几个分形的matlab实现教学文案

1、几个分形的mat l ab实现几个分形的matlab实现摘要：给出几个分形的实例,并用 matlab编程实现方便更好的理解分形,欣赏其带来的数学美感关键字：Koch曲线实验图像一、问题描述：从一条直线段开始,将线段中间的三分之一局部用一个等边三角形的两边代替,形成山丘形图形如下在新的图形中,又将图中每一直线段中间的三分之一局部都用一个等边三角形的两条边代替,再次形成新的图形如此迭代,形成 Koch分形曲线.二、算法分析：考虑由直线段(2个点)产生第一个图形(5个点)的过程.图1中,设Pi和P5分别为原始直线段的两个端点,现需要在直线段的中间依次插入三个点F2,E, P-显然P2位于线段三分之一

2、处,P4位于线段三分之二处,E点的位置可 0看成是由P4点以P2点为轴心,逆时针旋转60而得.旋转由正交矩阵cos(-)sin(-)A 33sin(-) cos(-)实现.算法根据初始数据(P,和P5点的坐标),产生图1中5个结点的坐标.结点 的坐标数组形成一个5 2矩阵,矩阵的第一行为Pi的坐标,第二行为P2的坐 标,第五行为P5的坐标.矩阵的第一列元素分别为5个结点的X坐标,第二 列元素分别为5个结点的y坐标.进一步考虑Koch曲线形成过程中结点数目的变化规律.设第 k次迭代产生 的结点数为n第k 1次迭代产生的结点数为那么&和nki中间的递推关 系为 nki 4nk 3.三、实验

3、程序及注释:p=0 0；10 0；%函初始两个点的坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标n=2;%讷结点数A=cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3);顺转矩阵for k=1:4 d=diff(p)/3;m=4*n-3;q=p(1:n-1,:);p(5:4:m,:)=p(2:n,:);p(2:4:m,:)=q+d; p(3:4:m,:)=q+d+d*A' p(4:4:m,:)=q+2*d;n=m;end%diff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量%!心就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应%迭代公式%以原点为起点,前n

4、-1个点的坐标为终点形成向量plot(p(:,1),p(:,2) axis(0 10 0 10)%绘出每相邻两个点的连线4k+2位置上的点的坐标4k+3位置上的点的坐标4 k位置上的点的坐标%迭代后处于4k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标 %用向量方法计算迭代后处于 %用向量方法计算迭代后处于 %用向量方法计算迭代后处于 %迭代后新的结点数目四、实验数据记录: 由第三局部的程序,可得到如下的Koch形曲线:图21 .参照实验方法,可绘制如下生成元的 Koch分形曲线:图3此时,旋转矩阵为：cos(-)sin(-)sin(-)cos(-)p=0 0；10 0； n=2;A=0 -1;1 0

5、;for k=1:4d=diff(p)/3;p(6:5:m,:)=p(2:n,:);p(2:5:m,:)=q+d;程序和曲线如下:%的初始两个点的坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标%讷结点数%1转矩阵%diff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量%!心就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应m=5*n-4;建代公式q=p(1:n-1,:);%以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量%迭代后处于5k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标湘向量方法计算迭代后处于5k+2位置上的点的坐标5k+3位置上的点的坐标5k+4位置上的点的坐标 5k位置上的点的坐标p(3:5

6、:m,:)=q+d+d*A'p(4:5:m,:)=q+2*d+d*A'p(5:5:m,:)=q+2*d;n=m;end湘向量方法计算迭代后处于 湘向量方法计算迭代后处于 湘向量方法计算迭代后处于 “迭代后新的结点数目p(3:5:m,:)=q+d+0.7*d*A'p(4:5:m,:)=q+2*d+0.7*d*A'p(5:5:m,:)=q+2*d;n=m;族出每相邻两个点的连线plot(p(:,1),p(:,2) axis(0 10 0 10)图4由于中间 三分之一 局部是一 个正方形 时,有很 多连接的 局部.所 以我们将高度压缩到原来的0.7倍,即中间局部为一个

7、长与宽之比为1:0.7的矩 形时,得到程序和曲线如下:p=0 0;10 0;%的初始两个点的坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标n=2;%n结点数A=0 -1;1 0;%1 转矩阵for k=1:4d=diff(p)/3;%diff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量%!心就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应m=5*n-4;%1代公式q=p(1:n-1,:);%以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量p(6:5:m,:)=p(2:n,:);%迭代后处于5k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标p(2:5:m,:)=q+d;湘向量方法计算迭代后处于5k+2位置

8、上的点的坐标湘向量方法计算迭代后处于5k+3位置上的点的坐标湘向量方法计算迭代后处于5k+4位置上的点的坐标湘向量方法计算迭代后处于5k位置上的点的坐标“迭代后新的结点数目endplot(p(:,1),p(:,2)叫出每相邻两个点的连线axis(0 10 0 10)图52 .参照实验方法,我们由四边形的四个初始点出发,对于四边形的每条边,生成元如下：可得到火焰般的图形程序和曲线如下:p=0 10;10 0;0 -10;-10 0;0 10;%的四边形四个顶点的坐标,其中第五个点与第一个点重合,以便于绘图%第一列为x坐标,第二列为y坐标n=5; %讷结点数A=cos(-pi/3) -sin(-p

9、i/3);sin(-pi/3) cos(-pi/3);for k=1:5d=diff(p)/3;m=4*n-3;%迭代公式q=p(1:n-1,:);p(5:4:m,:)=p(2:n,:);p(2:4:m,:)=q+d;p(3:4:m,:)=q+2*d+d*A'p(4:4:m,:)=q+2*d;n=m;endplot(p(:,1),p(:,2)顺转£!阵,顺时针旋转60度图73 .参照实验方法,由以下的生成元,绘制 Koch分形曲线:axis(-10 10 -10 10)分析：为了绘图方便,我们将结点数处理一下,把第一次迭代产生的六个点看成十个点,即图中有五条线段(12, 34

10、, 5 6, 7 8, 9 10),我们将每条线段的每个端点看成新的两个结点,这样我们就可以很方便地用plot绘图了.程序和曲线如下：p=0 0;10 10;%明初始两个点的坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标n=2;%讷结点数A=cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3);B=cos(-pi/3) -sin(-pi/3);sin(-pi/3) cos(-pi/3);%旋转£1阵A对应于第一次逆时针旋转60度,旋转£1阵B寸应于第二次顺时针旋转60度for k=1:4d=diff(p)/3;d1=d(1:2:n,:);%取每条线段对应的

11、向量m=5*n;%1代公式q1=p(1:2:n-1,:);p(10:10:m,:)=p(2:2:n,:);p(1:10:m,:)=p(1:2:n,:);%迭代后处于10k与10k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标p(2:10:m,:)=q1+d1;%用向量方法计算迭代后处于10k+2,10k+3,10k+5位置上的点的坐标,都相同p(3:10:m,:)=p(2:10:m,:);p(4:10:m,:)=q1+d1+d1*A'%用向量方法计算迭代后处于10k+4位置上的点的坐标p(5:10:m,:)=p(2:10:m,:);p(6:10:m,:)=q1+2*d1;%用向量方法计算迭代后处于10k+6,10k+7,10k+9位置上的点的坐标,都相同p(7:10:m,:)=p(6:10:m,:);p(8:10:m