2018高中数学初高中衔接读本专题5.1解直角三角形精讲深剖学案

1、第 1 讲解直角三角形三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问 题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系, 因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。【知识梳理】知识点1.三角形及其性质(1)由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，称为三角形;(2)三角形的内角和是180,三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.知识点2.解直角三角形在RtABC中，/C=90,/A,/BZC的对边分别为a,b,c.(1)三边之间的关系

2、：a2+b2=c2；(2)两个锐角之间的关系：/A+/B= 90;ababab边角之间的关系：sinA=,cosA=-，tanA=；sinB= ,cosB= ,tanB=-.ccbcca(4)三角函数值之间的关系sina1同角三角函数之间的关系：sina+cosa=1;tana=.cosa2互余两角的三角函数关系：若/A+/B=90，贝UsinA=cosB或sinB=cosA(5)特殊锐角的三角函数值asinacosatana301壘2234512260込1221122直角三角形是一种特殊的三角形，因为有勾股定理及锐角三角函数的运用，使它的边角关系更加丰富,1123同时也为高中学习解三角形和三

3、角函数，提供了很好的阶梯。3【典例解析】1.在RtABC中，/C=90，若AB=4,sinA=，求斜边上的高CD.5【分析】在RtABC中，由AB与sinA的值，求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长,再根据面积法求出斜边上的高CD的长.【解析】sinA=3,AB=4, BO AB-sinA=舟 由勾股定理可得AO舟,55548由面积法，AB- CD= AC- BC CD.25【解题反思】解直角三角形时，结合图形，尽可能使用题目中给出的原始数据，一般常把锐角三角函数与 勾股定理结合使用【典例解析】2.天塔是天津市的标志性建筑之一某校数学兴趣小组要测量天塔的高度如图，他们在点处测得天塔的最高点C

4、的仰角为45,再往天塔方向前进至点B处测得天塔的最高点C的仰角为54,AB=112 m根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan 36 -0.73，结果保留整数）【分析】在等腰三角形ADC中,AD= CD而AD= AB+ BD=112+BD所以BD= CD-112,故又可以在直角三 角形BDC中，禾U用/BCD的正切把BD和CD联系在一起.【解析】：根抿题意丿ZC8D= 54 -45= 112 m.丁在R1ZJ4CD中冬ZACD= ZCAD= 45c, .AD=CD.又；AD=AB+BD?.BD=AD-AB=CD-112.答：天塔的高度仞约为415ni.二CD tan3=BD=CD

5、-112,112”3益越二而“）4【解题反思】仰角、俯角问题是常见的实际问题，一般题目中会出现两个不同的仰角、俯角或一个仰角、 一个俯角解决此类问题时，一般是先设出未知数，用同一个未知数表示问题中不同的未知量，然后根据 问题中的数量关系列出方程求解【变式训练】1.如图，在ABC中,AD丄BC于点D AB=8,/ABD=30,/CAD=45,求BC的长.【分析】问题为求BC,结合ADLBC可转化到图中的RtABD和RtADC中分别解直角三角形求得;【解析】ADLBC于点ADB=/ADC=90.在RtABD中，IAB=8,/ABD=30,AD=2AB=4,BD=r/3AD=4 3.在RtADC中,

6、v/CAD=45,DC= AD=4.二BC= BD DC=4叮3+4.【点评】解三角形问题需增强图形的观察能力，将所求的线段分解是一种常见的思路。【变式训练】2.将一副三角板如图所示叠放在一起，求BE勺值.【分析】由问题所求的线段比分别在两个三角形中，需联系相似将线段比转化为可求出得线段比;【解析ZBAC=tSE_ABCEDC在RiddCB中，O二4貸，:,AB=AC.在RiddGD中，ZD=30,二仞二首备=书丄0【点评】问题较为复杂时，图形观察提供了很好的解题直觉，本题运用相似完成了线段比的转换，然后再运用解直角三角形解决。5【变式训练】3.某学校校门是伸缩门（如图），伸缩门中的每一行菱形

7、有米校门关闭时，每个菱形的锐角度数为10（如图）问：校门打开了多少米?（结果精确到1米，参考数据：sin 50.087 2,cos 50.996 2,sin 100.173 6,cos100.984 8）【解析】校门关闭时，如图，取苴中一个菱形ABCDM题意，得应=0?米.T 在菱形血中,AB=ADf:.ABAD是等边三角形，及D二AS=Q 3米二大门的宽是03x206（米）.校门打幵时，如團，取其中一个菱形人過 CQ根据题意，得ZBiAiDi-lOcABi-03米.T 在菱形AiBiCiDi中，丄BiDif虫6=5笃二在RIZULBIOI中，J1 Oi1410111 -sin 5ox030.026 16（米），25101=0 052 32（米二伸缩门的宽是 0.05232x20=1.046 4（米）校