例谈提公因式法.

1、例谈提公因式法一、提什么1提系数 例 1 分解因式 8x 72解：原式=8 (x 9).2 提单项式例 2 分解因式 xy2 x2y解：原式=xy (x y).3 提多项式例 3 分解因式 2a( bc) 3( b c)解：原式=(b+ c) (2a 3). 4提单项式与多项式的积 例 4 分解因式 x( x+ y)( x y) x( x+ y) 解：原式= x( x+ y)( x y)( x+ y) = x( x+ y)( 2y)= 2xy( x+ y)5 提多项式的幂例 5 分解因式 49( 1 p) 3+ 2( p 1) 2解：原式=( p1) 249(1p)+2=(p1) 2(5149

2、p)二、怎么提1 直接提取例 6 分解因式 ma+ mb+ mc 解：原式= m( a+ b+ c)2 先提 “ ”后再提取例 7 分解因式 2x2 12xy2+ 8xy3解：原式=( 2x2+ 12xy2 8xy3)= 2x( x+ 6y2 4y3)3 先变形后提取例 8 分解因式(m n) 2( n m) (m + 2n) 解：原式=(m n) 2+( m n) (m+ 2n)=(m n) (m n) + ( m + 2n)=(m-n) (2m+n).4 .先分组后提取例9 分解因式ma mb+ 2a 2b.解：原式=(ma mb) + ( 2a 2b)=m (a b) + 2 (a b)

3、=(a b) (m+ 2).趣谈公式法分解因式山东 鲁土用公式法分解因式，所用的公式主要是平方差公式和完全平方公式，那么怎么利用这 两个公式灵活、快速地分解一个多项式呢？下面举例说明.集装箱套公式平方差公式a2-b2= (a+b) (a-b)和完全平方公式 a2±ab+b2= (a ±b) 2中的字母a、b 可以代表任何数或代数式，即可以写成：W2 D2=( W+D) (W-D);W2±2WD+D2= (WdD) 2.其中，W、D相当于字母a、b，好像 集装箱”似的，能装进任何数或式呢!例1 分解因式x2-4y2=.解：因为x2-4y2 = x2- (2y) 2,

4、即x相当于W, 2y相当于D，套入公式，可得2 2 2 , 、 2x -4y = x - (2y)=(x+2y) (x-2y).例2 分解因式a2-4a+4 =.解：因为a2-4a+4 = a2-2 2 a+22，即a相当于 W, 2相当于 D，套入公式，可得2 2 2 2a -4a+4=a -2 2 a+2 = (a-2).二、变形金刚套公式”对于一些不符合基本公式形式的多项式，我们可以先对它们进行一些变形，使之符合 公式的结构形式，然后再进行分解.例3分解因式3x2-3=.解：先提出公因式 3后，再套用平方差公式分解.3x2-3=3 (x2-1 )= 3 (x+1 ) (x-1 ).例 4

5、 分解因式 2a3b-4a2b2+2ab'=.解：先提出公因式 2ab后，再套入完全平方公式分解.2a3b-4a2b2+2ab3=2ab (a2-2ab+ b2) =2ab (a-b) 2.例5分解因式a3+4a2+4a=.解：先提出公因式 a后，再套入完全平方公式分解.3222a +4a +4a=a (a +4a+4) =a (a+2).例6分解因式1-x2+2xy-y2=.解：由于该题的多项式有四项，无法直接套入公式分解，因此可先对一部分运用公式 法，使之符合公式的结构形式，可先将后三项分为一组(能运用完全平方公式)2 21-x +2xy-y22=1 ( X -2xy+y )=1-

6、( x-y) 2=(1+x-y) (1-x+y).公式法分解因式常见思路-3 -江苏 缪明月运用公式法分解因式是指运用平方差公式a2-b2= ( a+b) ( a-b)和完全平方公式a2 42ab+b2=( a±) 2来分解因式的方法.它是分解因式的最基本的方法之一，现将几种常见思路归纳如下，供同学们参考领悟、直接用公式例 1 分解因式：( 1) x2 4；22 ( 2) a +4ab+4b 22a2+4ab+4b2= ( a+2b)析解：(1)此题是两项式，符合平方差公式的条件从而x24=(x+2)(x-2)；(2)此题是三项式，符合完全平方公式的条件从而二、提公因式后用公式例 2

7、 分解因式 ab2-a析解：先提取公因式 a,再运用公式所以 ab2-a=a ( b2-1) = a (b+1) (b-1).三、化简后用公式a+b)2 2 2 2 22-4ab=a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2= ( a-b)例 3 分解因式( a+b) 2-4ab析解：先化简后再运用公式所以(四、整体用公式例4分解因式( 2a+b) 2-( a-2b)析解：若把(2a+b)和(a-2b)视作一个整体，则原式可以看作两项，符合平方差公式的条件所以(2a+b) 2- (a-2b) 2= (2a + b) + ( a-2b) (2a+b) - ( a-2b) = ( 3a-b)a+

8、3b)五、连续用公式例 5 分解因式(a2+b2-c2) 2-4a2b2.析解：若把(a2+b2-c2)和(2ab)视作为整体，则原式可以看作为两项，符合平方差 公式的条件.所以(a2+ b2-c2) 2 4a2b2= (a2+b2-c2+2ab) (a2+ b2-c2-2ab) =(a+b)2-c2(a-b) 22-c=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c) .六、变换成公式的模型用公式例 6 分解因式 x2+2xy+y2-2x-2y+1析解：此题共六项，较难分解考虑到前三项正好是完全平方公式从而 x2+2xy+y2-2x-2y+1=(x+y)2-2(x+y)+1=(x+y

9、-1) 2用“换元法”分解因式山东 于秀坤 我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的两种方法，比如提公因式法、运用 公式法，这些方法都是最基础的因式分解方法 一些同学在解答课外题时，往往感到只 用这些方法还是有点力不从心，于是他们纷纷找到李老师，请她 “再传授几招，以便能够 解答更多类型的因式分解题目 ”李老师欣然同意， 当场就为同学们介绍了一种因式分解的常用方法 换元法 李 老师把换元法分解因式分成了三种情况、换单项式例 1 分解因式 x6+16x3y+64y2析解：注意到x6= (x3) 2,若把单项式X3换元，设x3= m,则x6=m2，原式变形为22232m +16my+64y =

10、( m+8y)=( x +8y)二、换多项式例 2 分解因式( x2+4x+6)(x2+6x+6) +x2析解：本题前面的两个多项式有相同的部分, 我们可以只把相同部分换元, 设 x2+6=m,22则 x +4x+6=m+4x， x+6x+6=m+6x，原式变形为(m+4x) (m+6x) +x22 2 2=m +10mx+24x +x22=m +10mx+25x= ( m+5x)= ( x2+6+5x)=（x+2）（x+3）2 = （ x+2） 2（x+3）2以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为 “局部换元法 ”当然，我们还可 以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了 “整体换

11、元法 ”比如，设 x2+4x+6=m， 则x2+6x+6=m+2x,原式变形为m（ m+2x） +x222=m +2mx+x2=（ m+x） 2=（x2+4x+6+x）=（x2+5x+6）=（x+2）（x+3）2=（x+2）x+3）- 6 - # -三、换系数例 3 分解因式 x3+x2-2004 1005x.析解：此题若按照一般思路解答，很难奏效注意到2004、 2005 两个数字之间的关系，把其中一个常数换元.比如，设2004 = m,则2005=m+1 .于是，原式变形为32x +x -2004 1005x=x2（ x+1 ）-m（m+1 ）x=xx（x+1 ）-m（m+1 ） 22=x（ x +x-m -m）=x （x-m2） + （x-m）=x（ x+m）（ x-m） +（ x-m） =x（ x-m）（ x+m+1 ）=x（