圆章节考点情况总结分析

1、圆章节知识点一、圆的概念1 .平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点称为圆心，定长称为半径，以点 为圆心的圆记作“ e ”，读作“圆2 .确定圆的基本条件：（1）、圆心：定位置，具有唯一性，（2）、半径：定大小。3 .半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够完全重合。4 .连接圆上任意两点的线段叫做 弦，经过圆心的弦叫做 直径，圆上任意两点间的部分叫 做圆弧，简称弧，弧用符号" ”表示，圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧，每一条弧都叫做半圆， 大于半圆的弧称为 优弧，小于半圆的弧称为 劣弧。在同圆或等圆 中, 能过重合的两条弧叫做 等弧。理解：弧在圆上，

2、弦在圆及圆上：弧为曲线形，弦为直线形。5 .不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个。6 .三角形的三个顶点确定一个圆， 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的 外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆，圆心是三个角的角平分线的交点，他到三条边的距离相等：内心到三顶点的连线平分这三个角。（补充）圆的集合概念1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长

3、的点的集合；3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2 、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。、点与圆的位置关系点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d与半径r的大小关系决定的。点在圆内点C在圆内d1r点在圆点B

4、在圆d2rAdr点在圆外点A在圆外d3rOBdC圆的对称性条过圆心的直线都是他的对称轴中心对称图形。drdrdrrd=rrdddR1r外切个交点dRr相交有两个交点Rdr个交点dRrdRrdddrRrRRr图2图1质叫做圆的旋转不变性。圆既是轴对称图形相交，相切圆是轴对称图形，他有无数条对称轴d,那么R rr,圆心O到直线l的距离为d,那么R和r,圆心距为图5五、垂径定理(非常重要)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1： (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平

5、分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共 5个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它3个结论，即:AB是直径 AB CD CE DE弧BC 弧BD 弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在。中，. AB / CD弧 AC 弧 BD解题技巧：在圆中，解有关弦的问题时， 常常需要做“垂直于弦的直径”作为辅助线。六、圆心角定理顶点在圆心的角叫做 圆心角。圆心角的度数与他所对的弧的度数相等。圆心角定理：在 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中,只要知道其中

6、的1个相等，则可以推出其它的 3个结论，即： AOB DOE ; AB DE ;OC OF ;弧BA弧BD七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角(或弧的度数)的一半。即：: AOB和 ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角AOB 2 ACB2、圆周角定理的推论：推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在。中，. C、 D都是所对的圆周角 C D推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在。中，.AB是直径或. C 90 C 90AB 是直径推

7、论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，.OC OA OB， ABC是直角三角形或 C 90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 的逆定理。注：忽略一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角边有两种不同的角。八、圆内接四边形一般的，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆。圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补。推论：圆内接四边形任何一个外角都等于他的内对角。即：在。中， .四边形 ABCD是内接四边形C BAD 180 B D 180DAE C

8、九、切线的性质与判定定理 直线和圆有唯一公共点(即直线和圆相切)时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点 叫做切点。(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：: MN OA且MN过半径OA外端MN是。O的切线(2)性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理:即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。连接圆心与切点间的线段是解圆的切线问题时常用的辅助线，通常叙述为:“见切点连半径得

9、垂直解决与圆的切线有关的问题时，常需要补充的线是作过切点的半径。九、切线长定理在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。切线长 定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角。即：: PA、PB是的两条切线 PA PBPO平分 BPA(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在。中，弦 AB、CD相交于点P, PA PB PC PD(2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在。中，直径 AB CD , CE2 AE BE(3)切割线定理：从圆外一点引

10、圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在。中，PA是切线，PB是割线_ 2PA PC PB(4)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)即：在。中，PB、PE是割线 PC PB PD PE十二、两圆公共弦定理两圆相切时，连心线必过切点，这一性质是由圆的对称性决定,两个圆组成的图形是轴对称图形，对称轴是经过两圆圆心的直线。圆公共弦定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。如图：O1O2垂直平分AB。即：。1、o。2相交于A、B两点。2垂直平分AB注：两圆相交时，依照两圆圆心和公共弦的位置，可分为两种情况:两圆圆

11、心在公共弦同侧，两圆圆心在公共弦异侧。十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:(1)公切线长：Rt 0102c 中，AB2 CO12 d°Q22 CO22 ;A(2)外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和十四、圆内正多边形的计算各边相等，各角也相等的多边形叫做 正多边形。把一个圆分成相等的弧，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做正多边形的外接圆。经过各分点做圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆。正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心。正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。正

12、多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形内切圆半径叫做正多边形的 边心距。正n边形的半径 R与边心距r把正n边形分成2n个全等的直角三角形。关系式：中心角 n=3600; &<an=2Rsin; nn边心距 rn Rcos180-; R2 r2 (1an)2;周长 Cn nan; n21_1面积 S= anrn ?n=_ Cn?rn. 22(1)正三角形在O O中4 ABC是正三角形，有关计算在 Rt BOD中进行:OD:BD:OB 1:后 2；(2)正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，OE : AE :OA 1:1: 72 ：(3)正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，AB:OB:OA 1 - 3:2.A卜五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：(1)弧长公式： L_R.180(2)n R2扇形面积公式：S -R