同济大学第六版高等数学上册课后答案全集

1、高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题 1 11 设 A (5) (5) B 10 3) 写出 A B A B A B 及 A(A B)的表达式解 A B (3) (5)A B 10 5)A B (10) (5)A(A B) 10 5)2 设A、 B 是任意两个集合证明对偶律(A B)C AC BC证明 因为x (A B)C x A B x A 或 x B x AC 或 x BC x AC BC所以(A B)C AC BC3 设映射 f X Y A X B X 证明(1)f(A B) f(A) f(B)(2)f(A B) f(A) f(B)证明 因为y f(A B) x A B 使 f(x)

2、 y(因为 x A 或 x B) y f(A)或 y f(B)y f(A) f(B)所以f(A B) f(A) f(B)(2)因为y f(A B) x A B 使 f(x) y (因为 x A 且 x B) y f(A)且 y f(B) y f(A) f(B)所以f(A B) f(A) f(B)4 设映射 f X Y 若存在一个映射g Y X 使 g f I X f g IY 其中I X、 IY 分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个x X 有Ixxx对于每一个y Y 有lYy y 证明f是双射且g 是 f 的逆映射g f 1证明 因为对于任意的y Y 有x g(y) X 且f(x) fg(y)

3、 Iy y y即Y中任意元素都是X中 某元素的像所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x1 x2 必有 f(x1) f(x2) 否则若 f(x1) f(x2) g f(x1) gf(x2) x1 x2因此f既是单射又是满射即f是双射对于映射g Y X 因为对每个y Y 有 g(y) x X 且满足 f(x) fg(y) Iyy y 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射5 设映射 f X Y A X 证明(1)f 1(f(A) A(2)当f是单射时有f 1(f(A) A证明 (1)因为 x A f(x) y f(A) f 1(y) x f 1(f(A)所以f 1(f(A) A(2)由(1)知 f

4、1(f(A) A另一方面对于任意的x f 1(f(A)存在y f(A)使f 1(y) x f(x) y 因为y f(A)且f是单射所以x A 这就证明了 f 1 (f(A) A因此f 1(f(A) A6求下列函数的自然定义域(1)y、3x 2解由3x 2 0得x 2函数的定义域为2，)33(2)y'1 x解由1 x2 0得x 1函数的定义域为(1) ( 1 1) (1) y 1 J x2 x解 由x 0且1 x2 0得函数的定义域 D 1 0) (0 1(4) y 1 2v4 x2解 由4 x2 0得|x| 2函数的定义域为(2 2)(5) y sin x解由x 0得函数的定义D 0)

5、(6) y tan(x 1)解由x 15(k 0 1 2)得函数的定义域为x k - 1 (k 0 12)(7) y arcsin(x 3)解 由|x 3| 1得函数的定义域D 2 4(8) y . 3 x arctan1 x解 由3 x 0且x 0得函数的定义域D (0) (0 3)(9) y ln(x 1)解由x 1 0得函数的定义域D ( 1)1(10) y e解由x 0得函数的定义域D (0) (0)7下列各题中 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x) lg x2 g(x) 2lg x(11) f(x) x g(x) 、. x2(12) f(x) 3 x4 x3 g(x

6、) x3x 1(4)f(x) 1 g(x) seCx tan2x解 不同 因为定义域不同(2)不同因为对应法则不同x0时g(x) x相同因为定义域、对应法则均相相同(4)不同 因为定义域不同|sinx| |x|8设(x)3 求(-)(-)(-)(2)并作出函数y (x)的图形0 凶 6441 1 3解06) |sin6| 2(4) |sini| 点 (1sin( -4)1 停 (2) o9试证下列函数在指定区间内的单调性 y - (1)1 x(2)y x In x (0)证明(1)对于任意的xix2(1)有1xi0 1x20 因为当xix2时xix2x1 x2y1 y2 0y1 y2 1 x1

7、 1 x2 (1 x1)(1 x2)所以函数y上在区间(1)内是单调增加的 1 x(2)对于任意的x1 x2 (0)当x1 x2时有y1y2(x1Inx1)(x2Inx2)(x1x2)In-x10X2所以函数y x In x在区间(0)内是单调增加的10设f(x)为定义在(l l)内的奇函数 若f(x)在(0 1)内单调增加 证明f(x)在(l 0)内也 单调增加证明对于 x1x2( 10)且 x1x2有x1x2(0 1)且x1x2因为f(x)在(0 1)内单调增加且为奇函数所以f( x2) f( x1)f(x2) f(x1) f(x2) f(x1)这就证明了对于x1 x2 ( 1 0)有f(

8、x1) f(x2)所以f(x)在(1 0)内也单调增加11设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(1 1)上的 证明(1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数 偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明 设F(x) f(x) g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F( x) f( x) g( x) f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F( x) f( x) g( x) f(x) g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数(2)设F(x) f(x) g(

9、x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F( x) f( x) g( x) f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的积是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F( x) f( x) g( x) f(x) g(x) f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个奇函数的积是偶函数如果f(x)是偶函数而g(x)是奇函数则F( x) f( x) g( x) f(x) g(x) f(x) g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数12下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数?(i)y x2(i x2)(2)y 3x2 x31 x2

10、y衿(4)y x(x 1)(x 1)(5)y sin x cos x 1 x x(6)y a-a-解(1)因为 f( x) ( x)21 ( x)2 x2(1 x2) f(x)所以 f(x)是偶函数(2)由f( x) 3( x)2 ( x)3 3x2 x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数(3)因为f( x) 1 ( x)2 " f(x)所以f(x)是偶函数1 x2 1 x2(4)因为 f( x) ( x)( x 1)( x 1) x(x 1)(x 1) f(x)所以 f(x)是奇函数由f( x) sin( x) cos( x) 1 sin x cos x 1可见f(x)既非奇函数又非

11、偶函数(x) ( x) x x(6)因为 f( x) a2a a-ya- f(x)所以 f(x)是偶函数13下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期(1)y cos(x 2)解是周期函数周期为l 2(2)y cos 4x解是周期函数周期为l 2(3)y 1 sin x解是周期函数周期为l 2(4)y xcos x解不是周期函数(5)y sin2x解是周期函数周期为l14求下列函数的反函数 y 3x 1解由y Vx得x y3 1所以y 3/x_7的反函数为y x3 1(2)y1 x解由yK得x1-y所以y 12的反函数为y 1B1 x1 x(3) y axb (ad bc 0)cx d

12、解由y axl得xdycy a所以y ad的反函数为ydx b cx a(4) y 2sin3x解由 y 2sin 3x 得 x 1arcsin 所以 y 2sin3x 的反函数为 y -arcsin-3232 y 1 ln(x 2)解由 y 1 ln(x 2)得 x ey 12所以y 1 ln(x 2)的反函数为y ex1 2(6)y2x2x 1解由 y -2一得x iog2y- 2x 11 y所以y £的反函数为y2x 1y10g215设函数f(x)在数集X上有定义试证函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界证明先证必要性 设函数f(x)在X上有界 则存在

13、正数M 使|f(x)| M 即M f(x) M 这 就证明了 f(x)在X上有下界M和上界M再证充分性设函数f(x)在X上有下界Ki和上界K2 即Ki f(x) K2取M max|K1| |K2|则M Ki f(x) K2 M即|f(x)| M这就证明了 f(x)在X上有界16在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值(1) y u2 u sin xXi -x2 -63解 y sin2x y sin2- (-2)2 4(2) y sin u u 2x x1 x2 解 y sin2xy sin(2 §) sin(3) y 、u u 1 x2

14、 xi 1 x2 2V2、2Vsin2 334y2 sin(2 -)sin 12解 y .1 x2y1.1 12 、2(4) y eu u x2 xi 0 x2 1 v222解 y ey1 e01 y e1 y u2 u ex xi 1 X21解 y e2x y1 e21 e2 y2 e2( 1)e217设f(x)的定义域D 0 1求下列各函数的定义域V2%1 22 %5(2) f(sinx)解由0 sin x 1得2n2n (2n 1) (n 0 1 2(3) f(x a)(a>0)解由0 x a 1得a x(4) f(x a) f(x a)(a 0)2(1) f(x2)解 由0 x2

15、 1得|x| 1所以函数f(x2)的定义域为1 1x (2n 1) (n 0 1 2)所以函数f(sin x)的定义域为) 1 a所以函数f(x a)的定义域为a 1 a解由0xa1且0xa1得 当0al时a x 1 a 当a1时 无解 因此当0 a时 222函数的定义域为aa当a 2时函数无意义18 设 f(x)|x|x|x|11 g(x)1求fg(x)和gf(x)并作出这两个函数的图形|ex|ex|ex|即 fg(x)1解 fg(x)01gf(x) ef(x)e1 e0 e 1|x|x|x|11 即 gf(x)1e1e1|x|x|x|19值So时图1 37斜角40已知水渠的横断面为等腰梯形

16、(图1 37)当过水断面ABCD的面积为定解自变量h的取值范围应由不等式组求湿周L(L AB BC CD)与水深h之间的函数关系式并指明其定义域1 人 2hBCBC SoSqhcot40 h 0确定 定义域为0 h J&cot 4020收敛音机每台售价为90元成本为60元厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过100台以上的 每多订购1台 售价就降低1分但最低价为每台75元(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数(3)某一商行订购了 1000台 厂方可获利润多少？解(1)当 0 x 100 时 p 90令 0 01(x0 100) 90

17、 75 得 x0 1600 当 100 x 1600时因此当x1600 时 p 75p 90 (x 100) 0 01 91综合上述结果得到90p 91 0.01x750100x10016001600(2)P (p60)x30x31x 0.01x215x0100x10016001600(3) P 31习题1 21000 001 10002 21000(元)1观察一般项xn如下的数列xn的变化趋势写出它们的极限Xn2nxn21n 0lim -1 02n(2)%1)n1 nxn1)n1nlim (n1)n- 0nXn1n2xn22n2limn(2J) 2 n2xnlimn(5) xn n(解当n1

18、)n时xn n( 1)n没有极限2设数列xn的一般项xncosn2-绝对值小于正数当n0 001时求出数问 nim xnlimnxn 0?求出N 使当n N时xn与其极限之差的|xn0|cosn2-ln0要使|xn 0|只要1也就是n , M N 1有|xn 0|0 001 时110003根据数列极限的定义证明 lim 二 0n n2分析要使凸0|n42只须n2 1n证明因为J当n N时 V即n 有.01所以lim2 0nn2(2) limn3n 12n 1分析要使1空21证明因为 0112(2n 1) 4n当n N时4只须4n有 13nH(3) pm、n2 a2 1n分析22要使1T1|、n

19、2 a2 nn证明因为 0a2所以limn3n 12n 1a2n(x n2 a2 n)只须n a21|22所以 lim - n a 1n n(4) lim 0.999 9分析要使|0 999 1|110n 1只须濡1g1证明因为1 lg-当 n N 时有|0 991|所以 lim 0.999 9 1nn4 lim unn证明nim|Un|a|并举例说明如果数列|xn|有极限 但数列xn未必有极限证明因为limnuna 所以 0 N N 当n N时有|4a|从而|un| |a| |un a|这就证明了 lim |un| |a|n n数列|xn|有极限但数列xn未必有极限例如lim |( 1)n|

20、 1n但lim ( 1)n不存在 n5设数列xn有界又Jm yn 0证明lim Xnyn 0n证明 因为数列xn有界 所以存在M 使nZ 有|xn| M又nimyn 0所以0 NN当nN时有1yn|M从而当小时有|xnyn 0| |xnyn| M | yn | M M所以 pmxnyn 06 对于数列xn若 X2ki a(k ) x2k a(k )证明 Xn a(n )证明 因为x2k i a(k ) x2k a(k )所以 0Ki 当 2k 1 2Ki 1 时 有 | X2k i a|K2 当 2k 2K2 时有 X2k a|取 N max2Ki 1 2K2只要 n N 就有 |xn a|因

21、此xn a (n )习题1 31根据函数极限的定义证明(1)lim(3x 1) 8x 3分析因为|(3x 1) 8| |3x 9| 3x 3|所以要使|(3x 1) 8| 只须|x 3| 13证明因为01 当0 x 3|时有3l(3x 1) 8|所以 lim(3x 1) 8x 3(2) lim(5x 2) 12分析因为|(5x 2) 12| |5x 10| 5卜 2|所以要使|(5x 2) 12| 只须|x 2| 15证明因为01 当0 x 2|时有5l(5x 2) 12|所以 lim(5x 2) 12x 2limx分析所以要使证明所以limx因为x2 4x 2 x2 4 x 2因为x2 4x

22、 2x2 4(4)(4)(4)x2 4x 4x 2|x 2| |x ( 2)|只须|x ( 2)|当0 x ( 2)|时有(4) limx1 4x31 2x 12分析因为所以要使证明所以limx1 4x3 22x 11 4x32x 1因为1 4x3 22x 11 4x3 212x 121 2x 2| 2|x ( 2)| 只须|x (| 2 2 当 0 |x ( 1)|2根据函数极限的定义证明(1) lim x分析1 x3因为所以要使证明1 x3因为1 x32xx33只须即|x| 2|x|3X/当|x|X时有1 x32x3(2) limx分析sinxx所以要使因为sin x,xsinx nx 0

23、|sin x| 1、x x x只须 即xx证明因为12当x X时sinx，x所以 lim sinx 0x 、x3当x 2时4问等于多少使当x 2|时|y 4|<0 001 ?解由于当x 2时|x 2| 0 要使|x2 4| |x 2|x 2| 5x 2| 只要 |x 2| 0.001 0.00025取 0 0002则当0 x 2|故可设|x 2| 1即1 x 30 001时就有|x2 4| 0 001.2 /4当x时 y1 问X等于多少使当|x|X时y 1| 0 01? x 3解 要使 琴124 0.01只要|x| J 3 7397故X 7397x2 3x2 31 1 % 0.015证明

24、函数f(x) x|当x 0时极限为零证明因为|f(x) 0| |x| 0| |x| |x 0|所以要使|f(x) 0| 只须|x|因为对 0 使当0 |x 0| 时有|f(x) 0| |x| 0|所以 lim |x| 0x 0并说明它们在x0时的极限是否存在6求f(x) ,(x)凶当x0时的左、右极限xx证明因为lim f (x)lim -lim 1 1x 0x 0 x x 0lim f (x) lim x lim 1 1x 0x 0 x x 0 xim f(x) x叫 f(x)所以极限lim f(x)存在 x 0因为lim(x)lim 凶limx1x 0x 0 x x 0 xlim(x)li

25、m 凶lim、1x 0x 0 x x 0 xlim (x) lim (x)x 0x 0所以极限xim0 (x)不存在7证明若x 及x函数f(x)的极限都存在且都等于A则 lim f (x) A x证明因为lim f (x) A lim f (x) A 所以 >0 xxXi 0 使当 x Xi 时有|f(x) A|X2 0 使当 xX2 时有|f(x) A|取 X maxX1 X2则当 |x| X 时 有|f(x) A| 即 lim f(x) Ax8根据极限的定义证明 函数f(x)当x x。时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限 各自存在并且相等证明 先证明必要性 设f(x) A(x x

26、0)则 >00 使当0<|x x0|< 时 有|f(x) A|<因止匕当x0 <x<x0和x0<x<x0时都有|f(x) A|<这说明f(x)当x X0时左右极限都存在并且都等于A再证明充分性 设f(X0 0) f(X0 0) A 则 >01>0 使当 xo i<x<x0 时有 | f(x) A<2>0 使当 xo<x<xo+ 2 时 有 | f(x) A|<取 min i 2 则当 0<|x xo|< 时 有 xo i<x<x0及 xo<x<xo+

27、2 从而有 I f(x) A|<即 f(x) A(x xo)9试给出x时函数极限的局部有界性的定理并加以证明解x时函数极限的局部有界性的定理如果f(x)当x时的极限存在则存在X0及M 0 使当 |x| X 时 |f(x)| M证明设f(x)A(x )则对于 1 X 0当|x|X时有|f(x) A| 1所以|f(x)| |f(x) A A| |f(x) A| AI 1 AI这就是说存在X 0及M 0 使当|x| X时|f(x)| M 其中M 1 AI 习题1 41两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之解不一定例如 当x 0时 (x) 2x (x) 3x都是无穷小但lim 凶 -(x)不

28、是无穷小x 0 (x) 3(x)2根据定义证明(1)y J9当x 3时为无穷小； x 3(2) y xsin1当x 0时为无穷小 x证明(1)当x3时|y| 二9|x 3|因为 0 当0 |x 3|时有x 3x2 9|y| 9Ix 3|x 3,2 c所以当x 3时y J9为无穷小 x 3(2)当 x 0 时 IyI IxIIsin1I Ix 0I 因为 0 当 0 x 0I 时有 x1 |y| |x|sin-| |x 0| x所以当乂0时丫 xsin1为无穷小 x3根据定义证明 函数y lx为当x0时的无穷大 问x应满足什么条件 能使 x|y| 104?证明 分析|y|12 -1- 2 要使|

29、y| M 只须J, 2 M 即|x| 1x x |x|x|M2证明因为M 0- 使当0 x 0|时有1-2xMM 2x所以当x0时函数y 12是无穷大 x取 M 104 则 T一当 0 |x 0| 1-时 |y| 104104 211 104 24求下列极限并说明理由(1)Xim2x 1 .;x1 x21 x解(1)因为"2 ° 而当x 时1是无穷小所以limaJ 2M 例如)x xxx x(2)因为 32 1 x(x 1)而当x0时x为无穷小 所以lim1Y 11 xx 0 1 x5根据函数极限或无穷大定义填写下表f(x) Af(x)f(x)f(x)x xo00 使当0

30、|x xo|时 有恒 |f(x) A|x xox xox0X0使当|x| X时有恒 |f(x)| Mxx解f(x) Af(x)f(x)f(x)x x000使当0 x x0|时 有包 |f(x) A|M 00使当0 |x x0|时 有何 |f(x)| MM 00使当0 |x x0|时 有恒f(x) MM 00使当0 |x x0|时 有恒f(x) Mx x000使当0 x x0时 有恒 |f(x) A|M 00使当0 x x0时 有何 |f(x)| MM 00使当0 x x0时有恒f(x) MM 00使当0 x x0时 有恒f(x) Mx x000使当0 x。x时 有包 |f(x) A|M 00使

31、当0 x0 x时 有何 |f(x)| MM 00使当0 x0 x时 有恒f(x) MM 00使当0 x0 x时 有恒f(x) Mx0X0使 当|x| X时有恒 |f(x) A|0 X 0使 当|x|X时有恒|f(x)| M0 X 0使当冈X时有恒 f(x) M0 X 0使 当|x| X时有恒 f(x) Mx0X0使 当x X时有恒|f(x) A|0 X 0使 当x X时有恒|f(x)| M0 X 0使 当x X时有恒 f(x) M0 X 0使 当x X时有恒 f(x) Mx0X0使当x X时有恒|f(x) A|0 X 0使当x X时有恒|f(x)| M0 X 0使当x X时有恒 f(x) M0

32、 X 0使 当x X时有恒 f(x) M6 函数y xcos 乂在( 解函数y xcos x在( 这是因为M 0在(x时的无穷大？为什么?)内是否有界？这个函数是否为当)内无界)内总能找到这样的x使得|y(x)|y(2k ) 2k cos2c 2k (k 0 1 2当k充分大时就有| y(2k )| M当x 时 函数y xcos x不是无穷大这是因为M 0 找不到这样一个时刻N 使对一切大于N的x都有y(x)| M 例如y(2k -) (2k-)cos(2k -) 0(k0 1 2)对任何大的N当k充分大时总有x 2k - N 但|y(x)| 0 M7证明函数y 1sin)在区间(0 1上无界

33、但这函数不是当x0+时的无穷大 x x证明函数y 1sin在区间(0 1上无界 这是因为 x xM 0在(0 1中总可以找到点xk使y(xk) M 例如当xk 1 (k 0 1 22k 2y(xk) 2k -当k充分大时y(xk) M当x 0+时 函数y asin1不是无穷大 这是因为x xM 0对所有的 0总可以找到这样的点xk使0xk但y(xk) M 例如可取当k充分大时xk但y(xk)习题1 51计算下列极限xk 21-(k0 1 22k sin2k 0 Mx2 5 lim5'，x 2 x 3解 limx25 259x 2 x 3x2 3(2)xhm3xH解 lim_x2 3(&

34、#39;3)2 3"3)2解 xim1xwlim(x 1)21 (x 1)(x 1)1x12xim04x3 2x2 x解limx 03x2 2x4x3 2x2 x3x2 2xlim4xx 0 3x 2解 him0(x h)2 x2(6) lim (2X解 lim (2Xh1 J)X x211lim x2 2hx h2 x2him0(2X h) 2XlimX解limX(8) limX解limXlimXX X X2 1 2x2 x 1X2 2x2limXlimXlimX42 x21X21 x2X X43x2 1X2 Xx4 3x2 10（分子次数低于分母次数 极限为零）2X Xx4 3x

35、2 1limX11F =X X1 2工X2 X4x26x8. (x2)(x4).X2422角单lim f lim lim -X 4x25x4X 4(x1)(x4)X 4x1413(10)Xim (1 X)(2解 lim (1 1)(2 乌)lim (X xx2X(11) lim (111-1)n2 42n解 nim(12 42n)1 2 3 (n 1)(12) lim 2-nn1 2 3 (n 1)解lim 2nn2(n 1)(n 2)(n 3)(13) lim 黄ln5n3解Hm (n 1." 3) 5 (分子与分母的次数相同极限为最高次项系数之比)(n 1)(n 2)(n 3)

36、1123、1或 lim3nl - lim (1)(1 -)(1 -)-n5n35nn n n 51bxim (2 3lim nlim n(n 1)n2_n21lim 2n(14)xm1(A2)1 x3'解xm1（汽工)1 x3)xm1生爸xm1(Ax 2 lim百x 11 x x22计算下列极限x3 2x2(1) lim -一当x 2 (x 2)2解因为lim(x 2)22x20所以lim16x 2x32x2(x 2)2(2) limx解limxx22x 1x22x 1（因为分子次数高于分母次数）(3) xim (2x3 x1)解 lim (2x3 x x1）（因为分子次数高于分母次数

37、）3计算下列极限（1） lim x2sin1x 0 x解lim x2sin1 0（当x0时x2是无穷小而sin1是有界变量）x 0 xx（2） lim arctanx x x解 lim arctanx lim 1 arctanx 0（当 x 时 1 是无穷小 x x x xx而 arctanx是有界变量）4证明本节定理3中的（2）习题1 51计算下列极限x2 5 lim-'，x 2 x 3解 limx5 259x 2 x 3x2 3(2) lim_xx3x2 1解 xlim§xH(3)2 3 0(，'3)2 10x2 2x 1解 im-2-x 1 x2 1lim .

38、(x 1)2i (x 1)(x 1).x 1 0 limn24x3 2x2解limx 03x2 2x4x3 2x2 x3x2 2xxim0 4x3只(x h)2 x2lim x2 2hx h2 x2 h 0hhim0(2x h) 2x解 lim (x h)2 x2h 0 h11(6) lim (2 1 与x x x2解 lim(2 142)2 lim -lim422x xx2 x xxx2limx解limx(8) limxx2 12x2 x 12 _x_ 2x2limx1x21x2x2x4 3x2 12解lim，x】0（分子次数低于分母次数 x x 3x 1极限为零）limx2x xx4 3x

39、2 111lim xx 0x2_ _1_x2 x46x 85x 4x26x8. (x 2)(x4). x 2422角单 lim f lim 2l lim -x 4x25x4x4(x 1)(x4)x4 x 1413(10) lim (1 1)(2)x x x2解 xim(1 x)(2 支 xim(1，呵2 表(11) lim (1 11-1)n2 42n/1 (4)n 1解 lim(1 1 1-1) lim 22n 2 42n n 1 11 2-1 2(12)nim-(n 1解limn(n 1)(13)Hmn2(n 1)(n 2)(n 3)limn(n 1)n21 . n 1 1-G lim -

40、n22 n n 2解limn5n3(n 1)(n 2)(n 3)5n3小分子与分母的次数相同极限为x3最高次项系数之比）limn(n 1)(n 2)(n 3)(14)xm1(汽5n33 )1 x3'111 lim (1 1)(15n ' n 八n)(1 3) 51斛 xm1（。1 x3)xm11 x x2 3(1 x)(1 x x2)lim (1 x)(x 2)x 1 (1 x)(1 x x2)x 2 lim 5x 11 x x22计算下列极限x3 2x2(1) lim -一吟 x 2 (x 2)2解因为lim(x 2)22x20所以lim16x 2x32x2(x 2)2(2)

41、 limx解limxx22x 1x22x 1（因为分子次数高于分母次数）(3) Hm (2x3 x1)解 lim (2x3 x x1）（因为分子次数高于分母次数）3计算下列极限(1) lim x2sin1x 0 x解lim x2sin1 0(当x0时x2是无穷小而sin1是有界变量)x 0 xx(2) lim arc典 x x解 lim arctanx lim 1 arctanx 0(当 x 时 1 是无穷小 x x x xx而 arctanx是有界变量)4习题11证明本节定理7当x 0时2x2因为lim 3中的（2）2 Xx 02x xlim：2 x3相比 哪一个是高阶无穷小?二0所以当x

42、0时x2 x3是高阶无穷小即x2 x3 o(2x x2)2当x 1时 无穷小1 x和(1)1 x32(1 x2)是否同阶？是否等价?解 (1)因为 lim 1 0 (-1 x2 1)( x 1 sin x 1) lim (1 x)(1x x ) lim(1 x x2) 3x 1 1 x x 11 x x 1所以当x 1时1 x和1 x3是同阶的无穷小但不是等价无穷小(2)因为 Iim12dx2)1 x12xm1(1 X)1所以当x 1时1 x和(1 x2)是同阶的无穷小而且是等价无穷小3证明当x 0时有(1) arctan xx(2) secx 12证明(1)因为Marc詈yim。/ 1(提示

43、令y arctan x则当x0时y 0)所以当x 0时 arctanxx(2)因为帆华x 0 1 2x22lim1 cosx-2x cosx2 x2sin 一lim o 2x 0x2x2sin 一lim (2)2x 0、包,2所以当x 0时 secx 1-24利用等价无穷小的性质求下列极限tan3x2x(2)网sin(xn)(sin x)m(nm为正整数)解(1) limanx x 0 2xlim 3xx 0 2x(2) xim0sin(xn)(sin x)mlimtanx sinx- 3sin3x1sinx( 1) lim c0 x 0 sin3x1x2lim 1 cosx lim 得一 x

44、 0cosxsin2 x x 0 x2 cosx(4)因为tanx sinxsin3xsin x tan x lim 3sinx tanx tanx(cosx 1)2tanxsin21 2x (-x)22x3(x 0)3/r-x2 1/ 卬°1x2(x0)3(1 x2)2 31 x2 1 3、1 sinx 1 sinx sinxx(x 0)M sinx 1lx3所以 limsinx tanx lim-2_3x 0(31 x2 1)(,1 sinx 1) x 01x2 x35证明无穷小的等价关系具有下列性质(1) (自反性)(2)若 则 (对称性)(3)若 则 (传递性)证明(1) l

45、im 1 所以(2)右 则lim 1 从而lim 1 因此(3) 若 lim lim lim - 1 因止匕 习题1 81研究下列函数的连续性并画出函数的图形(1) f(x)x20 x 12x1x2解已知多项式函数是连续函数所以函数f(x)在0 1)和(1 2内是连续的在x 1处因为f(1) 1并且lim f (x) lim x2 1 lim f (x) lim (2 x) 1x 1x 1x 1x 1所以lim f (x) 1从而函数f(x)在x 1处是连续的 x 1综上所述，函数f(x)在0 2上是连续函数(2) f(x);1 x 1 |x| 1解只需考察函数在x 1和x 1处的连续性在x

46、1处因为f( 1) 1并且lim f(x) lim 1 1 f( 1) x 1x 1lim f (x) lim x 1 f ( 1)x 1x 1所以函数在x 1处间断但右连续在x 1处因为f(1) 1并且lim f (x) lim x 1 f(1)x 1x 1lim f (x) lim 1 1 f(1)x 1x 1所以函数在x 1处连续综合上述讨论函数在(1)和(1)内连续 在x 1处间断 但右连续说明这些间断点属于哪一类如果是可去问断点则补2下列函数在指出的点处间断 充或改变函数的定义使它连续x2 1x2 3x 2解y J2 1 (x 1)(x 1)因为函数在x 2和x 1处无定义 所以x2

47、和x1是函数的x2 3x 2 (x 2)(x 1)间断点一2 /因为limy lim 2x 1 所以x 2是函数的第二类间断点x 2，x 2x2 3x 2因为lim v limlxm2 所以x 1是函数的第一类间断点并且是可去问断点在x 1x 1 x 1(x 2)处令y 2则函数在x 1处成为连续的(2) yx x k x ktanx(k 0 1 2 2解 函数在点x k (k Z)和x k-2-(k Z)处无定义因而这些点都是函数的间断点因lim(k 0)故x k (k 0)是第二类间断点x k tanx因为lim 1 lim 0(k Z)所以x0和x k (k Z)是第一类间断点且是 x 0tanx x k _tanx22可去问断点令y|x o 1则函数在x 0处