线关系式为精品文档18欢。迎下载. 4分4），C（ 8，0）两点坐标代入关系式，得垂足为G贝 y Sin /FEG=sin /CAB=将B（ 6，5AB，精品文档19

23、欢。迎下载解得.6分所求抛物线关系式为：. 7分(3).：0A=4,0(=8,.AF=4-m精品文档20欢。迎下载0E=8 m . 8 分精品文档21欢。迎下载OA（AB+OC）AFAG精品文档22欢。迎下载OEOFCEOA精品文档23欢。迎下载10 分0V精品文档24欢。迎下载时，S的取最小值-0nK4,二不存在m值，使S的取得最小值. . 12 分4）当GB=GF， 当时，BE=BG.14 分又精品文档19欠迎下载(4)如图所示:练习 4.解(1) 设12的解析式为y=ax2+bx+c(0),/11与x轴的交点为A(-2 , 0) , Q2 , 0)，顶点坐标是(0,-4) ,l2与l1关

24、于x轴对称, 丨2过A(-2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0 , 4),4a 2b c 0,- 4a 2b c 0,c 4.a=-1,b=0,c=4,l卩12的解析式为y= -x2+4 .(还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)(2)设点B(m n)为11:y=x2-4 上任意一点，则n=m2-4 (*).四边形ABCD是平行四边形，点A C关于原点O对称，B、D关于原点O对称，点D的坐标为D(-m-n).22由(*)式可知，-n=-(m-4)= -(-m+4,即点D的坐标满足y= -x2+4,点D在l2上. DABCD能为矩形过点B作BHLx轴于H,由点B在I1：y=x2-4 上，可设点

25、B的坐标为(x。，x2-4),2则OH|X0| ,BH=|X0-4| .易知，当且仅当BO AG2 时，OABCC为矩形AP 2x,AQ x,y 1 AQgAP x2,即y2x.(2) 当S1边形ABPQ2S正方形ABCD1BP2x2, AQ x,12x2(3)4当1wxw时，AB 2,PB2x 2, AQ xAQBP 5x 2x 2ygAB22即y3x2 .练习 3.解(1 )当0 x1时,时, 橡皮筋刚好触及钉子,22,3x作OE丄AB,E为垂足.4当一wx2时，BP32x 2,AQOEyS梯形BEOPS梯形OEAQ1 2x90oZPOQw180o或180oD(3 , 1).因此，符合条件

26、的矩形有且只有2 个，即矩形ABC刖矩形ABCD.设直线AB与y轴交于 .EO=BH. EO AO=AH，三 EO4-2 . 3 .三.二次函数与四边形的动态探究例 1.解：(1)由已知PB平分/APD PE平分/OPF且PD PF重合，则/BP匡 90OPEF/APB=90 又/APBb/ABP=90OPE/PBARtPO0RtBPA1且当x=2 时，y有最大值-.3由已知，PABPOE匀为等腰三角形，可得123彳y=x x 1.22由(2) 知/EP号 90即点Q与点B重合时满足条件.ac 1,y=ax2+bx+c,贝U a b c0,-b16a 4bc 3.c设过此三点的抛物线为2321

27、.E，显然,12,3AOEAHB由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形ABCD重合部分是菱形， 其面积为S=2SycxAC XEO=2 gX4&4-23 )=16 - 8/3 .PO BAOE AP即-.y=-x(4x)y 4 x31x24x(0vxv4).33R1,0),耳 0,1), 04 ,3).1精品文档2(欢迎下载直线PB为y=x 1,与y轴交于点(0，- 1).将PB向上平移 2 个单位则过点 日 0 , 1),该直线为y=x+ 1.y x 1,x 5,由123得- Q(5, 6).y x2x 1, y 6.2 2故该抛物线上存在两点Q4 , 3)、(5 , 6)满足条件.例

28、 2.解：(1)解方程x2 10 x+ 16= 0 得x1 = 2,x2= 8. 1 分点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB OC精品文档28欢。迎下载点B的坐标为(2, 0)，点C的坐标为(0, 8) 又抛物线y=ax2 +bx+c的对称轴是直线x=-2由抛物线的对称性可得点A的坐标为(一 6, 0). 4 分(2)v点 C(0, 8)在抛物线y=ax2 +bx+c的图象上c= 8，将A(-6, 0)、B ( 2, 0)代入表达式，得解得精品文档29欢。迎下载所求抛物线的表达式为y=x8(3)依题意，AE= m则BE=8-m/ OA=6,OC=8,.AC= 107 分x2精品文

29、档30欢。迎下载/ EF/ AC BEDA BAC精品文档31欢。迎下载二EF=精品文档=832欢。迎下载FG精品文档33欢。迎下载S=SBCE SBFE=m8m）（8m）（8m）X8精品文档34欢。迎下载(8 m)( 8 8 +m)=(8m)m=精品文档35欢。迎下载m2+ 4m . 10 分精品文档36欢。迎下载自变量m的取值范围是 0vRK8（ 4）存在理由：/S=-m-4)2 8且-11 分m2 4m精品文档37。迎下载当m 4 时，S有最大值，S最大值=8. 12 分Tm= 4，点E的坐标为（一 2, 0）BCE为等腰三角形.14 分（以上答案仅供参考， 如有其它做法， 可参照给分）

30、例 3 解：（1）相等因为四边形ABCD EFG!是矩形,理由阜疋：所以SEGHSEGF，SECNSECP，SCGQSCGM所以SEGHSECPSCGMSEGFSECNSCGQ，即:(2)AB=3,BC=4,AC=5,设AE= x，贝V EC=5 x,PC3(5x), MC5所以S PCgMC2?x(5 x)即S2|x212亍(0 x 5)精品文档38。迎下载精品文档39。迎下载125K配方得：s（X ）23,所以当X5时，2522S有最大值 3（3）当AE= AB=3 或AE= BE=5或AE=3.6 时，ABE是等腰三角形2练习 1.解：（1）点M1 分（2）经过t秒时，NBt，OM2t则

31、CNt,AM 4 2t/BCA=MAQ=45o QNCNSAAMQAMgPQ丄(4 2t)(1 t)2 2t2t 2t21 0t2当t丄时,2S的值最大.（3）存在.设经过 t 秒时,NB=t,OM=t则CN 3 t,AM2tBCA=MAQ=45o若AQM 90，则PQ是等腰 RtMQA底边MA上的高PQ是底边MA的中线PQ AP丄MA 12t 1(42t) t点M的坐标为（1, 0）若QMA 90，此时QM与QP重合QM QP点M的坐标为（2,0)练习2.解：（1）（ec, d),(c e a,d).(2)分别过点A,B,C,D作x轴的垂线，垂足分别为A1,B1,C1,D1分别过A,D作AE

32、BB1于E,DFCC1于点在平行四边形ABCD中，CD BA,又Q BB1/CC1,EBAABCBCF ABCBCFFCD180.c%甲D(e, f )EA(a,b)xB1A1GD1EBAFCD.又Q BEACFD90,BEACFD.AFDF a c,BECF d设C(x,y).由e xc，得xd b，得yC(ea,f db).(3)mc e a,nd f b.精品文档3(欢迎下载(4)若GS为平行四边形的对角线，由(3)可得R( 2c,7c)要使P在抛物线上，则有7c 4c2(5c 3) ( 2c) c,即c2c 0Ci 0(舍去)，C21.此时Pi( 2,7)若SH为平行四边形的对角线，由(3)可得F2(3c,2c)，同理可得c 1，此时P2(3,2).若GH为平行四边形的对角线，由(3)可得(c,2c)，同理可得c 1，此时F3(1, 2).综上所