数列数学高三数学

1、同步检测训练一、选择题1 .设等差数列an的前n项和为A . 63C. 36答案：B解析：由an是等差数列，则S3,2(Ss S3)= S3+ (S9- S6)得到S9 S6= 2S6 3S3= 45,故选 B.Sn,若 S3= 9, S6= 36，贝V a7+ a8+ a9 等于()B . 45D . 27S6- S3, S9-S6为等差数列.S312.设Sn是等差数列an的前n项和，若6= 3则S12 =()31A. 10311C.8D.9答案：A解析：本题考查等差数列的运算性质.在等差数列中S3, S6 S3 , S9 S6, S12 S9成等差数列由题意可设S3=1 ,S6= 3,贝U

2、S6S3= 2,S9 S6=3,S12S9= 4二 S12 = S3+ (S6 S3)+ (S9 S5)+ (S12 S9)= 10二瓷=3故选A.3 . (2009朝阳4月)各项均不为零的等差数列 an中，若a2 an-1 an+1 = 0(n N*, n>2), 则S2009等于()A . 0C. 2009答案：DB . 2D. 4018解析：各项均不为零的等差数列an,由于a2 an1 an+1 = 0(n N*, n>2)，则a 2an=0, an= 2, S2009 = 4018，故选 D.S2007 S20054 . (2009湖北八校联考二)等差数列an中，Sn是其前

3、n项和，a1= 2008, 亦7 2005 2，则S2008的值为()A . 2006C. 2008答案：DB. 2006D. 2008解析：等差数列an中，Sn是其前n项和，则数列学也为等差数列，又a1= 2008,20%S2005SnS?008=2,则：是以2008为首项，一1为公差的等差数列，2008 = 2008+ (2008 1) X (S2008的值为2008，故选 D.20051) = 1 ,(2009湖南郴州三模8)已知an为等差数列，若 值，那么当Sn取得最小正值时，n =(A . 11C . 19答案：C5.)B . 20D . 21an1,且它的前n项和Sn有最大anan

4、 + a10解析：由金-1得 乔<0，又它的前n项和S有最大值，则a10>0，a11<0，a11+ a10<0,Si9>0, S20<0,那么当Sn取得最小正值时，n=19,故选C.6. (2009 西柳州三模)已知公差不为0的等差数列an的前5项和为一20,若ai, a3, a4成等比数列，则 a2=()A . - 4B . - 6C. - 8D. - 10答案：B解析：公差不为0的等差数列an的前5项和为20,则5a3= 20, a3=- 4,又ai, a3, a4成等比数列，则 a3= aia4= (a3 2d)(a3+ d)= a2- da3 2d2

5、, d= 2, a2=- 6，故选 B.7. (2008黄冈中学)等差数列an的前n项和为Sn,若Ss=- 6, S18-S15= 18,则S18等 于()A. 36B . 18C. 72D. 9答案：A解析：a2 + a17S3= 3a2= 6,a2= 2,S18 S15= 3a17=18,a17 = 6,S18=? x18=36，故选A.8 . （2008南开中学）在等差数列an中，若a3 + a8 + a13= C,则其前n项和Sn的值等于5C的是（）A . S15B . S17C . S7D . S8答案：AC解析：a3 + a8 + a13= 3a8 = C, a8= 3, 5C=

6、15a8= S15，故选 A.二、填空题9 . （2009北京宣武4月）在等差数列an中，已知a1 + 2a8 + a15 = 96,则2a9- a10=.答案：24解析：等差数列 an, 由 a1 + 2a8 + a15 = 96 得 4a8= 96, a8 = 24,贝U 2a9 a10= a9+ a9 a10 =a9 d= a8= 24,故填 24.10 . （2008重庆）设Sn是等差数列an的前n项和，a12 =- 8, S9=- 9,贝U S16 =.答案：72解析：Sg= 9a5=- 9,二 a5= 1, S16 = 8(a5 + a12) = 72.11. (2008四川非延考

7、区)设等差数列an的前n项和为3,若S4> 10, Ssw 15,则a4的 最大值为.答案：4解法一：a5= S5 - S4< 5,S5= a1 + a2 + + a5= 5a3 w 15,a3 + a5a3< 3，贝U a4= w4, a4的最大值为4,故填4.解法二：S4= 4ai + 6d10S5= 5ai+ 10d< 152ai 3dw 5? d< 1ai + 2d w 3又 t S5= a1 + a2+ a3 + a4 + a5= 5a3< 15? a3< 3? a4< 4.故a4的最大值为4.解法三：本题也可利用线性规划知识求解.4a

8、1+ 6d > 10由题意得：5a1+ 10d< 152a1 + 3d > 5,?a4= a1+ 3d.a1+ 2d< 3.2a1+ 3d > 5画出可行域求目标函数a4= a1+ 3d的最大值即当直线 a4 = a1 + 3d过可行a1 + 2d w 3域内(1,1)点时截距最大，此时 a4= 4.三、解答题12. 等差数列an的奇数项的和为 216,偶数项的和为192，首项为1，项数为奇数，求 此数列的末项和通项公式.解：设等差数列an的项数为2m+ 1,公差为d,则数列的中间项为 am+1,奇数项有m+ 1项，偶数项有 m项.依题意，有S 奇=(m+ 1)a

9、m+1 = 216 S 偶=mam+1= 192 m+1216电，得 m =216，解得，m= 8,数列共有2m+ 1= 17项，把m= 8代入，得a? = 24,又 T a1 + a17= 2a9,a17 a923-a17 = 2a9 a1 = 47,且 d = 17 98an= 1 + (n 1) X 23=空宀 N*, nw 17).13.已知数列an中,8 8 1*1* a1 = ? an= 2 (n> 2, n N ),数列 bn满足 bn= (n N ). an1an 1 (1)求证：数列bn是等差数列； 求数列 an中的最大项和最小项，并说明理由. - 一 1 * 1 (1

10、)证明：因为 an= 2(n>2, n N), bn = an 1an 1所以当n >2时，bn bn1 =an一 1 an1 一 111(2 ) 1an 11an 1 1an 1an 1 11an 1 1=1.1b1 =a1 152.5所以，数列bn是以一号为首项，以1为公差的等差数列.解：由(1)知，bn= n 7,1 2an= 1 += 1 +bn2n 7277设函数f(x) = 1+ ，易知f(x)在区间(一a,-)和(2，+a)内为减函数.所以，当n= 3时，an取得最小值一1;当n= 4时，an取得最大值3.14. 在等差数列an中，已知a1= 20，前n项和为Sn,且

11、So= S15,求当n取何值时, Sn取得最大值，并求出它的最大值.分析：(1)由a1 = 20及S10= S15可求得d,进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正,或利用S是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解.利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号.解法一：a1 = 20, S10= S15,10 X 20+d = 15X 20+二 d = 2 丄 125=- 6n+ 6 n525 2 3125=一 6(n 2) + 24 .T n N +, .当n= 12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12 = S13 = 130.解法三：同解法一得d = 5.33.5565a

12、n= 20+ (n 1) X ( 3) = §n + .a13 = 0.即当 nW 12 时，an>0 , n14 时，an<0.当n= 12或13时，Sn取得最大值，且最大值为12X115S12 = S13= 12X 20+2X ( 3)= 130.5解法二：同解法一求得d =n(n 1)5-Sn= 20n+2( §)又由 Sio= S15, 得 aii+ ai2+ ai3+ ai4+ ai5= 0.二 5ai3= 0,即卩 ai3= 0.当n= i2或i3时，Sn有最大值，且最大值为Si2 = Si3 = i30.错误！ai = 3,前n项和为S,等比数列bn中,d为正整数,i5.(2008江西)等差数列an各项均为正整数， bi= 1，且b2S2= 64 , ban是公比为64的等比数列.(1) 求 an与 bn；111 3(2) 证明：$+ S2+ Sn<4.(1)解：设 an的公差为d, bn的公比为q,则an = 3 + (n 1)d, bn= qn-1.3 + nd 1ban+iq 十d依题意有研=q = 64= 26,S2b2= (6 + d)q = 64.由(6 + d)q= 64知q为正有理数，又由q =,d为6的因子1