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文档简介

1、埃舍尔的魔幻图形及其数学原理论文导读:摩里茨·科奈里斯·埃舍尔(M.C.Escher)。从事图形艺术的创作。他们的世界都是这幅作品中的全部空间。空间,埃舍尔的魔幻图形及其数学原理。关键词:埃舍尔,图形,空间,数学原理 摩里茨·科奈里斯·埃舍尔(M.C.Escher),于1898年出生在荷兰,从事图形艺术的创作。硕士论文,空间。许多数学家热情赞美埃舍尔的作品, 他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。1951年2月,马可·塞韦林在期刊工作室上发表了一篇关于埃舍尔作品的文章,他认为埃舍尔是一位有独创性的艺术家,埃舍尔能

2、够以一种最震撼人心的方式描绘事物的数学特性。埃舍尔被众多的科学家视为知己。杨振宁的基本粒子发现简史就是以埃舍尔的骑士作为封面的。1954年的“国际数学协会”在阿姆斯特丹专门为他举办了个人画展,这是现代艺术史和数学史上是极为罕见的。一、不可能存在的世界埃舍尔曾坦率地声明,就数学而言,他完全是个门外汉。埃舍尔不喜欢抽象的概念,不过,只要抽象的概念和具体的现实能够有一点联系,他就能够迅速地将概念以某种具体的形式表现出来。50年代至60年代,埃舍尔开始利用人的视觉错误,利用灭点的相对性,让他的作品在三维空间里展现出来。他的作品骤看起来没有什么奇怪的地方,但其实当中蕴藏的幻觉事物是最引人入胜的。参观者常

3、常把他们认识的真实世界与埃舍尔的虚构幻象相混淆,而产生迷惑。画一组直线交与一点,这个点可以代表很多东西包括天顶天底和地平点等等,而究竟是什么点,则完全取决于观者看问题的角度。在埃舍尔1953年制作的石版画相对性中,在作品的外围有三个灭点,它们形成了一个边长为两米的等腰三角形,每个灭点都承担着三个不同的功能。在这幅作品中,三个完全不同的世界构成了一个统一的整体,作品中出现的十六个小人可以分成三组,每组小人都生活在自己的世界里。而对于每组小人来说,他们的世界都是这幅作品中的全部空间。其中一组的天花板可能是另一组的墙,一组认为是门的东西可能被另一组认为是地板上的洞。在这幅作品中,有三种不同的引力互成

4、直角,在三个现存的平面中,总有一个可以作为三组人群中某一组的地面,每一组人都会受到某一个引力场的作用。硕士论文,空间。英国人彭罗斯在心理学杂志上发表了不可能的“三杆”理论,就是把极为正常的三杆通过错误的连接而造成的一幅图画。三个直角都很正常,但它们以现实空间中根本不可能的方式连接起来,就形成了一个三角之和为270度的三角形。就在埃舍尔沉迷于不可能世界的建造时,他偶然接触到了彭罗斯的图形。硕士论文,空间。1961年的瀑布是埃舍尔依据彭罗斯的“三杆”原理绘制的奇异建筑式图画。他最初的创作意图是要画三座巨大的建筑群,但他突然想到瀑布能够以更引人入胜的方式来阐释“三杆”的荒诞性。如果我们从作品的左上角

5、开始观察,会看到瀑布落下,转动水轮,然后水流顺着砖砌的水渠流走。如果我们跟着水流前行,就会发现它确实是再向下流,并逐渐远离我们。但是,最远最低的点突然变成了最近最高的点,于是瀑布再度跌落,转动水轮。瀑布的流水川流不息,完全违反地心吸力,所表达的图像是毫不合理的。他的上和下、观景楼等作品,都是以非常精巧考究的细节写实手法,生动地表达出各种荒谬的结果。二、数学的奇妙设计埃舍尔对晶体形态的规则性和必然性很着迷。他用各种材料来仿造它们,从不同的角度把它们画在纸上。他付出了很多努力才找到进行周期性分割的方法。希腊数学家早就知道只有五种可能的正多面体,并只能由以下形状构成:等边三角形,见于正四面体、正八面

6、体和正二十面体;正方形,见于正六面体;正五边形,见于正十二面体。“所有的柏拉图立体都是外凸的,开普勒与普安索又发现了四种内凹的正多面体。如果我们将各种正多面体划在规则立体的范畴之内,那么还有26种可能的规则立体。我们还可以将各种彼此交叉的立体看做是新的规则立体,就可以得到一个几乎无穷尽的复合规则立体的系列。”1柏拉图立体只是所有可能多面体中的很少一部分,如此看来,人类的想象力比大自然要丰富多了。圆、椭圆、螺线、多面体和其他立体是我们在埃舍尔作品中看到的几何对象。在木刻群星中我们见到了这些名副其实的柏拉图立体。在引力中,一个有趣的星状十二面体可以看做是用几种不同的方法构建出来的。它的内部由一个正

7、十二面体构成,每个面都是正五边形,然后在每一个五边形面上叠加一个规则的五面角锥体。硕士论文,空间。每一个五面角锥体里面都居住着一个长脖子的四条腿的怪物,每个怪物的帐篷状房子的墙壁都是其他五个怪物站立的地面。可以认为每个平面都兼为地面和墙壁,这些怪物都受到了一种指向星状多面体中心的吸引力。早在1946年,埃舍尔在彩色木刻骑士中就已经采用了一些具有重要拓扑学价值的形象2,此后他又多次通过作品具体表达数学上有趣的默比乌斯带。默比乌斯带的制作非常简单,当一条丝带被扭曲后,将两端连在一起,则丝带的正面和反面是相间地连接起来的。如果我们将普通的圆环从中间剪开,会产生两个新的圆环。如果沿默比乌斯带的中线剪开

8、,它不会分成两个环,它还是连在一起的。默比乌斯带只有一个面和一条边。从数学角度看,默比乌斯带具有惊人的特性,但这种曲面带的现象若由平面图画表达出来则毫不容易。在作品默比乌斯带中,每条蛇都咬着另一条蛇的尾巴,如果顺着蛇的方向看,它们似乎始终都是连在一起的,但如果将带子拉开一点,就会得到一个带有两个半周的带子。在作品结中的纽结是由一根四面体带子构成的。如果我们跟踪其中的一个面,就会发现其实我们在整个结上穿行了四次,跨过了四个面的边界,最后回到了出发的起点。画廊和阳台是拓扑变形的奇妙例子。硕士论文,空间。这些版画看来几乎好像是印刷在经过奇妙拓扑变形的橡皮薄板上的。三、平面的无穷之旅埃舍尔在周期性平面

9、分割上的娴熟技巧,给他对无穷的探索以莫大的便利,促使他去发现在平面材料上表现无穷网络结构的全新技法。用数学的眼光来观察埃舍尔的工作,他的工作远远胜过传统的平面镶嵌图案。他给予他所镶嵌的对象以运动和生命,这从变形、天和水、昼和夜、鱼和鳞和遭遇等作品可以得到证明。除了变换平面以外,被镶嵌对象本身也经受变换。他对周期铺砌结构中的平移、旋转和反射的概念都掌握得很好。埃舍尔使无穷大的概念活了起来。在方极限中,凸现出趋向边界的无穷序列的感觉。如果我们以中心的等腰直角三角形ABC为起点,在边BC上再画两个等腰直角三角形DBE与DCE,重复此步骤,直到无穷。设BC边长为1米,则DE边长为1/2米,再下者为1/

10、4米,以此类推,我们就拥有了尺度逐渐减小而数目无穷的三角形。埃舍尔在每个三角形中填上了一只蜥蜴,使得整个结构充满生气。方极限是他为一本关于周期性平面分割的著作制作的插图。圆极限则可说是有界又无限的非欧几何的理想模型。硕士论文,空间。为了阐释双曲几何,法国数学家庞加莱采用了一个模型,将整个无穷平面表现在一个大而有限的圆周之内。从双曲几何的角度看,没有任何一点是在圆上或圆外的。埃舍尔在这个模型的基础上获得了自己的结构图。圆极限中有四种不同颜色的鱼。每一种鱼都头尾相接,沿着环形路线游个不停。越游近中间就变得越大。一串串鱼从无穷远的边缘以直角发射出来,又跌落到所来的地方,没有一条鱼能最终到达边缘,因为

11、那之外是绝对的“无”。在旋涡中,整个画面只有两条螺线,在上下结构中同时出现,并向着同一个方向运动。这些螺线构成了彼此相向的两对鱼的脊椎骨。灰鱼诞生在上面的旋涡里,一边长大一边向外游。然后它们开始了向下面旋涡的旅程,经过不断的缩小,最终消失在圆心。而红鱼则从相反的方向,从下面的旋涡游到上面的旋涡中。螺线把人们的目光带上无尽的旅程,其目的是要表现从无穷小到无穷大的发展,然后再回到无穷小,这样一种类似于诞生、成长和死亡的过程。数学是埃舍尔的艺术之魂,他在数学的匀称、精确、规则、循序等特性中发现了难以言喻的美,并结合他无与伦比的禀赋,创作出广受欢迎、带有数学意味的迷人作品。参考文献:1(荷兰)布鲁诺·恩斯特著,田松译.魔镜M.上海:上海科技教育出版社,2

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