中高考函数复习精华

1、初三数学数学总复习(十)函数综合题函数与方程、多项式及几何相结合的试题，也是中考的热点，这类问题通常是占有较大分值的综合 题，做这类题应注意：1、数形结合是研究函数的重要思想方法，解题时要学会善于利用“形”帮助思考；2、几何问题中的线段都是正量，而点的坐标中的有序实数对不一定是正量，因此注意它们区别与联系十分重要；3、综合题总是有一定难度的，特别是有些题若不加留意，将会出现漏解或误解下面结合一些典型的题例加以说明，帮助同学们在复习中，既充满信心，不畏艰难，又学会必要的 解题方法，达到良好的复习效果例 1 已知抛物线 y= (9 m1 2 3) x2-2(m 3)x+ 3m 的顶点 D 在双曲线

2、 y=- -上，直x线 y= kx+ c 经过点 D 和 C (a, b),且使 y 随 x 的增大而减少，a、b 满足方程组 a2 b2 3= 0- 2 22 J a 5ab+ 2b = 0(1)求这条直线的解析式；(2)在同一坐标系内画出题中的抛物线、双曲线和直线的草图(不写画法) 分析 综合题总以基础知识为前提，这题就体现了如下的基础内容：(1)抛物线的顶点坐标的表示；(2)图象上的点的坐标满足它的解析式；(3)二元二次方程组的解法.解题时，要把解题的程序“设计”一下，围绕目标逐步进行，如此题的目标是求直线 y= kx+c 的解析式，即确定 k、c 的值，因此确定点 C、D的坐标是问题的

3、关键.(1)先求点C的坐标29解方程组-a b3=02；. a2 5ab + 2b2= 0解得-a1= 2 ,|-a2= 2,1 b1= 1 ;1 b2= 1 .则点C的坐标为(2, 1)或(一 2, 1)(2)再确定顶点 D 的坐标由抛物线 y= (9 m2)x2 2( m 3) x+ 3m知顶点 D 的坐标为：-2(m -3) =_22(9 -m )m + 3D 的坐标为(一m+333m 10m-3)3_ 3m210m -3这时不难感觉，求 m 的值是下步方向.由点 D 在双曲线 y= 23m 10m-3m 3解得 m1= 4, m2= 6则点 D 的坐标为(1, 5)或( (丄，丄，15

4、).3(3) 最后求直线 CD 的解析式C1D1,C1D2, C2D1, C2D2，但要重视题目给出的使 y 随 x 的增大而减小的特殊限制，故直线C1D1、C1D2是不2 212m(9 m ) -4(m -3)4(9 _m2)()=5从已求得的 C1(2,1), C2( 2, 1)和 D1(1,5),D2(v,- -15).应当组成的直线有符合条件的.(想想看，什么道理？)因此，所求的直线 CD 解析式为:y= 6x 13 或 y=（图略）411x33例 2 如图，直角梯形 ABCD 的底边 AB = 5,/ BAD = 45 ,腰 AD =2、2，将此直角梯形置于直角 坐标系xoy 中，使

5、 AB 在 x 轴上，点 C 在直线 y= x 4 上.(1)按要求建立直角坐标系，并求出直角梯形 各顶点坐标；(2)若直线 y= x 4 与 y 轴交于点 M，问过点 M、A 的抛物线的顶点能否在腰 BC 上？如果能在 腰 BC 上，求出抛物线的解析式；如果不能在腰 BC 上，请你说明理由.分析 这是一道能力试题，不仅要求学生有扎实的基础知识，而且更能考查运用知识的能力怎样把直角梯形 ABCD 置于符合要求的直角坐标系内呢？建立坐标系的关键是确定x 轴、y 轴和坐标原点的位置.由于 x 轴确定了(即直线 AB),所以确定坐标原点是目标 根据条件点 C 在 y = x 4 上，而 C 点纵坐标

6、为 2, x= 6,即点 C(6,2).则点 B、A 的坐标应分别为(6,0 )和(1,0 ).从而建立了如图所求的直角坐标系.不难求得各顶点坐标分别为：A (1, 0) , B (6 , 0), C (6 , 2), D (3 , 2).,yD-CoAB xM问题(2)是许多学生感到困惑的，不知道如何去解决，其实，这仍然是个基础知识的应用问题.我们不妨把问题改为下面的两小问，你看是否可以？若是可以，你又会觉得难以解决吗？(i)求对称轴为 x= 6,且过点 A (1 , 0)与点 M (0 , 4)的抛物线的解析式；(ii) 判断该抛物线的顶点的纵坐标是否在 0vyv2 的范围内.显然可见，问

7、题就是对上面的两小问题的解决设此抛物线的解析式为：y= a(x 6)2+ h (为什么选用顶点式?)点 A(1,0)和点 M(0, 4)在抛物线上a+h=0, a+h= 4.100h=10011过 A、M 两点的抛物线的顶点不能在腰BC 上.例 3 边长为 a 的正三角形 ABC 中，D、E 分别为 BC、AC 上的点，且/ ADE = 60,设 AE = y, DC = x.(1)试写出 y 与 x 的函数关系式，并求出 y 的最小值；(2)若 BD: DC = 1:2,求厶 ADE 的面积；(3)当/ DAE = 45时，求x(1) 建立 y 与 x 的函数关系式，就是要设法找到 y 与

8、x 间的等量关系./ / ADC = 60+/ EDC = 60+/ BAD / EDC = / BAD故可证得 ABDDCE则=-BD.亘=a二x,DC CExa yD解得DxC2即 y=xx+a (0vxwa),a当 x = 时,y最小值=23a.4当 BD:DC = 1:2 , 即x=2ax= a3 y=丄(2、227a)a+ a =aa 339Sx ADE=SAADC9而& ADC= ”ABC而 DH = AH = AC CH = a丄 x.(想想看，为什么 CH = - x)2 2解方程 -x= a x,解得 x= (-.3 1) a.22例 4 已知抛物线 y= ax2+ bx +

9、 c 经过点(1,3),(:,-)和(：，:),其中：、：是一元二次方程 x2 5x+ 5=0 的两个根.(1)求这条抛物线的解析式；(2)设抛物线与直线 y= x 相交于坐标原点 O 和 A,平行于 y 轴的直线 x = m(0vmv3)与抛物线交于点 P,与直线y= x 交于点Q1在如图所示的直角坐标系中，画出这条抛物线以及直线 y= x 和 x= m,并标出点 A、P、Q 不写画法);2求线段 PQ的长(用含 m 的代数式表示);3写出 POA 的面积为 S 与 m 之间的函数关系式，并求当面积 S 最大时，点 P 的坐标.(1)求抛物线 y = ax2+ bx+ c 的解析式，就是确定

10、 a、依题意，不难写出：a+ b+ c= 3aa2+ ba +C=B ap2+ bE +C=a 也容易想到，利用一元二次方程根与系数的关系，得到 :+:= 5, :- - = 5.怎样消去等式、中的呢？不难知道，+得(X ct + P2) + b( a + B) + 2c= a+ P即 15 a + 5b+2C=5.而 一得 a( : +：)( : -) + b(:：)=(:-)yx=mx = 2Py=xQ:、oy=-x2+4X求厶 ADE 的面积是用含 a 的代数式表示ADE与SAABC的等量关系.,可利用“等高的两个三角形面积的比等于底的比”找出SA又SA ABC=xax2作 DH 丄 A

11、C, H 为垂足,DH = xsin60C的值.54则SAADE=SAADE亠X2AB=上上9327ox.2即 5 a+ b = 1.(要学会善于观察问题的特点，选择较好的方法)故求得：a = 1, b = 4,C=0. 则抛物线的解析式为y= x2+ 4x.22可知点 P、Q的坐标分别为(m, m+ 4m)和(m, m).则线段 PQ的长为一 m+ 3m.不少学生对于直线x= m(0vmv3)不知如何表现,其实这与直线 x= 2 没有本质的区别,我们只要在条件 0vmv3 中任意画一条平行于 y 轴的直线即可.怎样找到厶 POA 的面积 S 与 m 间的关系呢？解题时,不要忘记前一问求 PQ

12、的长应起到的作用.1S= &POQ+SSPQ= PQ( hi+ h2)(其中 hi、h2分别为 POQ APQ边 PQ上的高)2不难看出，hi+ h2的值即为点 A 的横坐标 x= 3(怎样求得的？你知道吗？)12329故 S= ( m + 3m)3= m + m22 2当面积 S 最大时，m=4.这时点 P 的坐标为(？,15).224练习21. 已知抛物线 y = x + mx+ 6 与 x 轴相交于 A、B 两点，点 P 是抛物线的顶点.(1) 当厶 FAB 的面积为1时,求此抛物线的解析式；8(2) 是否存在实数 m,能使 PAB 为正三角形，若存在，求出 m 的值;若不存在，请说明理

13、 由2. 已知抛物线 y= ax2+ bx+ c 与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于点 A(X1,0)、B(X2,0)( X1vX2), 顶点 M 的纵坐标为一4,若 X1、X2是方程 x2 2(m 1)x+ m2 7 = 0 的两根，且 x/+ X22=10.(1) 求 A、B 两点的坐标；(2) 求抛物线解析式和 C 点的坐标；(3) 在抛物线上是否存在点P,使厶 PAB 的面积等于四边形 ACMB 面积的 2 倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.43. 如图，直角坐标系中,0 是坐标原点，A 点的坐标为(一 3,0), B(m,-)是以 OA 为直5径的OM

14、上一点，且 tg / AOB=1, BH 垂直于2(1) 求 H 点的坐标；(2) 求图象过 A、B、O 三点的二次函数解析式；设C 为中二次函数的顶点，问经过 B、C两点的直线是否与OM 相切,并说明理由.42m 24, 2解得 m= 6.经验证 m= 6 时， PAB 为正三角形。答案或提示则抛物线的解析式为:2、2y= x + 5x+ 6 或 y= x 5x+ 6.xi+ X2= 2( m 1)2. (1)由题意得,xiX2= m2 7电22一Xi+ X2= 10 2 2 2( m 1) 2( m 7) = 10.解得 m= 2,- X1= 1, X2= 3.( X1 X2)则 A( 1,0),B(3,0).(2)所求抛物线的解析式为y= X22X3.与 y 轴的交点 c 的坐标为(0, 3).(3)符合条件的点 P 有两个：P1(1 .13,9)和 P2(1 +,13,9).3. (1)点 H 坐标为(一12,0).5(2)过 A、B、O 三点的二次函数解析式为y= - X2+ -X.6 2(3)顶点 C 的坐标为(-,15),直线 BC 的解析