微积分7-7方向导数与梯度

1、 第九章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度引射线引射线内有定义，自点内有定义，自点的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数lPPUyxPyxfz00000)( ),( ),( ).(),(,0PUPlyyxxPlx 上上的的另另一一点点且且为为并并设设为为的的转转角角轴轴正正向向到到射射线线设设 . ),( 0的变化率问题的变化率问题沿某一方向沿某一方向在一点在一点讨论函数讨论函数Pyxfz 9.7 方向导数和梯度方向导数和梯度oyx lPy 0P |0PP,)()(22yx x ),(),(yxfyyxxfz 且且

2、.),(),(lim : . )()( , ),(),( 002200000 yxfyyxxflflPPlPyxPPyxfyyxxf 记为记为的方向导数的方向导数方向方向沿沿个极限为函数在点个极限为函数在点时，极限存在，则称这时，极限存在，则称这趋于趋于沿着沿着之比值，当之比值，当两点间距离两点间距离与与函数的增量函数的增量定义定义1oyx lPy 0P ),(),(lim0 是否存在？是否存在？ yxfyyxxf ,lim 0 z 考虑考虑x 时，时，趋于趋于沿着沿着当当 0PlP一、方向导数的定义一、方向导数的定义定义定义2.设函数设函数z f(x, y)在点在点P0(x0 y0)的某一邻

3、域的某一邻域U(P0)内有定义内有定义 l是是xOy平面上以平面上以P0(x0 y0)为始点的一条为始点的一条射线射线 与与l同方向的单位向量为同方向的单位向量为el (cos cos ) 为函数为函数),(yxf在在 处处0P沿沿 方向的方向的方向导数方向导数.loyx lPy 0Px ,cos x,cos yWhy？关于定义的说明关于定义的说明1. 函数函数f(x, y)在点在点P沿沿x轴正向和负向轴正向和负向, 沿沿y轴正向和负轴正向和负向的方向导数如何向的方向导数如何? 结论结论: 沿沿x轴正向时轴正向时:xflf , 0cos, 1cos xflf , 0cos, 1cos 沿沿x轴

4、负向时轴负向时:yflf , 1cos, 0cos 沿沿y轴负向时轴负向时:yflf , 1cos, 0cos 沿沿y轴正向时轴正向时: 如果函数如果函数z f(x, y)在点在点P0(x0 y0)可微分可微分, 那么函那么函数在该点沿任一方向数在该点沿任一方向l (el (cos cos )的方向导数的方向导数都存在都存在, 且有且有:v定理定理(方向导数的计算方向导数的计算) cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx ),(),(yxfyyxxf 量可表示为量可表示为由于函数可微，则全增由于函数可微，则全增，得到，得到两边同除以两边同除以 证明证明),( oyyf

5、xxf cos cos )(oyyfxxf ),(),(yxfyyxxf ),(),(lim0yxfyyxxf .coscos yfxf lf所以所以oyx lPy 0P,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 的方向导数，可定义为的方向导数，可定义为沿着方向沿着方向，它在空间一点，它在空间一点对于三元函数对于三元函数 ),( ),( lzyxPzyxfu ). )()()(222zyx 其中其中推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义.coscoscos zfyfxflf ,cos x,cos y,cos z有有的方向导数都存在，且的方向导数都存在，且任意方向任

6、意方向那么函数在该点沿那么函数在该点沿当函数在此点可微时，当函数在此点可微时， l , 方向的方向角为方向的方向角为设设 l解解, 1e)0, 1(2)0, 1( yxz, 2e2)0, 1(2)0, 1( yxyz212211 lz.22 , 1, 1 PQl 即即为为这这里里方方向向;21cos ,21cos 解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 ,1(yxfflf ,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF zyxF

7、FFn, ,2, 6, 4 ,142264222 n,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 1 等值面和等值线等值面和等值线 使函数使函数f (x,y,z)值等于常数值等于常数c 的点的全体组成的曲面的点的全体组成的曲面, 称为函数称为函数u= f(x,y,z) 的的等值面等值面, 它的方程是它的方程是 f(x,y,z)=c . 当当 c 取不同数值时就得到一系列等值面取不同数值时就得到一系列等值面, 称为称为等值等值面族面

8、族，如，如 气象学中的等温面、等压面气象学中的等温面、等压面 等值面等值面 f(x,y,z)=c 上任一点上任一点 P(x,y,z)处的法向量为处的法向量为 .,zyxfffzfyfxf或或 三、梯度的概念三、梯度的概念图图形形及及其其等等高高线线图图形形函函数数xyzsin 使函数使函数 u=f(x,y) 等于等于c 的全体点组成的曲线称的全体点组成的曲线称为此函数的为此函数的等值线等值线, 它的方程是它的方程是 f(x,y)=c, c 取不同数值时得到的一取不同数值时得到的一系列等值线称为系列等值线称为等值线族等值线族.方向导数公式方向导数公式 coscoscoszfyfxflf 令向量令

9、向量这说明这说明方向方向：f 变化率最大的方向变化率最大的方向模模 : f 的最大变化率之值的最大变化率之值方向导数取最大值方向导数取最大值：,fffGxyz0(cos, cos, cos )l),cos(0lGG0lGlf,0方向一致时与当GlGlfmax:G2,方向导数方向导数:1.定义grad, f即即grad f同样可定义二元函数同样可定义二元函数),(yxf),(yxPgrad,fffffijxyxy称为函数称为函数 f (P) 在点在点 P 处的梯度处的梯度zfyfxf,fffijkxyz记作记作在点在点处的梯度处的梯度 G说明说明: 函数的函数的方向导数为梯度在该方向上的投影方向

10、导数为梯度在该方向上的投影.向量向量梯度方向的方向导数最大梯度方向的方向导数最大. ),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面;曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲线在所得曲线在xOy面上投影如图面上投影如图Poyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高线等高线),(gradyxf梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量, ,方方向指向函数的增加方向向指向函数的增加方向梯度的几何意义梯度的几何意义: :解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxu ),(grad,6)24()32(kzjyix 故故;1225)

11、2 , 1 , 1(gradkjiu 内容小结内容小结1. 方向导数方向导数 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为yfxfcossin2. 梯度梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxfff,gradgrad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(yxfyxfffyxgradgrad3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微leflfgradgrad梯度在方向 l 上的投影. 方向: f 变化率最大的方向模: f 的最大变化率之值 梯度的特点备用题备用题 1. 函数)ln(222zyxu在点)2,2, 1 (M处的梯度Mugradgrad)2, 2 , 1 (,zuyuxuuMgradgrad解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(1992 考研)指