第一章-有限差分法

1、112021/3/26222021/3/26332021/3/26 442021/3/26 ( )()( )f xf xhf x0( )( )limxdff xfxdxx ( )()( )( )f xf xhf xfxxh552021/3/26 ( )()( )dff xf xhf xdxxh( )( )()dff xf xf xhdxxh( )()()2dff xf xhf xhdxxh662021/3/26 200001()()()()2!f xhf xhfxh fx200001()()()()2!f xhf xhfxh fx300002()()2()()3!f xhf xhhfxh fx

2、772021/3/26 20()/2!h fx302()/3!h fx22211()( )( )()()2 ( )()xxxd fdfdfdxxdxdxf xhf xf xf xhhhhf xhf xf xhh前向差分前向差分882021/3/26 (, , )( , , )uu xh y zu x y zxh222(, , )2 ( , , )(, , )uu xh y zu x y zu xh y zxh992021/3/2622222( , )( , )x yF x yxy10102021/3/26 i-1ijj+1j-1i+1013421h2h3h4h012342100120303()

3、()O hxhO hxh22231011122000112!3!hhhxxx11112021/3/26 222103013132001()()()()2!hhhhxx 22/ x222313210hhhh 2210303101300131 313()()()()()hhxhhhh hh 2242024024240()()()hhyh h hh12122021/3/26 222103013132001()()()()2!hhhhxx 31hh21030310130222131 3130()()()()22()hhxhhhh hh 13132021/3/2621032202xh13hhh21,1,

4、1,1,4ijiji ji ji ji jh F1,1,1,1,40ijiji ji ji j14142021/3/26 i-1ijj+1j-1i+1013421h2h3h4h01234abL2134204aaaaaah F1342040bbbbb1a3b (0,2,4)aibiii15152021/3/26 ababnn1313aaabbb2012341224 111baaKKh FKKK1a3b/abK12:()sBoundary n DD16162021/3/26 4a2134204aaaaaah F1342040bbbbb1a3b (0)aibiiii-1ijj+1j-1i+10134

5、21h2h3h4h01234abLNM2b4a17172021/3/26 ababaaMaNbbMbNnni-1ijj+1j-1i+1013421abLNM142322aaaMbbbN231422aaaNbbbM18182021/3/26 1a3b2b4a201423122()()4 111bbaaaKKh FKKK/abK19192021/3/26n第一类边界条件的差分离散化第一类边界条件的差分离散化 n应用应用多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式,结点结点1、3的位函数值和可通过的位函数值和可通过 表示为表示为以以h和和h1分别与以上两式分别与以上两式相乘且相加相乘且相加,削去一阶削去一阶

6、偏导项偏导项,然后截然后截断与断与h的二次项的二次项,便得到关于结点便得到关于结点0的二阶偏导数的差分格的二阶偏导数的差分格式式01342034 hD12 1h 2hL02223101112200022231022000112!3!112!3!hhhxxxhhhxxx20202021/3/26n同理同理,在在0结点处关于结点处关于y方向的二阶偏导的差分格式方向的二阶偏导的差分格式n代入给定的泊松方程代入给定的泊松方程,得到通常得到通常第一类边界条件第一类边界条件的差分格式的差分格式 2111302110222hhhhxhhhh2222402220222hhhhyhhhh212340111111

7、1(1)(1)112h F12/ ,/hhhh21212021/3/26n第三类边界条件第三类边界条件的差分离散化的差分离散化 n第一种情况第一种情况,当结点当结点刚好着落刚好着落于边界线于边界线L上时上时,这还取决于边这还取决于边界结点处的界结点处的外法线与网格线外法线与网格线重合重合, 03 0 3 hDLnxy0301020( )( )f rfrh12( , )( , )Sf r tfr tn22222021/3/26n外法线与网格线不重合情况外法线与网格线不重合情况,边界结点上的外向法向方向与边界结点上的外向法向方向与水平夹角为水平夹角为,其法向导数显然是在其法向导数显然是在x和和y方

8、向的导数在法向方向的导数在法向的的投影组合投影组合, 03 0 hDLn2 xy000302cossincossinnxyhh 300201020( )cossin( )f rfrhh23232021/3/26n第二种情况第二种情况,当结点不落于边界线当结点不落于边界线L上时上时,只需要只需要引入引入于结点于结点0相关的边界结点相关的边界结点O,点的外方向点的外方向n作为结点作为结点0处的处的“外方向外方向n”,且且近似地认为近似地认为边界条件中给定的函数和均在边界条件中给定的函数和均在O点上的点上的取值。这样取值。这样,此种情况下的此种情况下的第三类边界条件第三类边界条件的离散格式于式的离散

9、格式于式相似相似, o3 0 hDLn2 xyo300201020( )cossin( )f rf rhh24242021/3/26n第二类边界条件第二类边界条件的差分离散化的差分离散化 n第二类齐次边界条件为第三类边界条件的特殊情况第二类齐次边界条件为第三类边界条件的特殊情况,即。我即。我们这里讨论最常见的一种情况们这里讨论最常见的一种情况 n上面也是上面也是对称边界条件对称边界条件的离散公式的离散公式12( )( )0f rfr/0n 0134201234LhD20124124h F1325252021/3/2626262021/3/26离 散 化 场 域 （ 网 格 剖 分 ）电 磁 场

10、 问 题离 散 化 方 程 （ 差 分 原 理 ）计 算 方 程 组 （ 迭 代 法 ）差 分 方 程 组 （ 代 数 方 程 组 ）离 散 解插 值 计 算 其 他 值 或 可 视 化 显 示 结 果前 处 理数 据 计 算后 处 理27272021/3/26 i-1ijj+1j-1i+1(i,j)(i,j-1)(i,j+1)(i+1,j)(i-1,j)(i-1,j-1)(i-1,j+1)(i+1,j-1)(i+1,j+1)i increasej increase ( , )i j28282021/3/2621,11,1,2,1,121,1,1,1,21,11,1,2,1,1 44 i4 i

11、jiji ji ji ji jijiji ji ji ji jijiji ji ji ji jh Fh Fjh F ncrease21,11,1,121,1,2,1,1,1,21,1112,1,1, 44 4i ji ji ji ji ji jijiji jijiji jii jijiji jji jh Fh Fh F increase j 29292021/3/26 . 0 1 0 0 0 . 0 1 -4 1 0 . . . 0 1 0 . . 0 1 0 0 . . 0 1 -4 1 0 . . 0 0 1 0 . . 0 1 0 . . . 0 1 -4 1 0 . 0 0 0 1 0

12、 . 1,11,1,1,1,11,11,1,1 ijijiji ji ji jijijij= . . . . . . . . . . . .21,121,21,12,12,2,121,121,21,1 ijijiji ji ji jijijijh Fh Fh Fh Fh Fh Fh Fh Fh Fiincreasej increasei*Ny+j+1i*Ny+ji*Ny+j-1i*Ny+j(i+1)*Ny+j(i-1)*Ny+ji*Ny+j-1i*Ny+j+1(i+1)*Ny+j-1(i+1)*Ny+j+1(i-1)*Ny+j-1(i-1)*Ny+j+130302021/3/263131202

13、1/3/26 21,1,1,1,12,1,11,1,414ijiji ji ji ji jnnnnni jiji jiji ji jh Fh F32322021/3/261112,1,11,1,14nnnnni jiji jiji ji jh F33332021/3/26 1, nnni ji ji ji j 112,1,11,1,14nnnni jiji jiji ji jh F112,1,11,1,44nnnnnni jiji jiji ji ji jh F34342021/3/2621 sin()bL22122bLm35352021/3/26 134222xyxyxyhh Eeeee13

14、4222mmmmmmmxyxyxyhhHeeee134222zzxyxyAAAAAAyxhh BAeeee36362021/3/26SKd PS1( )naviiKPi S 1( )naviiKPi SPUU37372021/3/26 Dxy0 a b 1102038382021/3/26 222200000000 ( , )010 xyx ay bx ay byx ax yDxy 39392021/3/26 Dij0 a b11020hh1,1,1,1,40ijiji ji ji j40402021/3/26 111,1,11,1,44nnnnnnni ji jiji jiji ji j0,0,00 ,011,0 10qpqppqand41412021/3/26 42422021/3/26