2019高考数学必考题型解答策略：数列

1、2019 高考数学必考题型解答策略：数列数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向考 查基础是基本方向、 从课标区的高考试题看， 试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空 题，一道解答题、由此我们可以预测2018 年的高考中，数列试题会以考查基本问题为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制、备考建议1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决。如通项公式、前 n 项和公式等 2.运用方程的思想解等差（比）数列,是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a、aid（或 q）,掌握好设未知数、列出方程、解方程三个

2、环节，常通过设而不求，整体代入”来简化运算。3.分类讨论的思想在本章尤为突出学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1 和 qz1 两种情况等等。4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外。如 与anSn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等复习时，要及时总结归纳。5.深刻理解等 差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键。 6.解题要善 于总结基本数学方法如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果。7.数列应用题将是命题的热点，这类题关键 在于建模及数列的一些相关知识的应用。解答策

3、略1、定义：等差数列a. uan 1-a.=d（d为常数厂二2aan 1- a.,n _2, nN*）2；sn= AnBn an 12 =q(q=0)u an=an-1a., n 一 2, n N) an二 an=cqn(c，q 均为不为 0 的常数)二 Sn = k - kqn(q = 0，q = 1, k = 0)；等签数列等比故列通项公式口= 口+3 l)c7狂.=-=g 1 +- d* 2121今=甘仁 =刃码*-qa a1, 血性质 甘為 f 蛙1巴-*成AP*為-禺成等比数列an6 灯成GP+7二硏 J项数为 2n 时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n) ;oS偶一5

4、 奇=ndS奇S偶an -1假设Sn二Sm,(m= n),则Sm.n=0。3、数列通项的求法:J；作商法品an4型；待定系数法；（io）理科数学归纳法。注：当遇到时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。n 1-an4或也=qan 44、前n项和的求法：拆、并、裂项法；倒序相加法；错位相减法。5、等差数列前 n 项和最值的求法：.an- 0 an 1-0考点一等差、典型例题 的前 n 项和为 o ,。，。，成等差数列1求的公比 q； 2ansnS1S3S2an( I )依题意有-(码-切=二(口： -口迢-判蟹予由于昭=0,故】g * + g 0 g二：0,向:;二一It)由已知可得：(-=)

5、=3故%=4从而1-抄)s41-(-3)，项数为 2n-1 时:S2n-i=(2n-1)S偶n -1假设anfam二n,(m = n),贝Vam -n0；假设Sn二m,Sm二n,则Sm -n-(m n)分析法；定义法利用AP,GP 的定义;公式法：累加斗爲J爲n叠乘法an +an型；构造法an卅一cn= kan+ b型；6迭代法;2、 等差、 等比数列性质 等差数列特有性质：间接法例如:an- 0 an 1-0等比数列的概念与性质;利用二次函数的图象与性质。例 1 :等比数列求a1-a3求 S.【名师点睛】：关于 等差、 等比数列的问题，首先应抓住(16-3d)(16 3d) =220即256

6、 -9d2=220.d2=4,又d 0, d =2,代入得a1.an=1 (n -1) 2=2n -12令b两式相减得Cn二才,则有 an =CC2川 * Cn,an 1C2Cnjan 1-aCn .1,由(1得a1,and-a2 Cn1=2,Cn=2(n_2),即当n_2时，bn= 2n 1又当n=1时，b 2a 2：2,( n=1)2n 1(n一2)Sn勺1b2glbn= 2 2324HI 2n1=2”23川八4=2_4才2_6,即露尹一 6项公式：n假设数列an和数列bn满足等式：an=bbbb,b1+b；+bb；(n 为正整数) 2 222方法具有极大的普遍性，需用心掌握，但有时运算繁

7、杂，要注意计算的正确性；假设能恰当地运用性质，可减少运算量、例 2： an是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a3a6= 55,a2+a?= 16.(I)求数列an的通求数列bn的前 n 项和 S解1解：设等差数列0 由 a2+a?= 16.得a，d,q,通过列方程组来解、此2a,7d =16由a3a6=55,得 佝2d)佝5d) =55由得2a17d将其代入得【名师点睛】：在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。考点二求数列的通项与求和bn是等比数列丨求数列an的通项公式。解:f I】

8、由玛=1：及S=也严2,有碍 +还=4a 二 口： =-r 2 = 5t.= 3由g =乜. 则当罐上2时.有 = 4a,_.2.一7前=4a,:- 4住心阿；吩汀住严2（ -又叫二也轴 二魅=爲刈二是首项毎=氣公比为2的等比数列.%（II）由（I）可得瓦気二肥叫二孕-终=2K血叫 一亠护她斗仁数列第是首项为2,公差沖二的等比数列-A=224-34 44保，= （5-1）心 z【名师点睛】：一般地，含有的递推关系式，一般利用.化“和”为SnIS|, n 1an= IS-和,n_2“项”。例 3.设数列 的前n项和为anSn, a1-1,Sn 1=4an2设bn =an .1-2an，证明数列例

9、 4：在数列（中,anai -1，并且对任意nN”，n_2都有an&an-an成立，3bn彳、I求数列.的通项公式；n求数列（的前 n 项和1.bnan（n N）n-Tnan解：当nFl时* = =3,当耳MJSJ,由4寸.：=戊小纽:得-=1所以劣-虹“所以数列紡,是首项为出公差为1的等差数列，所以数列色J的通项公式知一 + )=41 ?+24(+3?-24【名师点睛】：裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾假设干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同考点三数列与不等式、函数等知识的联系例 5：数列a!是等差数列，c-a2g2（n迂 N* ） 1

10、判断数列Q是否是等差数列，并说明理由；2如果ai. aa25= 130,a2aa21413kk 为常数，试写出数列：；的通项公式；3在2的条件下，假设数列围；假设不存在，说明理由。22an-a1(；一1)d-(1一kn(13k -3)Cn- anan1- (anan 1)(anan)=26k2-326 -(2n 1)(1 - k2) =-2(1 - k)2n 25k -30k53因为当且仅当n =12时Sn最大.有w 0（3：0.两式相减：1313一低d=i. 13 印13(13一1)2d30 一2恢2Tai a3a25= 130，a2a4|l( a26=143 13k1 1- s ?i(u+

11、 .2)- 2.飞 + 21卜r *?s-l 75+13K- 54(邺 亠c；得前 n 项是否存在这样的实数k，使S当且仅当n=12时取得最大值。假设存在，求出k的取值范d，那么-(an 1-a；2) - (a；-a：1)2 2-2a；1-(a；1- d)2 (a；1d)2d2数列cn是以-2d2为公差的等差数列解:的公差为艮卩.2 2-24(1 -k)225k -30k 5 0 - | k218k -19 . 0-36(1 - k)225k2-30k 5 0k-22k 21 . 0二k 1或或：T9二k：_19或k 21k 21或k :：: 1【名师点睛】：解综合题的成败在于审清题目，弄懂来

12、龙去脉，透过给定信息的表象，抓住 问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略、例6:数列 押的首项a2a1a是常数，且a1，a2anJn4n 2辽2，数列亦的首项d=a，bn=an+n2让2。1证明：仏从第2项起是以 2 为公比的等比数列；2设S为数列屯；的前 n 项和，且：S；是等比数列，求实数a的值；3当90时，求数列 召；的最小项提示：当n_3时总有2n2n亠1解I (1)* 占,= ： + 凤二B注=a &1) = 2金：七(魁 +1) 4(): -r 1) + + G：+1)2K= 2b. Cn2)由场=la1得zr二肱，+ 4 4o + 4* /

13、a =/张4-a4即行，从第2项起是以2为公比的等比数列.2re- 0-4汕丈乜+扣4（n多2）是常数，；3盘卡4 0 I即海二一一(3)由(D知当杆2】时*i.:= (4j + 4)2:_i=(ci+l)2所以乩理 人爼昇-口；=(穴 +1)2冷 一埋*1) */: 3 25+1二喘二封 0：.；上戊一：显然叢小项是前三项中的一顼.当4（二）时，最小项为弘-1：当1时，最小项为4a或8a1；当11时，最小项为4a；当1时，最小a a（一， ）aSn丫目J是等比数列$ =44 22项为4a或2a 1；当i时，最小项为2a -1 叫，切【名师点睛】：、对数列中的含 n 的式子，注意可以把式子中的

14、 n 换为门+1或门_1得到相关 的式子，再进行化简变形处理；也可以把 n 取自然数中的具体的数 1, 2，3等，得到一些 等式归纳证明并求出数列 咕；的通项公式；2设1111，假设对任意的正整00 =+an 1an 2an 3a2n数n，当m1,1时，不等式t2_2mt 1 J亘成立，求实数七的取值范围。6解I (1) */ 2(- 2*1 Opj 2. FI5 X j当科时* j 一盘*：之21,a._L-*2i h,牛一牛2x 3,色 2：当并1时* 口：1 “1 7也満定上式.敎列;务的通项公式为比i -112刑21|I w-1:(料2丨(K-2 1 pz-3i詁if击-2r-3:-l

15、 -忑 令加.汕则f：k 时，SniSn2(Sn+Sk)都成立。1设归1，a2，求a5的值;2设 M= 3, 4,求数列a i 的通项公式。 an所以at=3 +l）=2nl :=!.（!,_L）,4 n n+14解析 ( 1 )=ISA+ S.A= 2(S. +丸A矍 -S.=於* +即：所以Qi时1：订；成等差而a2=2$ =玄乌=2(邑#坊)逐=7;陌=4二吗=鞫(2)由题憲1 yfnSS+54 =2(SS.)A-)能八 $“ + 仏=2(5 +Vn 戈仏 + 丫“ =2(九+$J(当越25时，由1) (2)得：-= 2t?ie(5)由(3)(4)亀 並好一卷心二 知 由(1X3)得：

16、+ =20.由2)(4)得，g丄 异=2貳N;由(7)“)知；口爲：吃：心成等差* 耳小绻小成等差；设公差分别为：d由(E) (6)得:耳 t心 +化: (9); 农“ +2rf *1* 2rt-. (10),由C 9) (10)“ 工 浦i *浦2应歸s=&工d； 土2)等差，设公差为d在(1)(2)中分别取11=4, n=5得;2 Sa; 2&f = 2(2十岂9即3业5rfT a;= 3r7、某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M M 的价值在使用过程中逐年减少， 从第 2年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每

17、年初 M 的价值为上年初的 75% I求第 n 年初 M 的价值 c 的表达式；II 丨设a.aaan八_厲a?m十a*An =n假设A大于 80 万元，那么 M 继续使用，否那么须在第 n 年初对 M 更新，证明：须在第 9An年初对 M 更新、解析：I当n乞6时，数列a是首项为120,公差为_10的等差数列、anan=120 -10( n -1) =130 -10n;当n_6时，数列a是以a为首项，公比为3为等比数列，又a=70，所以n66an=70(弓严4因此，第n年初，M 的价值的表达式为an12010( n1) =130 -10 n,n乞63n _6an= 70 x(：),nX74(

18、II)设S表示数列a 的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得Snan当1n一6时，Sn=120n -5n(n -1), An=120 -5(n -1) =125 -5n;当n-7时，333Sn二S (a鬼 |(an) =570 70 4 1 -()心=780-210()心444780210弓严Ann因为/ i 是递减数列，所以是递减数列，又 anAn33780-210 (-)847780-210匕严79A4一=8280, A94一=7680,864996所以须在第 9 年初对 M 更新、【解析】；(I r=-c: = a a4=a(a - Sc?) = d a-0： 込知*5JJ口：= :十

19、(用一I =口: 一 0：一1)1=去电=耳口, rrr务1 1 1 1=-i- -k-lxj据练- ar -aa_二金2 12 1- * * +-a 3x4a打仿斗1)&公差不为 0 的等差数列的首项 _ (a= R),设数列的前 n 项和为 且 ,ana1 a u cSn11d成等比数列I求数列 r .的通项公式及n记彳 彳d彳，1anSn人=丄+丄+丄+ +丄nS1S2S3Sna4，当n 2时，试比较八与D的大小1111】_2ADBna1a2a?2a?nAnBnn-2时，22二C C V；|Cnna 0时，An :：:Bn；当a：0时，An Bn的前门项和 Q .Sn【解析】（I

20、 ）由题意知砌=2ra. =6r=lS,为是導比数列，所以公比为3,所以数列 0的通项公式务=；+ a；+) +1In +ln a； In a3+-In吃乂】+ tn色J20-3cl-.:-In (%碍碍込“J -r In W二尙叫也J1 3因为na，所以2nBn=丄丄丄aa；a；21+-a”丄第一列第二列第三列第 F3210第二行6414第三行9818的任何两个数不在下表的同一列且中a1, a2, a39、等比数列；中分别是下表第 【一】【二】三行中的某一个数,ania1, a2,a3求数列春的通项公式；n假设数列 g 满足：bn七一1nlnan求数列 g所以当（II）因为如二+（-養+i-

21、iriii23当拧为隅数时，设“法丁=3 )=3 -l + kiF萤1. - _l I = 3 -1 + in 3当n为奇数时，设n =2k -1 kN*，aia2川小a*亠一In aiIn a2 In a3出川In a2k,一In a2k=21-3-In 印&3&5a2kjIn a?a4a6a2k,1-3n0242k _21352k_3=3 -1-1 n 2 32 32 32 3 In 2 32 32 32 310、如图，从点R（0,0）做 x 轴的垂线交曲线y = ex于点Q1（o,1）,曲线在Q点处的切线与 xP1,Q1；P2,Q2；Pn,Qn,记PR点的坐标为区,0）（

22、 k = 1,2,，门）.试求花与XR的解（I）设詹懐心孙 由=声得QMCJ芒春）点处切罐方程为3-严严（xx_J由y得罐 x_,-1（2kfs）t P. ?0S严舷卜|观卜|观|+|观卜評+*7=呂=1童解：(i已知住是奇魏 假设氐二加-1是奇埶 隽中网加E整晦都是奇熱(n)(方法一)由畑-舐=二知.a -3当且仅当仇“1咸镯4根据数学归纳陆，0 j：就Lo。 口間充要条件是0吧逊1或色A F根据数学归纳法，f N.，anan与a2同号。因此，对一切nN都有an1an的充要条件是0y或耳 312、w 曲线G：X2-2nx y2=0(n =1,2,111)、从点P(-1,0)向曲线Cn引斜率为

23、kn(kn0)的切线 i ,切点为、1求数列的通项公式；2证明：2 2an3 an 43 (anan/)(an- an)an 1_an因为a10,4an23所以所有的an均大于0因此an 1_anan同号。11、首项为正数的数列& 满足12an 1(an3), n N .4I证明：假设_为奇数，那ai么对一切n _ 2,an都是奇数；11丨假设对一切N都有anan_a1，求的取值范围.则由谨推关系得:； _.是奇馥根据数学!脚检 时任何J任號.%:斗5JT疝，若o 3?则毬送-方法二 由a2得2a 4ai +3 0,Aa1,4ai230 . ai: 1ai 31nPn(xn,yn丿xn

24、与ynyn(1 k；)x2(2k-2n)x k：=0，:= (2k；-2n)2-4(1 k；)k：=0，解：1 设直线lny=kn(x 1)，联立X2-2nx y2=0得小-2sinXnN X3X5川Xn_ 11 xnnn舍去b-idbnkn.2n 1. 2n 1k；Xnyn =kn(xnT)=2证明：1- Xn1一n,1 - Xn2n 1X1X3X5X2n二二3 2n -1X X X242n2nX1X3X5u;:Xn2n 1(x)=0Yn 2n 1可令函数f(x)x，那么f (x) = 1 - . 2 cos x，令fcosx =2.2，给定区，那么有(0,4)f(x) 2旷：=$ _$_：

25、*十二F因十上】初等比戸可|，斫以r = -lf公比为b, a.=炉.护吠n=k.1时,不等式也成立.w.w.w.co.m 由、可得不等式恒成立当n二1吋，&+&+2&?=0,由二 N &：二4,可得&：=-?;当“二戈时,2i:+a：+a.=0J可得a4= -5：当n=3吋,a1fai+2aF0,可得苑=扎(II)证明；对田崔咅 *迓站!=0少：一 一止：r f 还一-：二 0.订：严：“说：;-：“亠口：=一，得7:= 7；_： 将(七人*可得曲如吗母令嗣)14、数列an与bn满足：bnnbn0十)，且2当b=2时，令=(b-1)bn=2n，0 =2(log2H 1) = 2(log22n1) = 2n那么bn1 _ 2n T所以 d