李坤定积分计算方法初探3

1、皖西学院本科毕业论文（设计） 皖西学院本科毕业论文（设计） 学号 2008012443 姓名 李 坤 学院 应用数学学院 专业班级 数学与应用数学0802班指导教师 邵 毅 完成时间 2012.05 目 录 一摘要 （3）二英文摘要 （3）三引言 （3）四定积分基本定义 （4） 五定积分的性质 （4）六微积分的基本公式 （5）七定积分的基本计算方法 （5）八定积分的简化计算方法 （10）九定积分上的近似计算 （16）十小结 （21） 十一参考文献（21）十二致谢（22）定积分计算方法初探 作 者李坤指导教师邵毅摘 要：定积分是积分学中的一个基本问题，其计算方法是很多的，除了用一些基础的定积分定

2、义、性质、分部积分法等方法外，定积分计算有着特殊的方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法，并在系统总结中简化、近似计算方法！并注重在解题中用的方法和技巧。 关键词：定积分 计算 方法 技巧 The integral calculation method discussedAbstract: the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, in addition to use some basic definite integral

3、 definition, the nature, the division of integral method, etc, the way the integral calculation has the special methods and techniques. This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention

4、 to problem in using the methods and skills. Key words: the integral ,calculation, method ,skills 引 言：本文首先给出定积分的定义，也是一种计算定积分的方法，一般说来很复杂。本文同时介绍了牛顿莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法、利用相关定理简化计算积分以及近似计算数值积分几种计算定积分的简便方法。定积分基本定义 设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 ，把区间分成个小区域 各个小区间长度依次为 在每个小区间上任取一点作函数值与小区间长度的乘积并作出和 （ 1）记，如果不论对怎样分法，也不论在小区

5、间上点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即 （2）其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。定积分的性质性质1 性质2 性质3 设，则性质4 如果在区间上，则性质5 如果在区间上，则推论1 如果在区间上，则.推论2 性质6 设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7（定积分中值定理） 如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点 ，使下式成立： 这个公式叫做积分中值公式微积分的基本公式定理1 如果函数在区间上连续，则积分上限的函数 在可导，并且它的导数是 （3）定理

6、2 如果函数在区间上连续，则函数 （4）就是在上的一个原函数。定理3 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则 . （5）定积分的基本计算方法1 .利用定义法计算定积分例1 计算 解 因为被积函数在积分区间上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间的分法及点的取法无关。因此，为了便于计算，不妨把区间分成等份，分点为；这样，每个小区间的长度取于是，得和式 当即时，取上式右端的极限。由定积分的定义，即得所要计算的积分为 2. 牛顿莱布尼茨公式定理3 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则 (6)证明 已知函数是连续函数的一个原函数，又根据定理2知道，积分上限的函数 也是的一个原函数。于是这两

7、个原函数之差在上必定使某个常数，即 . (7)在上式中令，得。又由的定义式（4）及定积分的补充规定第一条当时，可知，因此，以代入（7）式中的，以代入（7）式中的，可得 在上式中令，就得到所要证明的公式（6）.由定积分补充规定的第二条当时，可知，（6）式对的情况同样成立。为了方便起见，以后把记成于是（6）式又可写成 公式（6）叫做牛顿莱布尼茨公式.例2 计算定积分解 由于是的一个原函数，所以按牛顿莱布尼茨公式，有 例3 计算解 由于是的一个原函数，所以 例4 计算解 当时，的一个原函数是通过例3我们应该特别注意：公式（6） 中的函数必须是在该积分区间上的原函数.3.定积分的换元法定理 假设函数在

8、区间上连续，函数满足条件：（1）；（2）在或上具有连续导数，且其值域，则有 （8）公式（8）叫做定积分的换元方法例5 计算 解 设，则，且 当时，；当时，.于是.换元法也可以反过来使用。为使用方便起见，把换元公式中左右对调位置，同时把改记为，而改记为，得这样我们可用来引用新变量，而.例6 计算 解 设，则， ，且 当时，；当时，.于是 = 由此例可见，不定积分的换元法与定积分的换元法的区别在于：不定积分的换元法在求得关于新变量的积分后，必须代会原变量，而定积分的换元法在积分变量由换成的同时，其积分限也由和相应地换成和，在完成关于变量的积分后，直接用的上下限和代入计算定积分的值，而不必代会原变量

9、例7 计算 .解 由于，在上，在上，所以= 注意 如果忽略在上非正，而按计算，将导致错误4定积分的分部积分法依据不定积分的分部积分法 ，可得 简记作 或 这就是定积分的分部积分法.公式表明原函数已经积出的部分可以先用上、下限代入.例8计算 .解 例9 计算解 先用换元法.令，则，且 当时，；当,.于是 例10 求定积分分析 这里被积函数这是含变量的积分，但是积不出来，所以求应使用分部积分法，将变限定积分作分部积分中的.解 评注 对这种类型的题，也可以将所求的积分看成是一个二次积分，通过交换积分次序后求的它们的值.如: 定积分的简化计算方法1.对称区间上的定积分1.1利用对称区间上的奇偶性计算定

10、积分： 若为奇函数，则 若为偶函数，则例11 计算定积分 解 根据积分的对称性可得 例12 设非负连续函数满足计算解 例13计算定积分解 = 评注：本题虽然不是对称区间，但经过换元后化成对称区间，再利用对称区间上奇函数和偶函数的积分性质，化简积分.2.周期函数的定积分此类题一般应先利用周期函数定积分的性质进行化简，然后在计算.例14 计算定积分解 评注：当被积函数是三角函数，积分区间是的整数倍时，应注意使用周期函数的定积分的性质.3.被积函数的分母为两项的和，而分子为其中一项的定积分此类型的题一般利用变量代换完成，所做代换满足以下两点要求：3.1变换前后积分的上、下限或者不变、或者交换位置3.

11、2交换后，分母中的另一项成为分子中的项例 15 计算下列积分（1）（2）解 （1） 所以因此 （2） 所以因此4. 含参变量的积分4.1若于矩形区域，上二元连续，则积分于上也连续，且.4.2 若 于，上关于还是连续可微的，则关于 也是连续可微的，且.在上面结论中，一重积分改为有界闭区域上的多重积分，改为多元参变量，导数改为偏导数，结论仍然成立。4.3 若，连续可微，二元连续且关于连续可微，则 例 16 计算积分.解 考虑含参量积分，显然，又，因，所以 = =， 因此 = =，另一方面，所以。5有理积分和可化为有理积分的积分5.1 有理函数的积分有理函数是指两个多项式的商所表示的函数，当分子的最

12、高项的次数大于分母最高项的次数时称之为假分式，反之为真分式，在求有理函数的积分时，若有理函数为假分式应先利用分项式的除法，把一个假分式化成一个多项式和一个真分式之和的形式，然后再求。任何有理真分式的定积分都可归结为下列四种类型的积分。5.1.1 ； 5.1.2 ；5.1.3 ，（）；5.1.4 ，（，）。5.2可化为有理函数的积分能通过有限次四则运算构成有理函数的无理函数积分称为可化为有理函数的积分。5.2.1 含有简单根式的积分形如，其中，是常数且，. 令 ，则 ，且，于是. (*) 因为是有理函数，而有理函数的一阶导还是有理函数，所以(*)式右端被积函数是关于的有理函数，从而这类无理函数积

13、分可以化为有理函数的积分。形如，其中，都是常数，。利用欧拉变换，它可化为有理函数的积分。5.2.2 三角函数有理式的积分由三角函数与常数经有限次四则运算所构成的式子叫三角函数有理式。因为任何三角函数都可以用正弦与余弦函数来表示，所以三角函数有理式可记为，形如，若用代换 总可以把积分化为有理函数的积分。6其他类型的定积分.例17 设为正整数，则解 记 所以 例18 设求解 因为 于是 故 .例19 设函数连续，且，已知求.解 由于令可得 从而 上式两端对求导，可得 所以 上式中令，得因此 .定积分上的近似计算数值积分就是利用函数的若干个函数值，近似计算定积分，定积分在几何上表示曲线，轴以及直线，

14、所围成曲边梯形的面积，近似计算出这个面积就近似计算出了积分。1.矩形法矩形法就是用窄条矩形的面积作为窄条曲边梯形面积的近似值，整体上用台阶形的面积作为曲边梯形的近似值.设函数在上连续，这时定积分存在，采取把区间等分的分法，即用分点将分成个长度相等的小区间，每个小区间的长为 在小区间上，取，应有 从而对于任一确定的正整数，有记 上式可记作 （9）如果取则可得近似公式 （10）以上求定积分近似值的方法称为矩形法，公式（9）,（10）称为矩形法公式.2. 梯形法梯形法就是用曲线上两点的弦近似代替小弧段计算定积分的方法。设函数在上可积，用分点把区间分成等份，而 ，过各个点作轴平行直线与曲线交于，这些点

15、的纵坐标记为，原来的曲边梯形被分成个小曲边梯形，若把区间分的足够细，考虑第个小曲边梯形就可把弧段近似看成是弦，于是第个小曲边梯形可近似用直边梯形代替，连接曲线上相邻两点，与，的直线方程为，用直线代替弧段时，第个小曲边梯形面积近似为，从而个直边小梯形之和为故有-梯形公式。例 20 设有20米宽河，从河的一岸到对岸每隔2米测得河深为0.2，0.5，0.9，1.1，1.3，1.7，2.1，1.5，1.1，0.6，0.2米，试求河流横截面积A的近似值。解 把河流横截面积的底边看成曲线，则所求面积A=。由题设得数据组：宽/米02468101214161820宽/米0.20.50.91.11.31.72.

16、11.51.10.60.2利用梯形公式，由，.梯形法是在所分小区间上用直线近似代替函数，这时通过曲线只有两点，这种代替一般比较粗糙，若在小区间上用通过曲线上三点的抛物线近似代替函数，可以得到具有更好精确性的近似公式。3.抛物线法设在区间上可积，把区间分成个等份，分点是，其中，个分点纵坐标为，从个小区间中取出一对相邻小区间与，用通过曲线上的三点，及的抛物线近似代替区间上的曲线,于是抛物线下的面积为： = =，从1到相加得=-辛普森公式。例 21 用抛物线法近似计算，(将区间分为四等份)。 解 将区间四等份得到如下一组数据: 0.95492970.82699330.90031630.6361980

17、.41349670.30010540.190985904等份 ,所以 ，所以.也可以利用级数求定积分的值无法用定积分基本方法求出原函数，也可以利用级数，先把被积函数展开成级数的展开式，在来计算.常用的幂级数： . 例22 求定积分解：而幂级数于是有 例23 求解： 由上题可知，把被积函数转化，为使复杂问题简化，运用级数展开式进行近似计算，应用简单方便，简化了定积分的计算. 小结:本文主要介绍了以下几种函数积分方法:牛顿-莱布尼茨公式法,换元积分法,分部积分法,近似计算数值积分.牛顿-莱布尼茨公式在积分中发挥了很大的作用，但在使用时被积函数在被积区间必须连续，而且要求出原函数,在很多情况下被积函

18、数不具备这样的条件，原函数不能表示为初等函数。这时可以考虑使用换元积分法和分部积分法,而在实际问题中有时被积函数不具有解析式,是以曲线或表格的形式给出,这时只能用数值积分近似地计算出积分值。因此，给出一个定积分，我们有时可以使用几种不同的方法计算,但不同的方法简捷度不同。当它不满足某种积分方法的条件时,我们可以用其他的方法计算。所以给出一个定积分问题,我们总能找到方法来解决，能使用多种方法解题时,可以择优选用。参考文献1 华东师范大学数学系 编 数学分析M，北京：高等教育出版社，2002 2 姚允龙 编 高等数学与数学分析方法导引M， 上海：复旦大学出版社，1982 3 钱吉林 编 数学分析题解精粹M，武汉：崇文书局，2003 4 李庆扬 王能超 易大义 编 数值分析M，武汉：华中科技大学出版社，1986 5 中国科学技术大学高等数学教研室 编 高等数学导论M，合肥：