福师《高等代数选讲》期末考试A卷参考答案

1、福建师范大学网络教育学院高等代数选讲 期末考试A卷教学中心专业_学号姓名成绩、单项选择题（每小题4分，共20分）1 .设A,B是n阶方阵，k是一正整数，则必有( D )(A) ( AB)k =AkBk ;(B) |-A = -|A ；(C) A2 -B2 =(A-B)(A+B) ;(D) |AB| =|B|A o2 .设A为m"矩阵，B为nm矩阵，则(A )。(A) 若 mn,则 |AB|=0;(B) 若 m < n ,则 | AB| = 0;(C) 若 m >n ,则 |AB|=0;(D) 若m<n,则 |AB|=0;3 . Rn中下列子集是R n的子空间的为(A

2、 ).A W =1回0,|1,0，4忖，1 R3)3n1(B ) w =鸿e2, Illa w R3,i =1,2,IH,n,Z ai =1,;iTn(C) W4 = "ai,a2,IILan|aiW R3,i =1,2,HI,n,n 3=1：;, i 1D W4 =/鼻/a R3,i =2,3|l,n:4 . 3元非齐次线性方程组Ax = b ,秩r（A）=2,有3个解向量口，.，% 4 = (1,0,0) T , a1 +% = (2,4,6) T ,则 Ax = b 的一般解形式为( C )(A) (2,4,6) T+ki(1,0,0)T , ki 为任意常数(B) (1,2,

3、3)T+ki(1,0,0)T , ki为任意常数(C) (1,0,0)T 十匕(2,4,6) T , k1 为任意常数(D) (1,0,0) T +。(1,2,3), k1为任意常数5 .已知矩阵A的特征值为1,-1,2 ,则A的特征值为（D(A)11,2 ;(B )2,-2,4;(C )1,-1,0 ;第 11页共 5页、填空题（共20分）1. （6分）计算行列式2. (4分)设 D =43324423351222413561332142411442152233101则 A21A22 . A23 =222200340024160；A24A25 =013. （3分）计算0000123 100-

4、10456 00101 j7891010j1 1-4.74. （4 分）若（x1）2 |ax4+bx2+1 ,贝 U a = Jb = -21 a，x y z = 0I5. （3分）当力一满足 上力,-2 时，方程组x +九y + z = 0有唯一解x + y +九z = 0（10分）计算n阶行列式：Dn320 11 00132 I1 00013 I1 00IIIIIIIH 11 HIHI000 1| 32000 1I 13解：3 2 00 03 2 00 013 2-001 3 20 0Dn = 30 1 30 0 v 0 130 01 *VVV* * * * *0 0 03 20 0 03

5、 2 « « 0 0 01 30 0 01 3从而口的=3Dn.! -2Dn-r则 Dn Dn_| = 2(Dn_ _ Dn_;) = 2A“外一 DJ7 ?!D2 =：= 7, %= 32 1 3l因此Dn-Dfl_x = 2n-2X4 = 2HDn = Dn_1 + 2n = Dx + 2: + 23 + » + 2° = 1 + 2 + 2: + 23 + - + !n该等比数列前n+1项的和为：父（1-2口汽）D 1-2-12 212 =4 0 -2 ,求 X0 10 66 _11四.已知矩阵X满足X 0 2J -12 10 -26 6解！1 1

6、设对。21 1计算得|A| = 6,可知矩阵A可逆则 xaat = bat，即x =ri1i r0 26 0.所以, 132 21 ；X = BA-1 =40-2-3Lo 66口五.（10分）利用综合除法将f（x）=x4表示成X-1的方幕和的形式。解：使用综合除法，如下所示:11111 0 0 0 0111111 2 31 2 3 4-1 3 61 3 6a f(x) = x4 = (x- l)4 + 4(x - I)3 + 6(x - 1)，+ 4(x -1) + 1pxi x2 x3六.（15分）试就p,t讨论线性方程组2xi +3tX2+2必=7解的情况，并在有无穷多为2tx2x3解时求

7、其通解解:Hl2t14112 3t27 对AA进行初等行变换工p114-ri 2t 1 41 iiri 2t142 mt 2 7r2 一加10-t01lp 1 1 4Jr3 - Prl.0 1 2tp 1 p 4 4p.若该非其次线性方程组有无穷多解，需要满足r(A)=r(A)(3r(A)= r(A) < 3增广矩阵第一行元素不全为零增广矩阵第二行元素不全为零而增广矩阵第三行元素应全为零,p= lp= 1，t = 0.5t = 0.51012Kt。-o.5 0 -1用 000X2=2Xl=2-X31 2 2七.（15分）设矩阵A= 2 1 2 , ：2 2 1_1 .求矩阵A的所有特征值与特征向量；2 .求正交矩阵P,使得P/AP为对角矩阵。解：1、（5-九）（1。）令IA-入E| =0得庆的特征值为5, J, J兀=5代入（A -入E）X = 0 f 因此将 1中得基础解系为%=（1,1,1）,其对应的全部特征向量为 心对其中k1为 任意非零常数。将1 = % = 1代入（A入E）X = 0中得基础解系为， C ） "其对应的全部特征向量为k2a+k3a3,其中k2卜3为不