安徽省宿州市十三所重点中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析

1、安徽省宿州市十三所重点中学2019-2020学年上学期期中考试高二数学（理）试题一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的1 .以一个直角三角形的斜边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是（）A. 一个圆柱 B. 一个圆锥 C. 一个圆台 D. 两个圆锥【答案】D【解析】【分析】由题意结合旋转体的性质确定所得的几何体形状即可【详解】由题意结合旋转体的特征可得所得的空间几何体为两个圆锥，其中圆锥共底面，一个顶点位于底面上方，一个顶点位于底面下方.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查旋转体的形成，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化

2、能力和计算求解能力2 .直线 柢= °的倾斜角是（）A. 30 ° B. 45° C.60° D.120°【答案】C【解析】分析：由直线的方程 收一'-2 = 0可得直线的斜率为： /，进而根据倾斜角与斜率之间的共线得到直线的 倾斜角.解：由直线的方程 板-J'-2 = 0可得直线的斜率为： 祗，所以直线的倾斜角的度数为：60。.故答案为：C._ 1 13 .已知直线 li：m“y + 3 = 0与"5"15垂直，则！!1=（）1 1A. B. C. -2 D. 2【答案】D【分析】由题意结合直线垂直的充分必

3、要条件确定m的值即可._ I 1【详解】很明显直线的斜率存在，直线方程即：一/ 2,1乂 ill = -1由直线垂直的充分必要条件可得：2，解得：m=2.本题选择D选项.【点睛】（1）当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在 的特殊情况.同时还要注意 x, y的系数不能同时为零这一隐含条件.（2）在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.4.在空间直角坐标系中，已知点 式气反币），过点P作平面yoz的垂线PQ则垂足Q的坐标为（）A.B.： C. .： D.【答案】B【解析】由于垂足Q在yOz平面内,可设Q（0,y,z）直线

4、PQL yOz平面P、Q两点的纵坐标、竖坐标都相等，P的坐标为。、也我，.¥=&/ = #,可得 Q（0,在而,本题选择B选项.A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，/ABC的5. 一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图,度数是（）CA. 0 ° B. 30° C. 60° D. 90°【答案】C【解析】【分析】首先将几何体还原，然后结合其空间结构特征确定角度值即可【详解】将正方体还原之后如图所示，由于的三条边均为正方体的面对角线,故AB=AC = HC,即AABC是等边三角形，据此可得：/ ABC勺度数是60。.本题选择C选项

5、.【点睛】本题主要考查正方体的几何特征，折叠问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力6 .已知平面 J 直线1,点P,则下列命题正确的是（）A.若imPEl,则PC。b. 若 13PE1,则PEuC.若1匚%PE】，则PEe d.若1匚%P任,则PWe【答案】C【解析】【分析】逐一考查所给命题是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题：A若1门lP,则1曲PE1,此时不满足P任巴该命题错误；B若111%则lHa.PWl,此时不满足PE j该命题错误；C由立体几何基本公理可知：若 1匚巴PE，则PE0,该命题正确；D若1匚Pel,有可能PE也可能P任0,该命题错误.本题选择C选项.

6、【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系、点面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线;（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键7 .圆心在x轴上，且过点（2,4）的圆与Y轴相切，则该圆的方程是（）A.厂；丁； ,丁 B. iC.厂：厂 I ：、-. 二 /D. y iI.；"【答案】D【解析】【分析】利用待定系数法确定圆的方程即可.【详解】很明显圆心位于 x轴正半轴，设圆心坐标为则圆的半径R = m,不妨设圆的方程为（工m）2卜/ =该圆过点（Z4）,则：I笳=m，解得：m=5

7、,则圆的方程为：（乂-5+=5'整理为一般式即：本题选择D选项.【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如：圆心在过切点且与切线垂直的直 线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线.（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量.一般地，与圆心 和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三 个独立等式.8 .如图，已知正三棱柱 .。一”声炉工的棱长均为2,则异面直线AF与B1所成角的余弦值是（）【解析】【分析】建立空间直角坐标系

8、，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC的中点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-x”，则:,B皑0,0）, %（屈 侬向量-%口 =（柢 12）,日1。=板L ）,AB , B C ,.：4；氏耳0 IB *怛1。期求郎 4本题选择C选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力9 .如图，网络纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥最长的棱的大小是主理由魏图旧睡A. 3 B. " C. D. 2【答案】A【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，然后确定各个棱长

9、，据此即可求得最大的棱长【详解】如图所示，在棱长为 2的正方体中，三视图对应的几何体为图中的三棱锥P-ABC,据此计算可得：-近EC二技AC -期,PA - 2M - 2ape -工则该三棱锥最长的棱的大小是3.本题选择A选项.“长对正、宽相等，高平齐”,即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.10.如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（）42A. 4 B. C. : D. 3【答案】B【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其体积即可【详

10、解】易知该几何体是一个多面体，由上下两个全等的正四棱锥组成， 其中正四棱锥底面边长为 泼，棱锥的高为I,据此可知，多面体的体积：V = 2 x - xx 1 .本题选择B选项.【点睛】本题主要考查组合体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，意在考查学生的转化能力和计算 求解能力.b-11.已知式注为圆C：x%4/4 = 口上任意一点，则3十的最大值为（）44A. 2 B.C. D. 0【答案】C【解析】【分析】b- 1首先确定圆的圆心和半径，然后结合斜率的几何意义求解白+1的最大值即可.【详解】圆的方程即：值7）=1,圆心坐标为（L2）,半径为：b-1代数式a十1表示圆上的点色b）与定点（-连

11、线的斜率，设过点（-1.1）的直线方程为¥l=k*十D,与圆的方程联立可得：甘7齐幻侬?卜+ （卜琢=0,考虑临界条件，令 A = （2k-2k-2）-4（k： + l）（k-l）2 = Ob .4 b- 14ki = 0,k3 =-3,则已十的最大值为工本题选择C选项.【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12 .已知圆8*0）与直线工十厂”口相交于心两点，C为圆上的一点，OC的中点D在线段AB上,【答案】C【解析】【分析】首先作出辅助线，然后结合圆的性质得到关于半径的方程组，求解方程组即可得到圆的半径 【详解】过

12、O作O巳AB于E,连结OA则OE=.由垂径定理得| AE=| EB ,设| DE= x,则由3ALl = 5DH可知 ae=4 x,r由勾股定理得：（4x）2+2=r2, x2+2=%解得=亚.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分13 .过点P (2, 3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 .答案又十丫_5 = 0,或3«_2¥=0【解析】3x y十 =试题分析：当截距为0时，直线斜率为 2,直线为31一a = 0,当截距不为零时，设直线

13、为a ba = b，2 + 三=工 a = b = 5a b,直线方程为又十厂5 =。，综上直线为 英-2y = 0,x + y-5 = 0.考点：直线方程.31A C =-14 .如图所示，将等腰直角 ABCg斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时一 ,，那么这个二面角大小是.【答案】60°【解析】【分析】首先利用余弦定理求得B'C的长度，然后结合三角形的特征确定这个二面角大小即可【详解】很明显或其补角为所求二面角的平面角,rB'DC设等腰直角 ABC勺直角边长度为 及,则ErD = CD=l,B'C= 2 + 2-2 Xg增二=1由余弦定理可得：d4 ,则

14、B，D = CD = BC= I , B; CD为等边三角形，据此可得出'DC = 60。，即所求二面角大小是 60。.【点睛】作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.15 .如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的棒卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即棒卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90。桦卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为2,欲将其放入球形容器内

15、（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为 总面，则正四棱柱体的体积为【答案】40.【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其体积即可【详解】球形容器表面积的最小值为总M，47i/ = 120,得到丁 =色 四棱柱的对角线长为2回，设正四棱柱的高为h,所以初+/ I . = 120,h=10,所以正四棱柱的体积为v=2x2kIO = 40.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的 位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中 心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的

16、顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于 球的直径.16 .已知圆5仅T 8访厂八海=1,直线.一产十2 =。，下面五个命题：对任意实数k与也 直线：和圆M有公共点；存在实数k与直线：和圆吊相切；存在实数k与直线：和圆:M相离；对任意实数£必存在实数 力 使得直线与和圆X相切；对任意实数包必存在实数k,使得直线与和圆X相切.其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).【答案】【解析】【分析】由题意结合直线的性质和圆性质整理计算即可求得最终结果【详解】直线it-y-k + 2-。恒过定点(1.2),将x = l,y = 2代入(x - 1 - coy (y-2-区由针=J ,等式成立，

17、即圆过定点(LD ,据此可知：对任意实数k与8,直线：和圆吊有公共点；存在实数”与3,直线和圆乂相切；不存在实数k与口,直线:和圆V相离；说法正确，说法错误；对任意实数 幺 必存在实数3使得直线1与和圆乂相切；说法正确；当日=0时，圆的方程为： 疔=】,此时不存在实数k，使得直线与和圆品相切，即说法错误综上可得：真命题的代号是.【点睛】本题主要考查直线恒过定点问题，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 .已知直线k 乂十下=。，= O丑/十3 = 0求L与的交点厂的坐标.(2)求过交点P且与垂直的直线方

18、程，并化为一般式 .【答案】(1)(-2 , 3) (2) 4x + 3y-l =0【解析】【分析】(1)联立直线方程即可求得交点坐标；(2)利用直线系方程确定所求的直线方程即可.【详解】(1)联立直线方程L： x+y-1 =口， 3y ,可得交点P的坐标为：(-2, 3)(2)设所求直线方程为 近十6y + m = 0,直线过点则：M 乂(-2)十 6 乂3 十 m = 0,解得：m=-2,所求直线方程为：【点睛】本题主要考查直线交点坐标的求解，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计 算求解能力.18 .如图，已知矩形EE。所在平面与平面ABBB垂直，BB"/AN,%

19、=2A5： 一BAN = 9。°CB = AB = AN = 2.(1)求证:平面ECN.(2)求证：平面"*11平面NBC.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】 【分析】(1)由题意可得BJ：/加C,结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意结合几何体的空间结构特征可证得BK 1平面,结合线面垂直的判定定理可得平面1面 .【详解】(1)因为四边形矩形B8】C】是矩形，所以Bg/EC,因为BCu平面BCN, 产平面bcn ,所以BC,平面B6J.(2)矩形 1 1所在平面与底面垂直，且父线为1 ,1 ,所以CB，平面NABB,又因为k ，-BLC1,故1%口

20、1 1平面工上1汨1,又BN在平面'»"片内，从而*】小；过N作MN垂直阻于M,可得MN = MB = MB=2,皿=啊=2也又加4,所以即 NB,NB,而 GB1BN又因为1n冲l】“，所以EN，平面""1(工又RN仁平面CBN内，所以平面"口|1,面独(2.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理等知识，意在考 查学生的转化能力和计算求解能力.19 .在&短。中，点 A(7, 4), B(2, 9), c (5, 8)(1)求&旬C的面积.(2)求3ABC的外接圆的方程.【答案】

21、(1)5(2).一-1-、【解析】【分析】(1)由弦长公式求得 AB的长度，由点到直线距离公式求得三角形的高，然后利用面积公式可得三角形的面 积；(2)由题意利用待定系数法求解 .ABC的外接圆的方程即可.【详解】(1) «A (7, 4), B (2, 9),二 AB =：50=5£直线 AB方程为：4-9 7-2，即 x+y-11=0,点C到直线AB的距离(2)设&短0的外接圆心为 O(a, b)则,_QR(加一7)2 十(b-4)± = (2)2 十(b9)2(UA. ,Jt5| r1. 7.7oc = |CB (a-5)- - (b-s) = (a

22、-2) + (b-9)|OH| = r 即！&_* + (b-9户/ABC勺外接圆方程为【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线.(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量.一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三 个独立等式.20 .如图，在三棱锥P-AEC中，PA,平面ABC, ZABC = 90,，D为线段3c的中点，E为线段P

23、C上一动点，且PA= 5 AB =EC = 4 ,.(1)求证：EC1平面PAE.(2)当伙/平面以加时，求三棱锥D-BCE的体积.B10【答案】(1)见解析(2) 3【解析】【分析】(1)由题意利用线面垂直的判定定理证明BC1平面pab即可；(2)结合几何体的空间结构转化顶点，求解三棱锥D-BCE的体积即可【详解】平面ABC, £ABC = W,三二三二二三又 PA n AB = A,BC J-平面PAH；(2)PA/平面 BDE ,PAC 平面PAC,平面PAC门平面HDE = DE,，PA /DE又二 口为AC中点，15DE = -PA =-，为PC中点且 二11 11 5 1

24、0p Vd . BCE =逼 _ BCD =0xDE = -x-x4x4x-x-=- 又33 2223,10故三棱锥D - BCE的体积为3 .【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我 们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积.21.已知圆的方程为X， / 2x-4y -I 1 I k =。(1)求上的取值范围； 若此圆与直线x十厂3 =。相交于M,N两点，且而出僚=0 (。为坐标原点)，求k的值【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用圆的判别式得到关于k的不等式，求解不等式即可得到k的取值范围；(2)联立直线方程与圆的

25、方程，结合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算求解k的值即可.【详解】(1)又/w I I k =。，D= -2,E= -4,F= 1十k,炉 I E3-4K = 16-4k>O,k<4.1 x -i y - 3 = 0(2)由注+熄.人-：k = O消去y得：2x：-4k-2十k = 0 A>0,k<4Q监必Mg,k-22 x3 = 2.X1 x.由韦达定理得O-QN = 0, X W + ¥M = O$叼3X-x” 3) =。，即为吗-跖+q + 9-0,k= - 满足题意.【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.22.如图所示，在直角梯形ABCD中，AD, BC AD, A11=6,B=4, AB=2退，点/分别在上，EF/-铝，并且E为BC中点.现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABET平面EFDC(1)证明：AC IDE.(2)在功上确定一点N,使得过c、E、N的平面将三棱锥