第9章第7讲抛物线

1、第7讲抛物线基础知识整合|知画府理1 .抛物线的定义平面内与一个定点尸和一条定直线/（/不过尸）的距离画相篁的点的轨迹叫做 抛物线.点尸叫做抛物线的焦点，直线/叫做抛物线的回连线.其数学表达式：网IMFI=4（其中d为点M到准线的距离）.2 .抛物线的标准方程与几何性质标准方程/ = 2px (/?>0)，二-2PM00)x2 = 2py(p>0)x2=-2/W>0)的几何意义：焦点/到准线/的距离图形韦顶点0(0,0)对称轴同，二0105 k = 0焦点庵,。）F目二2二）F(08_2 v离心率g = 09l准线方程回二f叵ME二-§回小范围询 G0,vR同tW0

2、,.vR同v20,xR同)W0,xR开口方向向回后向回左向画上向回工知识拓展抛物线焦点弦的几个常用结论设A8是过抛物线y2 = 2px（p>0）的焦点尸的弦，若&加，）“），8（必”），则:/八 IL)(1 )x1x2 = 4 , yyi = -/厂；(2)若A在第一象限，8在第四象限，则L4FI=厂长蒸，I8FI=匚匕二 弦长I COoCZ1 IAB=x +也+=召;(a为弦48的倾斜角)； 11 CA112(3嗝+两=7(4)以弦A8为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的

3、弦长等于2P.1 .抛物线 =*的准线方程为()A. y二-1B. y二一；1C. y= -D. y = - 1答案A解析 由 = 得故抛物线 =*的准线方程为y二-1,故选A.2. (2019黑龙江联考)若抛物线f =4y上的点P(m, )到其焦点的距离为5,则二()A199A.彳B.C.3D. 4答案D解析 抛物线x2 = 4y的准线方程为y = - 1 .根据抛物线的定义可知5= + 1,解得二4.故选D.3.过点P(-2,3)的抛物线的标准方程是(),94A. y2= 一卧,或/二支R ，9 T，48 .广二卧或广二号，9 4C. ），2可.或二一号，94D. y2= - -jx 或/

4、=-y答案A解析 设抛物线的标准方程为V=匕或/工% 代入点P（-2,3）,解得k 二949, 4 一一2，m = 39所以2=一/或=袁，选A.74.已知抛物线C： 丁二方的焦点为尸，A（x0,州）是C上一点，且L4FI = 2yo,则工0 二（）A. 2B. ±2C. 4D. ±4答案D解析由丫 二，得二8y,.抛物线C的准线方程为y = - 2,焦点为F（0,2）.由抛物线的性质及题意，得必1二2），0=），0 + 2.解得），0 = 2,.的二±4.故选口.5. （2019.广东中山统测）过抛物线产二4工的焦点作直线交抛物线于AS, y）,8（右,m）两点

5、.如果Xi+X2 = 6,那么1481二（）A. 6B. 8C. 9D. 10答案B解析 由题意知，抛物线产二41的准线方程是1二-1过抛物线），2 = 4%的 焦点作直线交抛物线于A（xi, yi）, 8（X2, ”）两点，.1481=加+及+ 2.又xi+及=6, AB = x + xi + 2 = 8,故选 B.6.。为坐标原点，/为抛物线C： V = 4gx的焦点，尸为。上一点，若IPFI =4啦，则4尸。尸的面积为（）A. 2B. 22D. 4答案C解析利用IPFI=xp +m=4虚，可得七二3建，.'.yp = ±2,/6.Spof - JOF- yp = 2由.

6、故选c核心考向突破精准设计考向，多角度探究突破考向一抛物线的定义角度1到焦点与到定点距离之和最小问题例1 (2019.赣州模拟)若点A的坐标为(3,2),户是抛物线)，2 = Zr的焦点，点 M在抛物线上移动时，使IMFI + IM4I取得最小值的M的坐标为()A. (0,0)B.区 1)C. (1,的D, (2,2)答案D解析 过M点作准线的垂线，垂足为N,则+=+ 当4,M, N三点共线时，IMFI + IM4I取得最小值，此时M(2,2).角度2到点与准线的距离之和最小问题例2 (2020.邢台模拟)已知M是抛物线/ = ，上一点，尸为其焦点，点A在 圆C: (x +厅+ °，

7、- 5产=1上，则IMAI + IMFI的最小值是.答案5解析 依题意，由点M向抛物线炉二4丫的准线/： y=-弓|垂线，垂足为 Mi,则有IMAI+ IMFI = IMAI+ IMM1I,结合图形可知IMAI + IMMI的最小值等于圆心 。(-1,5)到)，=-1的距离再减去圆。的半径，即等于6-1=5,因此IMAI + IMM 的最小值是5.角度3到定直线的距离最小问题例3已知直线八：4x-3y + 6=0和直线，2：- 1,抛物线产二4x上一动点P到直线1和直线11的距离之和的最小值是()A.B. 2D. 3答案B解析 由题意可知，2：- 1是抛物线y2 = 4x的准线，设抛物线的焦点

8、为F（l, 0）,则动点P到的距离等于IP",则动点P到直线八和直线，2的距离之和的最小值，即焦点尸到直线八：4x-33，+ 6 = 0的距离，如图所示，所以最小值是 14-0 + 615=2与抛物线有关的最值问题的两个转化策略将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之 间线段最短”，使问题得解.将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有 点的连线中垂线段最短”原理解决.即时训练1.（2019.潍坊质检）在上有一点P,它到41,3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是（A. (一2,1)B.(1,2)C. (2,1)D.(1,2)

9、答案B解析如图所示，直线/为抛物线丁 二"的准线，尸为其焦点，PNL, ANi 1/,由抛物线的定义，知PFI = IPM, .L4尸l + IPFI = L4PI + IPM2L4Nil,即当且仅 当A, P, N三点共线时取等号.P点的横坐标与4点的横坐标相同，即为1, 则可排除A, C, D,故选B.2.已知产是抛物线)2 = 4x上一动点，则点尸到直线/： 2x-y + 3 =。和y轴 的距离之和的最小值是()A. y/3B. y/5C. 2D.书一 1答案D解析 由题意知，抛物线的焦点为尸(1,0).设点尸到直线/的距离为匕由抛 物线的定义可知，点尸到)，轴的距离为IPFI

10、-1,所以点尸到直线/的距离与到y 轴的距离之和为"+ IPFI- 1 .易知"+ PFI的最小值为点F到直线/的距离，故"12 + 31I尸”的最小值为/ , 广木,所以"+IPFI-1的最小值为4-1.2- + (- 1)-考向二抛物线的方程例4 若动点M(x9 y)到点F(40)的距离比它到直线-5的距离小1,则点M的轨迹方程是()A. x=-4B. a=4C. y2 = 8.vD, y2 = 16x答案D解析 二.点M到厂(4。)的距离比它到直线x=-5的距离小1, .点M到产 的距离和它到直线-4的距离相等，故点M的轨迹是以尸为焦点，直线工二

11、-4为准线的抛物线，得点M的轨迹方程为，2二16工(2)已知抛物线f二2)，(/»0)的焦点为尸，点尸为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为答案a2 = 4y解析 因为口M为等边三角形，则IPMI = PFI,由抛物线的定义得PM垂 直于抛物线的准线，设而，覆，则点明，-9,因为焦点兄0, 9, "PM7 + 2 = 4，屐二是等边三角形，所以 解得因此抛物线的方程相距=4,修，为二4y.抛物线标准方程的求法求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程 法.对于焦点在工轴上的抛物线的标准方程可统一设为尸二办

12、3W0）, 的正负由 题设来定，也就是说，不必设为y2 = 2px或）2=-2pxS>0）,这样能减少计算量； 同理，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为 二 s"w。）.即时训练1 3.（2019.衡水中学调研卷）若抛物线y2 = 2p.W>0）上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6,则抛物线的方程为（）A. y2 = 4xB. y2 = 36xC.=© 或,2 _ 36工D. y2 = 8x 或 y2 = 32x答案c解析 因为抛物线）2 = 2p.e>0）上一点到抛物线的对称轴的距离为6,所以设 该点为尸（沏，±6）.因为尸到抛物

13、线的焦点°）的距离为1。，所以由抛物线的 定义得回+ §=10.因为尸在抛物线上，所以36 = 2pxo.由解得=2, 刖=9或18,刖=1,则抛物线的方程为= 4x或尸=36k4.（2019.运城模拟）已知抛物线/二夕与直线y = 2x-2相交于M, N两点，若MN中点的横坐标为3,则此抛物线的方程为（）A. x2C. x2 = - 3yD. x2 = 3y答案D家二曲，解析 设点M(xi, yi), N(X2, ”).由j消去y,得厂一 2ax + 2" = 0,U = 2a, 一 2X + X2 所以因此所求的抛物线方程是二3y.考向三抛物线的性质例5 (1

14、)过抛物线二2、的焦点作一条直线与抛物线交于A, 8两点，它们 的横坐标之和等于2,则这样的直线()A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条答案B解析 若直线48的斜率不存在时，则横坐标之和为1,不符合题意.若直线A8的斜率存在，设直线A8的斜率为攵，则直线AB为代入抛物线F二2x,得一(/+ 2)工+ /2 = o,因为a , 8两点的横坐标之和为2.所以攵二班.所以这样的直线有两条.(2)(2018.北京高考)已知直线/过点(10)且垂直于工轴.若/被抛物线y2 = 4公 截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案(L0)解析 如图，由题意可得，点尸(1,2)在抛

15、物线上，将尸(1,2)代入)，2二4仆，解得二1,.守二以，由抛物线方程可得，2p = 4, p = 2,1, .,.焦点坐标为(1,0).（1）涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化.（2）应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看 出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直 观性.即时训练5.（2019.长沙模拟）4是抛物线），2 = 2px（p>0）上一点，尸是抛物线的焦点，。为坐标原点，当於FI = 4时，/。桁=120。，则抛物线的准线方程是（）A x 二 - 1B. y 二 一 1C. x = - 2D y

16、 =-2答案A解析 过A向准线作垂线，设垂足为8,准线与x轴的交点为。.因为NO阳 二 120。，所以aAB/为等边三角形，/ DBF =30°,从而二IOFI=2,因此抛物线 的准线方程为-1,故选A.6.在平面直角坐标系工。中有一定点44,2）,若线段。4的垂直平分线过抛 物线）2=2Pxs>0）的焦点，则该抛物线的准线方程是.答案x = 2解析 的中点的坐标为（2），斜率=的垂直平分线的方程为），-1 = - 2。- 2）,即y=一 2x + 5.又抛物线/ = 2Pxs>。）的焦点在工轴上，即V =。）'二°，（55 p由,_T s 得抛物线的焦

17、点尸的坐标为仁.4 二 £，J抛物线的准线方程为x= 2,考向四直线与抛物线的位置关系 v21例6 （2019.全国卷III）已知曲线C:3，二 ,。为直线上的动点，过。 作C的两条切线，切点分别为A, B.（1）证明：直线A8过定点；(2)若以£(0, |)为圆心的圆与直线A8相切，且切点为线段AB的中点，求四 边形AO8E的面积.解(1)证明：设。(匕 - 3), 4月，yi),则 R = 2yi.因为V=x,所以切线D4的斜率为r,1yi+5故 ；=A1.XI - t整理得 2fxi - 2yi + 1=0.设 8(X2, yi),同理可得 2txi- 2yi +1=

18、0.故直线AB的方程为2tx-2y+=0.所以直线A8过定点o,(2)由(1)得直线A8的方程为y =状+1-21+加 f2 一一 - y y <1L<由于是xi+X2 = 2r, xX2 = - 1,y + yi = t(x + %2)+ 1 = 2Z2 + 1,LABl+Avi-X2l二1 + X yj(x +X2)2 -4X1X2 = 2(尸 + 1).设小，/2分别为点。，E到直线A8的距离,i2贝lj "i =业2+ 1, d2 =因此，四边形AD8E的面积S = 3匕8(4+力)=(3+ 3) 正+ 1.设M为线段48的中点，则心9因为国fJLB,而血/ =

19、"，3一2),施与向量(1,。平行，所以/ + (尸一2» 二 0,解得=0或f = ±L当 f = o 时，5 = 3;当，二±1 时，5 = 42.因此，四边形AO8E的面积为3或外求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方 法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意 “设而不求” “整体代入” “点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛 物线的焦点，可直接使用公式A8=即+也+(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，

20、则必须用弦长公式.即时训练1 7.(2020.福建泉州第一次质量检测)已知抛物线C: a2 = 2/7y(/7>0) 的焦点为尸，点A, 8在C上，尸为线段A8的中点，148 = 4.(1)求。的方程；(2)过户的直线，与。交于M, N两点.若C上仅存在三个点K(i=123),使 得MNK的面积等于16,求/的方程.解 解法一：(1)由抛物线的对称性，可知48x轴，且A, 8的坐标分别为所以4 = 2p.J解得p = 2,故C的方程为二4F(2)如图，作与/平行且与C相切的直线,切点为K由题意，可知 的面积等于16.设/的方程为y=履+1,方程/二4)，可化为y=*,贝Ijy'

21、=1x,令)，=k,解得x = 2攵，将工二2攵代入炉工4)，,得y = K,故K(2%,，所以K到/的距离d2k2-k2+ II1(a2 = 4y,=厂一 二 "+1,由j消去y,得厂一 4心=4 = 0,从而内+必yk + 1 yb，=区 + 1,=4k, xiX2 = -4,所以IMN1 = yjk2 + 1 yj(x +X2)2 -4xiX2 = 4(炉 + 1),故MNK的面积为:IMNI"=2(R+1)后J,从而2伏解得攵=小或k=-小.所以I的方程为y=，5x+ 1或y=-木x+ 1.解法二：设 &xo, >'o), 8(X0,，yor

22、),贝IJ 需= 2pyo, xo' 2 = 2pyo',因为产为AB的中点，所以xo + xo' =0, yo + yo' =p,故yo = yo' =2« 从而A8I = 2LyoI,故lxol = 2,1 二 4y,/1消去)'，V = KX+ 1所以4二2P.i解得 =2,故C的方程为 = 4y.直线/斜率显然存在，设直线/的方程为)=丘+1.由 得一4 6一 4 = 0,设 M(xi, yi), Ng, yz),则 xi+X2 = 4k, xg=-4,所以 IMNI=玄 + 1 (X1 +X2)2-4X1X2 = 4(Z:2

23、+ 1),因为点K在。上，设H”?，"2)，则点K到直线I的距离d =MNK的面积等于16,所以关于?的方程gx4(R+l)Xkm -+ 1km-n2+ 1二16恰有三个不同实根，即m2 - km - 1实根，所以7 = 2k,(2k)2 - k-2k - 1 =lr + 8二 g'恰有三个不同所以/的方程为y=5x+1或y=-/x+L学科素养培优（卜九）化归思想解决抛物线中的比值问题1. （2019长沙模拟）已知点402）,抛物线C: y2 = 2pxS>0）的焦点为F,射 FM 5线应与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若丽二号，则的值等 于.答案2解析 依题

24、意，得点尸的坐标为，0）,设M在准线上的射影为K,由抛物FM 50-2线的定义，知=由丽=拳，则IKM ： IKMI=2 : 1,即始一2-°44得-1二-2,解得p=2.2. （2019山东临沂三模）已知抛物线C: y2 = 2pW»0）的焦点为R直线?与 C交于A, B两点,AF1BF,线段A8的中点为M,过点M作抛物线C准线的垂 线，垂足为M则湍的最小值为.答案也解析如图所示，设抛物线的准线为/,作于点Q, 于点尸，由 抛物线的定义可设L4FI = L4QI = ，BF = BP = h ,由勾股定理可知1481 二 ylAF2 + BF2=yja2 + b2,a +

25、 bABN型+ b）-厂由梯形中位线的性质可得IMM=y,则而而="4 + b2，+匕一二啦，当且仅当。二时等号成立，即剧的最小值为啦./答题启示圆锥曲线中存在线段比值问题，应采用化归转化思想方法转化为向量关系， 或有关点的坐标关系，有时还利用相似比或三角函数求解.,对点训练1. （2019安徽宣城第二次调研）已知抛物线C: y2 = 2/zv（/9>0）,过焦点厂作倾 斜角为60。的直线/交抛物线C于A, 8两点，ELL4FI>IBF1,则黑二.答案3解析 抛物线产=2/»（/>0）的焦点坐标为住，。），.直线/的倾斜角为60。， 直线/的方程为二小Q-

26、9,设直线/与抛物线。的交点为A3,），8（如），2）, ：.AF=xx+ 18rl=联立方程组，消去并整理，得2-20/» +3P2=0,解得不二平，足二£ ：.AF=x+ = 2p,山川二X2 + §=?，L4FI : BF 乙VI4乙 J二3 ： 1, .器的值为3.2. （2019.湖北八校联考）已知抛物线C：）2 = 230）的焦点为尸，准线为/,过户作斜率大于。的直线与抛物线C交于M, N两点（M在x轴上方），且与直线IFM 3/交于点。.若而二，IMFI=16,则的值为.答案4解析 过M, N分别作/的垂线，垂足分别为Mi, Ni,过尸作MM1的垂线

27、, 垂足为P._FN 3. imi 3, MP 3丽二不"NQ,丽二不3,.IMPyiM”，MF = IMMil = MP +p = |lMFI + p,.二 4.课时作业1 .抛物线二1y的焦点到准线的距离是（）A. 2B.1C -D-L. 2U.4答案D解析 抛物线标准方程二2pyS>0）中p的几何意义为：抛物线的焦点到准 线的距离，又二;，故选D.2. （2019.全国卷II）若抛物线），2=2入3>0）的焦点是椭圆+，=1的一个焦 点，则P =（）A. 2B. 3C. 4D. 8答案D解析 抛物线y2 = 2px（/»0）的焦点坐标为§，

28、76;1,椭圆方+ 5=1的焦点坐标 为（历，。）.由题意得今二问，解得 =0（舍去）或=8.故选D.3.已知抛物线C：产二X的焦点为凡AQo,加）是c上一点，L4FI = 1a-0,则 刖二（）A. 1B. 2C. 4D. 8答案A解析 由题意知抛物线的准线为x=-；.因为L4F1=£o,根据抛物线的定义可 得 X0 + ； = L4FI = |xo,解得 xo = 1 .故选 A.4. （2019山西太原模拟）抛物线/工4），上一点尸到焦点的距离为3,则点尸 到丁轴的距离为（）A. 2y2B. 1C. 2D. 3答案A解析 根据抛物线方程可求得焦点坐标为（。），准线方程为-1.根

29、据抛物 线的定义，得冲+1=3,解得冲二2,代入抛物线方程求得立二±2啦，.点尸到 y轴的距离为2陋.故选A.5. （2019湖南师大附中模拟）设抛物线/ = 2px的焦点在直线2x + 3y-8 = 0 上，则该抛物线的准线方程为（）6. x 二 一 4B. x 二 一 3答案A解析把y = 0代入2x + 3y-8=0,得2A-8=0,解得x = 4, .抛物线产二 2Px的焦点坐标为（4,0）, .抛物线2 = 2px的准线方程为x=-4.故选人.6.过抛物线C:r工2），的焦点厂的直线/交抛物线C于A, B两点,若抛物线。在点8处的切线斜率为1,则L4FI=（）A. 1B.

30、2C. 3D. 4答案A解析.二2），.=x, 抛物线C在点8处的切线斜率为1, .01,技.抛物线f二2），的焦点户的坐标为（0,目，.直线/的方程为）巨, .14尸|二山尸|=1.故选A.7 .（2019.天津高考）已知抛物线r = 4x的焦点为F,准线为，.若/与双曲线£- %= 15>0, >0）的两条渐近线分别交于点A和点B,且L48 = 4IOFI（O为原点）， 则双曲线的离心率为（）A.啦B.小C. 2D.小答案D解析 由已知易得，抛物线）P = 4x的焦点为尸（1,0）,准线/：-1,所以IOFI二1.又双曲线的两条渐近线的方程为），=±5，不妨

31、设点4-1,，5（-1, -匀, 所以L48二手=41"1二4,所以：2,即8二2",所以分二4层.又双曲线方程中c? =a2+ b2,所以，=54,所以e二，木.故选D.8.过点2,0）的直线与抛物线C：尸二4x相交于A, 8两点，且抬1二品8, 则点4到抛物线C的焦点的距离为（）57A- 3B- 59C. jD. 2答案A解析 设A（r >-0, B（x2,刈，分别过A, 8作直线2的垂线，垂足分13（xi +2） = x2 + 2,卜，彳= 4r,2别为。，£.,|%1 = *81, .上又,力 得用二本则点A乙13yl =>明。吃=4M，

32、76;2 5到抛物线C的焦点的距离为1+十区29. （2019.安徽合肥检测）已知双曲线事-f=1的两条渐近线分别与抛物线）2 =2/八3>0）的准线交于A, B两点.。为坐标原点.若048的面积为1,则的 值为（）A. 1B. y/2C. 2/D. 4答案B解析 双曲线的两条渐近线方程为y=±2%,抛物线的准线方程为x=故 A, 8两点的坐标为一乡土。L4BI = 2p,所以%。相二92/必二日二1,解得 =卓,故选B.10. （2020.湖北襄阳测试）已知抛物线的焦点为F,准线为I, M在1 上，线段“/与抛物线交于N点，若IMM二让IN",则IMFI = （）A

33、. 2B. 3C. a/2D. 小答案C解析 如图，过N作准线的垂线N，垂足为”.根据抛物线的定义可知IM7I =INF1,在中，1NM1 二NHT,则二45。.在MFK 中，£FMK二 45。，所以IMfl二也炉K.而IFKI= 1.所以IMFI=也.故选C.II.如图所示，抛物线产二©的焦点为产，准线为/,经过尸且斜率为小的直线与抛物线在X轴上方的部分相交于点A, AKU,垂足为K,则aAK/的面积是（）B. 3小D. 8A. 4C. 4小答案C解析 由题意可得凡1,。），直线4尸：），= g（x-1）,代入V = 4x,得3/-i（k + 3 = 0,解得工=3或x

34、= g.由于点A在x轴上方，所以其坐标为（3,2/）.川 = L4KI = 3+1=4, A /的斜率为，5,即倾斜角为 60。，./KA /=60。，/. AAKFS为等边三角形，.AKF'的面积为手义42 = 4小.12.（2019重庆南开中学第三次教学质量检测）已知尸是抛物线），2二船的焦点,（ n IIMI - IFBIIA, 8在抛物线上，且A8F'的重心坐标为仁，d,则一而一二（）D.C.手答案A解析 设点A（xa,划），B（xb, yB）,由焦点F（1,O）, ZXABb的重心坐标为弓，1）,Xa + Xb +及重心坐标公式，得1-2 一一)L0 13/即VQ V

35、R抛物线的定义可得I胆I -尸8 =以+ 1 一 （加+ 1）=必-切=-j,由点在抛物线上Va vb 4作差次一日二 4*-4必，化简得A"二二二际二4,代入弦长公式得Ir亚AB =、/ 1 + 诃型-）苗1 =1班 - vbI,II网-IMIII 41%+）%1 近 g旺 A则从8二布二飞亍="，故选A*4- *113. （2019湖北黄冈质量检测）若抛物线），二,4的焦点厂的坐标为（0, 一1）,解析 因为抛物线y =所以/二%.由焦点户的坐标为（。，-1）,得士二1 -4-14. 已知产是抛物线廿二x的焦点，A, 8是该抛物线上的两点，若14fl+ 18尸 二5,则

36、线段A8的中点到），轴的距离为.答案I解析 设A（X, >'1）, B（x2, y2）,则由抛物线的定义可得LAW+ I8FI=5,即即11Qxi +工2 9+ a +，q + a = 5,解得X1+X2 = ,所以线段A8的中点到y轴的距离为一二不15. 设尸为抛物线y2 = 2px（/»。）上任意一点，尸为抛物线的焦点，定点A（l,3）, 且1%1 + PFI的最小值为如，则此抛物线的方程为.答案K =解析 若A（l,3）在抛物线内部，贝IJI以I + IPE的最小值为= 故2P=4（710-1）,抛物线的方程为产=4（«历-1）羽 此时41,3）在抛物线

37、外部，不符合 题意；若4 1,3）在抛物线外部，则PA + PFI的最小值为LA fl =V10,故 =4,抛物线的方程为=8羽 此时A（l,3）在抛物线外部，符合题意.16. （2020.聊城模拟）抛物线C： V = 4x的焦点为R动点尸在抛物线C上，PFPF点A（-l,0）,则而的最小值为；当两取得最小值时，直线AP的方程为.答案 ¥ x + y+1 =0 或、-)，+1 =。解析 设点尸坐标为(4户旬，尸(1,0), A(- 1,0),IP砰=(4户一 i)2+16户=16r4 + 8r2 + 1,IMI2 = (4 尸 + 1月 + 16 3= 16J + 24尸 + 1,p

38、PFiy _ 16.+ 8= + 1 _16尸'I两( = 16尸 + 241+1 = 1 -16广 + 24尸+132 = 29PF . PF两加一两的最小值为当当且仅当163二占 即u土;时，需取得最小值当，此时点尸的坐标为(1,2) 或(1, -2). .直线 AP 的方程为尸土(x+l),即 x + y+l=0 或x-y+l=0.17. (2019.安徽皖南八校联考)过抛物线C: r = 2p)，(p>0)的焦点/作直线I与 抛物线C交于4, 8两点，当点A的纵坐标为1时，L4FI = 2.(1)求抛物线。的方程；(2)若抛物线C上存在点M(-2, >'o)

39、,使得求直线/的方程.解(1)抛物线C： = 2py(p>0)的准线方程为)，二-宏 焦点为从0,目. 当点A的纵坐标为1时，LAW = 2,1+ = 2,解得p = 2, 抛物线C的方程为f = 4y.(一2>.点M(-2, %)在抛物线2上，.加=一厂=1.又尸(0,1), .设直线/的方程为产丘+1.V = kt + 1,由得一4-一 4 二 0.设 A(xi, yi), 8(X2, ”),则 xi+X2 = 4K xiX2=-4,MA = (ai + 2, yi - 1), MB = (%2 + 2, yi - 1).：.MAB = O9(xi + 2)(x2 + 2) +

40、 (yi l)(yz - 1) = 0,/. - 4 +以+ 4 4妤=0.解得k = 2或斤=0.当攵=0时，/过点M(舍去)，.4 = 2, .直线/的方程为y = 2x+l.18. (2018.全国卷 I )设抛物线 C: )2 = 2% 点 A(2,0), 8(-2, 0),过点 A 的 直线，与。交于M, N两点.(1)当/与x轴垂直时，求直线8M的方程；(2)证明：/ABM= £ABN.解(1)当/与x轴垂直时，/的方程为x = 2,可得M的坐标为(2.2)或(2,- 2).直线BM的方程为y = + 1或y=1.(2)证明：当/与工轴垂直时，A8为线段MN的垂直平分线，

41、所以NA8M=/ ABN.当直线/与x轴不垂直时，设直线/的方程为)=« 2)(kW0), M(ai , 3'1), Mm, yz),则修>0,2>o.y = k(x-2),2由j.得打一 一 2y 4k = 0,可知户+g二了,"”二一4.直线8M,6 = 2x,长8N的斜率之和为, 以 ” W +内心+ 2(户+户)KBM + KBN =77 + 77=/ 7xi+2 %2 + 2(xi + 2)(x2 + 2)-将XI4+ 2,9=券+ 2及yi+”，w的表达式代入式分子，可得2yly2 + 4k(y + yi)X2ji + xyi + 2(y + yi)=7-8 + 8= = 0-.kBM + kBN = Ot可知8M, 8N的倾斜角互补，：.A ABM= ABN.综上，£ABM= £ABN.19. (201