固体物理习题详解

1、第一章 晶体结构1 .试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。解： 晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。2 .晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置， 也可以是基元中任意一个等价的点。当晶

2、格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵+基元=实际晶体结构3 .晶体结构可分为Bravais 格子和复式格子吗？解：晶体结构可以分为Bravais 格子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais 格子；当基元包含2 个或 2 个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。4 .图1.34 所示的点阵是布喇菲点阵（格子）吗？为什么？如果是，指明它属于那类布喇菲格子？如果不是，请说明这种

3、复式格子的布喇菲格子属哪类？（ a） （ b）（ c）（ d）图 1.34（a）“面心+体心”立方；（b）“边心"立方；（c）“边心+体心”立方；（d）面心四方解： （ a） “面心体心”立方不是布喇菲格子。从“面心体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有 12 个格点；从面心任一点看来，与它最邻近的也是12 个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6 个格点， 所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。（ b） “边心”立方不是布喇菲格子。从“边心”立方体竖直边心任

4、一点来看，与它最邻近的点子有八个；从“边心”立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有八个。虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。竖直边心点的最邻近的点子处于相互平行、横放的两个平面上，而水平边心点的最邻近的点子处于相互平行、竖放的两个平面上，显然这两种点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。（ c） “边心 +体心”立方不是布喇菲格子。从“边心 +体心”立方任一顶点来看，与它最邻近的点子有 6 个；从边心任一点来看，与它最邻近的点子有2 个；从体心点来看，与它最邻近的点子有12 个。显

5、然这三种点所处的几何环境不同，因而也不是布喇菲格子，而是属于复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。（ d） “面心四方”从 “面心四方”任一顶点来看，与它最邻近的点子有4 个， 次最邻近点子有8 个； 从 “面心四方”任一面心点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有 8个，并且在空间的排列位置与顶点的相同，即所有格点完全等价，因此“面心四方”格子是布喇菲格子，它属 于体心四方布喇菲格子。5 .以二维有心长方晶格为例，画出固体物理学原胞、结晶学原胞，并说出它们各自的特点。解：以下给出了了二维有心长方晶格示意图：由上图，我们可给出其固体物理学原胞如下图（a）所示，结晶学原胞如下图（b）所

6、示:（a）（b）从上图（a）和（b）可以看出，在固体物理学原胞中，只能在顶点上存在结点，而在结 晶学原胞中，既可在顶点上存在结点，也可在面心位置上存在结点。6 .倒格子的实际意义是什么？ 一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？解：倒格子的实际意义是由倒格子组成的空间实际上是状态空间（波矢 K空间），在晶 体白X X射线衍射照片上的斑点实际上就是倒格子所对应的点子。设一种晶体的正格基矢为 a1、a2、a3,根据倒格子基矢的定义:式中C是晶格原胞的体积，即 a =a 1 a2 xa3,由此可以唯一地确定相应的倒格子空间。同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。所以一种晶体的正格矢和

7、相应的倒格矢有一一对应的关系。7 .为什么说晶面指数（上电）和Miller指数（hkl ）都能反映一个平行晶面族的方向?解：晶面指数（h1h2h3）是以固体物理学原胞的基矢 a1、a2、a3为坐标轴来表示面指数的，而Miller指数（hkl ）是以结晶学原胞的基矢 a、b、c为坐标轴来表示面指数的， 但它们都是以平行晶面族在坐标轴上的截距的倒数来表示的，而这三个截距的倒数之比就等于晶面族的法线与三个基矢的夹角余弦之比，从而反映了一个平行晶面族的方向。8 .试画出体心立方、面心立方的（100）, （110）和（111）面上的格点分布。解：体心立方（100）, （110）和（111）面上的格点分布

8、为：体心立方（100）面体心立方（110）面体心立方（111）面面心立方（100）, （110）和（111）面上的格点分布为：面心立方（100）面面心立方（110）面面心立方（111）面9 .一个物体或体系的对称性高低如何判断？有何物理意义？ 一个正八面体（见图1.35）有哪些对称操作？解：对于一个物体或体系，我们首先必须对其经过测角和投影以后，才可对它的对称规律，进行分析研究。如果一个物体或体系含有的对称操作元素越多，则其对称性越高；反之，含有的对称操作元素越少，则其对称性越低。晶体的许多宏观物理性质都与物体的对称性有关，例如六角对称的晶体有双折射现象。而立方晶体，从光学性质来讲，是各向同性

9、的。正八面体中有3个4度轴，其中任意2个位于同一个面内，而另一个则垂直于这个面；6个2度轴；6个与2度轴垂直的对称面；3个与4度轴垂直的对称面及一个对称中心。10 .各类晶体的配位数（最近邻原子数）是多少？解：7种典型的晶体结构的配位数如下表1.1所示：晶体结构配位数晶体结构配位数回心立方 六角密积12氯化钠型结构6体心立方8氯化葩型结构8简立方6金刚心型结构411.利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为二3 二2 二(1)简单立方6 ; (2)体心立方 8 ； (3)面心立方62；3二(4)六角密积 6 ； (5)金刚石16 。解：(1)在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为

10、R,则原胞的晶体学常数 a = 2R,则简立方的致密度(即球可能占据的最大体积与总体积之比)为：(2)在体心立方的结晶学原胞中， 设原子半径为 R,则原胞的晶体学常数 a = 4R/J3, 则体心立方的致密度为：(3)在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为 R,则原胞的晶体学常数 a = 2j2R,则面心立方的致密度为：(4)在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R ,则原胞的晶体学常数 a = 2R ,c=(2j6/3)a = (4j6/3)R,则六角密积的致密度为：(5)在金刚石的结晶学原胞中， 设原子半径为R ,则原胞的晶体学常数 a = (8/<3)R,则金刚石的致密度为：12

11、.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。解：我们知体心立方格子的基矢为：根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒 格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。13 .对于六角密积结构，固体物理学原胞基矢为试求倒格子基矢。解：根据倒格子基矢的定义可知：二2二i一 3ac2aci 7 j2 二 2T（ i .3 j）72 二一(一i a, 3ac. ac .-i j=2：22.3 2a c214.a.32a k2,3 2a c2一晶体原胞基矢大小 a=4Ml0,0m,

12、b=6Ml0,0m, c = 8父100 m ,基矢间夹角二90一,=90 ：尸=120 二。试求:(1)(3)倒格子基矢的大小；正、倒格子原胞的体积；正格子(210)晶面族的面间距。:(1)由题意可知，该晶体的原胞基矢为: 由此可知：b1八 a 2 a 3=223a 1 a2 a3二2二3bc( i22 j),3abc 21(i j)3所以(2)a 3 a1二2二 a3 a1 二 2二a1 a2 a3ca a 2= 2 12曲a2 a3biacj2 二-abc2,3abk3 h abc2，2 a .24二10 1=1.8138M10 m, 3acb 2101mb 3c正格子原胞的体积为:.、

13、1、3、3i8 3=a1 a2 Ma3=(ai) b( i+j)"ck) = 一abc = 1.6628父 10 m3222倒格子原胞的体积为:=bi b2 = 3=1(i .3 j)b ( 233216：303j)黑(k) = =1.4918M 1030mc、，3abc(3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为:dh2 二2 二2 二KT = 2bi +1b2 +0b 3I = |4i4i4iIJ十（强十五）j= 1.4412 10,0 m15.如图1.36所示，试求：(1) 晶列ED , FD和OF的晶列指数；(2) 晶面AGK ,FGIH和M

14、NLK的密勒指数；(3) 画出晶面(120),(彳31)。图 1.36解：(1)根据晶列指数的定义易求得晶列ED的晶列指数为111,晶列FD的晶列指数为110,晶列OF的晶列指数为011。(2)根据晶面密勒指数的定义1, -1和1 ,则其倒数之比为晶面AGK在x , y和z三个坐标轴上的截距依次为111-：-=1:1:1 ,故该晶面的号勒指数为(111)。 1 -1 1晶面FGIH在x, y和z三个坐标轴上的截距依次为1/2, 8和1,则其倒数之比为11 1：一：-= 2:0:1,故该晶面的密勒指数为(201 )。 1/2 二 1晶面MNLK在x, y和z三个坐标轴上的截距依次为1/2, -1

15、和则其倒数之比为111:：一 =2 :1: 0 ,故该晶面的密勒指数为(210)。1/2 -1 二(3)晶面(120), (131)分别如下图中晶面 AMLk和晶面ABC所示：16 .矢量a, b, c构成简单正交系。证明晶面族(hkl)的面间距为解：由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为: 由此可求得其倒格子基矢为：根据倒格子矢量的性质有：17 .设有一简单格子，它的基矢分别为a1 =3i , a2 =3j, a3 =1.5(i+j + k)。试求:(1) 此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？(2) 该晶体的倒格子基矢；(3) 密勒指数为(121)晶面族的面间距；(4) 原子最

16、密集的晶面族的密勒指数是多少？(5) 111与111晶列之间的夹角余弦为多少？解：(1)由题意易知该晶体属于立方晶系，并属于体心立方布喇菲格子。(2)由倒格子基矢的定义可知：(3)根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为(121)晶面族的面间距为92 n/a(4)由于面密度P =阳，其中d是面间距,P是体密度。对布喇菲格子，P等于常数。因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为(h1 h2h3),则该晶面族的面间距 dh也h3应为最大值，所以有由此可知，对面指数为(100)、(010)、(101)、(011)和(iii)有最大面间距 3/42 ，因而这些面即为原子排列最紧密的晶面族。(5) 111

17、与111晶列之间的夹角余弦为18.已知半导体 GaAs具有闪锌矿结构，Ga和As两原子的最近距离 d= 2.45 x 10-10m。试求:(1)晶格常数；(2)固体物理学原胞基矢和倒格子基矢;(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距；(4)密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角。解：(1)由题意可知，GaAs的晶格为复式面心立方晶格，其原胞包含一个 Ga原子和一个As原子，其中Ga原 子处于面心立方位置上，而As原子则处于立方单元体对角线上距离Ga原子1/4体对角线长的位置上，如左图所示： 由此可知：4.41010故 a ： d : 一 2.45 10 m =5.59 10 m3

18、. 3(2)由于GaAs的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为:其倒格子基矢为:(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距为：(4)根据倒格子矢的性质可知，密勒指数为(110)和(1彳1)晶面法向方向间的夹角即为倒格子矢Kno和K 111之间的夹角，设为 口，则有:=arccos(-0.3015) =107.5519.如图1.37所示，设二维正三角形晶格相邻原子间距为a,试求:(1)正格子基矢和倒格子基矢；(2)画出第一布里渊区，并求出第一布里渊区的内接圆半径。解：(1)取该二维正三角形晶格中任意相邻的两边为基矢，并使同，于是有：a1的方向和i的方向相a 1 =aia 上3a那么有:

19、a 2 二一i j22(2)根据第一布里渊区的定义，可作图如下所示：上图中的阴影部分即为第一布里渊区，且由图中可以求出第布里渊区的内接圆半径为:20 .试求面心立方结构、体心立方结构和金刚石结构的几何结构因子；并讨论其衍射相消条 件。解：(1)在面心立方结构的原胞中包含有4个原子，其坐标为0 0 0,由此可知，其几何结构因子为110, 2 2101, 011#Fhkl 2 = f211 +cosnn(h +k) +cosnn(h +l) +cosnn(k + l )f由于 h、k、l和n都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有由此可知，当nh、nk和nl奇偶混杂时，即nh、nk和nl不同为奇数

20、或偶数时，此时2Fhkl =0,即出现衍射相消。(2)在体心立方结构的原胞中包含有2个原子，其坐标为c c c 1110 0 0和2 2 2由此可知，其几何结构因子为Fhkl 2 = f2 也 +cosnn(h + k + l)/ + Sin nn(h + k + l)F )由于 h、k、l和n都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有2由此可知，当n(h+k+l)为奇数时，此时有 Fhkl| =0,即出现衍射相消。(3)在金刚石结构的原胞中含有8个原子，其坐标为0 0 0,10 1,0由此可知，其几何结构因子为2F hkl1 cos n(h k l) sinJT一n(h k l)2cos-：n

21、(h k)由于 h、k、l和n都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有由此可知，当nh、nk和nl奇偶混杂时，即nh、nk和nl不同为奇数或偶数时或者当2门八、门女和川全为偶数，且n(h+k+l) =4(2m+1)(其中m为整数)时，有有Fhkl| =0, 即出现衍射相消。21 .用铝靶K双射线投射到NaCl晶体上，测得其一级反射的掠射角为5.9。，已知NaCl晶胞中Na+与 Cl的距离为 2.82X10-10m,晶体密度为 2.16g/cm3。求：X射线的波长；阿伏加德罗常数。解：(1)由题意可知NaCl晶胞的晶胞参数a =2父2.82父10"° =5.64父1010m，

22、又应为NaCl晶胞为面心立方结构，根据面心立方结构的消光规律可知，其一级反射所对应的晶面族的面指数为(111),而又易求得此晶面族的面间距为d11110= 3.26 10,0 ma222.121212105.64 10,0311又根据布拉格定律可知: =2d111sin - 2 3.26 10,°sin5.9 =6.702 10，m(2)由题意有以下式子成立Na4M NaCl3a :4 58.5(5.64 10,°)3 2.16 106= 6.038 1023第二章晶体的结合1 .试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。解：（1）离子键：无方向性，键能相当强

23、；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与r7成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与 2个电负性较大而原子半径较小的原子（如 O, F, N等）相结合形成 的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol。2 .有人说“晶体的内能就是晶体的结合能”，对吗？解：这句话不对，晶体的结合能是指当晶体处于稳定状态时的总能量（动能和势能）与组成这晶体的

24、N个原子在自由时的总能量之差，即Eb = En - E0。（其中Eb为结合能，En为组成这晶体的 N个原子在自由时的总能量，Eo为晶体的总能量）。而晶体的内能是指晶体处于某一状态时（不一定是稳定平衡状态）的，其所有组成粒子的动能和势能的总和。3 .当2个原子由相距很远而逐渐接近时，二原子间的力与势能是如何逐渐变化的？解：当2个原子由相距很远而逐渐接近时，2个原子间引力和斥力都开始增大，但首先引力大于斥力，总的作用为引力，f （r） <0,而相互作用势能 u（r）逐渐减小；当2个原子慢慢接近到平衡距离 r0时，此时，引力等于斥力，总的作用为零，f（r）=0,而相互作用势能u（r）达到最小值

25、；当 2个原子间距离继续减小时，由于斥力急剧增大，此时，斥力开始大于引力，总的作用为斥力，f （r） a 0 ,而相互作用势能u（r）也开始急剧增大。4 .为什么金属比离子晶体、共价晶体易于进行机械加工并且导电、导热性良好？解：由于金属晶体中的价电子不像离子晶体、共价晶体那样定域于 2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”，因而金属晶体的延展性、导电性和导热性都较好。5 .有一晶体，在平衡时的体积为 V0,原子之间总的相互作用能为U0,如果原子间相互作用能由下式给出：CL P u（r）二 一二'二， r r试证明弹性*II量可由 U 0 mn/（9V0

26、）给出。解：根据弹性模量的定义可知(1)35上式中利用了设系统包含N又因为可把NdUP = _的关系式。dV个原子，则系统的内能可以写成NN:工I-'U -u（r） （-） 22rr个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距r的函数，即V = Nv = N r3(3)上式中P为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构,=短2。又因为（即13-Nr2（：限drm：m； ：1rn -1r3N r2(4)d2U(dV2 )V0drdVN m ：dr 3NPr2 12 (rm* 一nP Tn：H r1 N29V02 2m2amr。n2 : 3m：十 nr0m03nLr0n(5)考虑平衡条件0=0,

27、得m ：m r0n ： r八,F ,那么（5）式可化为r0129V02-m二nr0ma 1mr0mn29V02CL Pl ' + '' ' m nr0r0芈(-U0)(6) 9V02将（6）式代入（1）式得:6.上题表示的相互作用能公式中，若m =2 n=10 ,且两原子构成稳定分子时间距为3 10,°m,离解能为4eV,试计算a和0之值。解：在平衡位置时有u(r)=- r0a PF = -Ek r0du(r) 2 二 dr - r0310 -八1T =0 r0(2)0将离解能Ek =4eV和r0 =3父1030 m = 3 A 代入（1）和（2）式可

28、得:4 = 4.5x 109eV - m2, P = 5.9父 1096eV , m10。7.设某晶体每对原子的势能具10r的形式，平衡时r0 =2.8 10 m结合能为19 .U =8 M 10 J ,试计算A和B以及晶体的有效弹性模量。解：由题意有以下方程成立：把r0, U的具体数值代入上述方程组，即得：由此可得：A =1.0578 m10,°5J m9, B = 2.52 父 10*J m该晶体的有效弹性模量为：d2uc 二K = V0(力 % 又V = Nv = NPr3dV2 0（上式中N表示晶体中所含的原子个数,P表示与晶体结构有关的因子）K 1(叫K =()9PNr&#

29、176; dr20190A 2B9田0（011。3）19-N-113.2797 108.KCI晶体的体弹性模量为 1.74X 1010Pa,若要使晶体中相邻离子间距缩小 0.5%,问需要施 加多大的力。解：设KCl晶体内包含N个原胞，综合考虑到库仑吸引能和重叠排斥能，则系统的内 能可以写成(1)此外，由于KCl每个原胞体积为2r3,则晶体的总体积为3(2)V =2Nr其中（1）和（2）式中的都指KCl晶体中相邻 Y和C之间的距离。 根据体弹性模量的定义有：VdP】' dV儿V；VU2v0(3)设平衡时晶体内相邻离子间的距离为0,则平衡体积V0 =2Nr；,那么平衡时的体弹性模量为K =

30、/曰A信-0nBn 10d2UdV2 V0。又根据KCl晶体内能表达式（1）式及平衡条件（B 1 n4=0 或 一 =0。A ndU、 AdV）V"0将（1）和（2）式代入（3）式，并利用平衡条件可得上式中的前一项由于平衡条件而等于 0,后一项求微商后利用平衡条件化简得_418Kr0由此知A 二 ,当使晶体中相邻离子间距缩小0.5%时，即使相邻离子间距变为ri =r0(1 0.5%) =0.95% ,此时需施加的外力为10查书中表2.2及表2.5可知，n =9.0,0=3.14x10 m,代入上式可得F =2.17 10，9.由N个原子(离子)所组成的晶体的体积可写成 V = Nv

31、= NPr3。式中v为每个原子(离子)平均所占据的体积；r为粒子间的最短距离；口为与结构有关的常数。 试求下列各种结构的口值：求：简单立方点阵；面心立方点阵；体心立方点阵；金刚石点阵;NaCl点阵;(2)(3)(5)解：(1)在简单立方点阵中，每个原子平均所占据的体积在面心立方点阵中，每个原子平均所占据的体积在体心立方点阵，每个原子平均所占据的体积在金刚石点阵中，每个原子平均所占据的体积在NaCl点阵中，每个原子平均所占据的体积10.对于由N个惰性气体原子组成的一维单原子链,v=a =r，故 B=1；1 _313v=-a =-( 2r)=4413 12力a皂Sr)3 Wr3,故 P94、. 3

32、9 ，Va35388 39v3(2r)88故金93=r3；故 P =1。设平均每2个原子势为:I 126 |u(x)=M7 一2(?(3)压缩系数k 。求：(1)原子间的平均距离 X0 ;(2)每个原子的平均晶格能;解：(1)在平衡时，有下式成立由上式可得X0 二；二du(x)dx=U0x 3012仃12+2m6仃6 1,1137J x0x。1(1)(2)设该N个惰性气体原子组成的一维单原子链的总的相互作用势能为U (x),那么有I 126U0.()-2()61X1j(2)设X为2个原子间的最短距离，则有 x1i =ajX ,那么（2）式可化为U(X); Nu0X)12"(3)其中（

33、3）式中A =£4=2 (1 aj11+ 4 +3+)* 2.00048,23_ _ 1_ _11B =2£ =2父2父（1 + + +）4.07809。j aj23那么每个原子的平均晶格能为（3）根据压缩系数的定义可知,1 dV 111k = - = ：=z = （4V dP JdP、d2Uz d /dUV V（r） Nx 2（）9V ）dV2 N dX dX将（3）式代入（4）式得： 011.若NaCl晶体的马德隆常数 M=1.75,晶格常数a=5.64 A ,哥指数n=9。晶体拉伸而达到 稳定极限时，求：离子间距增加多少？负压强的理论值是多大？解：（1）设该NaCl晶

34、体的含有N个离子，则其相互作用势能为(1)u(r)H上式中的r指NaCl晶体中相邻两离子间的距离。又设NaCl晶体处于平衡状态时，相邻两离子间的距离为",则有1r0 = a。2由平衡条件可知dU(r)drN Mq2二 T 72r 与 2|14二；0nB In书r(2)2由（2）式可得：B = Mqr0n，4 二；0n当晶体拉伸而达到稳定极限时，此时相邻离子间的引力达到最大值,即有d2U(r) dr2 yN , 2Mq2 工 n(n+1)B I=一卜3 :一2 I1 4二；°r(3)将B = -Mq r°n代入（3）式可得4二；°n0因而离子间距增加了 ；

35、：r = r1 - r0 = 3.45 - 2.82 = 0.63A（2）由（1）问可求出晶体拉伸稳定时负压强的理论值为1 11.75父(1.9父10,9)2 1.75-(1.9父10,9)2 父(2.82父 10,0)92 14乂3.14黑8.854><10土 区(3.45父 10,°)2 - 4 x 3.14父 8.854黑 10,2 区(3.45父 10°)9*9二1.91 10 Pa12.已知有N个离子组成的NaCl晶体，其结合能为:N 二e2U(r) 一 (2 4二；0rOn)一二rn若排斥项r由ce 来代替，且当晶体处于平衡时， 这两者对相互作用势能

36、的贡献相同。求出n和0的关系。解：由平衡条件可知dU (r) N /1 e2n ：、'一一2(一4厘02r” 二 °(1)由（1）式可求得12 n60 np、n r0 =2-I ae)r0、又由题意有一=ce P （3）将（2）式代入（3）式可得：13.假定在某个离子晶体中，某离子间的空间能够被一种介电常数为z的均匀流体渗满而不至于影响离子间的排斥作用，但库仑相互作用减少为原来的1/君。计算这种情况下 NaCl的点阵常数和结合能。解：由题意可知，当NaCl晶体被介电常数为6的均匀流体渗满时，其相互作用势能为:N Mq2 B U(r) = F(yr2 4二 0 r r2由平衡条

37、件可知有dUg = _n_(_ Mq+b)=0(2)dr r02、4002 r°n 书(1)由（2）式可求得NaCl晶体处于平衡状态时，相邻两个离子间的距离为114n%snB %,f4180MB %一r0 = 4 0； 那么NaCl的点阵常数为：a = 2r0 = 2 4 0 :< Mq2 ）M Mq2 ）2 n12 nJ2结合能为 Eb =U(r0)=N HM3”口(nB)7v+(Mq)n< (nB); 2 ' 4n80名4n808A14.考察一条直线，其上载有 ±q交错的2N个离子，最近邻之间的排斥能为Rn。（1）试证明在平衡时，（2）令晶体被压缩，

38、使Ro（1 -0） o试证明在晶体被压缩过程中， 外力做功的主项对-c；,2每离子平均为2。其中,(n-1)q21n2C 二4 二；o Ro解：（1）线型离子晶体的结合能为U (R) = -N - .42_q_二；oR'、(-)-aja n aj=-N (Mq2A'4 二；0R Rn)其中（1）式中的1、（±）,即为线型离子晶体的马德隆常数，等于 aj2ln 2 ；A,AA'- j aj当晶体处于平衡时,有平衡条件：dU(R)dR(一Mq22R4； oRonA'ROn1)=°(2)由（2）式可得(3)A,二则4二 0n将（3）式代入（1）,并

39、将M= 21n 2也代入（1）可得:使 Ro T Ro(1 -6),当6很小时，在R = Ro附近把U （R）展开为泰勒级数为37="）一北2_rJ' 2dM（R。、）2R卡o(4)上式中根据平衡条件有 dU（R）dR=0,另有R=Ro离子晶体被压缩 Al = 2NR06 ,外力所作的功的主项（略去二级以上微量）得22.1 2Nq 1n221 22Nq In 2,= (n -1)o = - C'b上式中， C'=(n -1)2 4-： oRo ')24- oRo ')压缩量1 =2NR6是属于2N个离子所共有的，即 2N个长度为R。的线段的总压

40、缩量为&。因此，外力对一个离子所做的功W平均为F J2N1 C'2 2N、2C、2上式中,C'2Nq2ln24 二；o Ro(n 1)。第三章 晶格振动与晶体的热学性质1 .什么是简谐近似？解：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。2 .试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线，并简要说明其意义。解：由一维单原子链的色散关系的相速度为sinqa2,可求得一维单原子链中振动格波2 （ 1）而其群速度为d : qavg = 一 = a cos -

41、dq mm 2 （2）由（1）式和（2）式可做出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线如下图3.1所示：图3.1vgA - aB上图中 ' m , a。曲线1代表vp一.qa sin2qa2代表JacoSqa dq . m 2由（1）式及结合上图3.1中可以看出，由于原子的不连续性，相速度不再是常数。但产vp 二 a.当q T 0时，V m为一常数。这是因为当波长很长时，一个波长范围含有若干个原子，相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近与连续媒质中的弹性波。由（2）式及结合上图3.1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度。但当qT 0 ,兀q a 时，vg

42、 = 0 ,vg =vp =a?I m,体现出弹性波的特征，当q处于第一布区边界上， 即2a - vp而 n m ,这表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播，实际上它是一种驻波。3 .周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q的取值将会怎样？解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的

43、原子的运动情况一样，即第j个原子和第tN + j个原子的运动情况一样，其中 t =1, 2, 3。引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的不同值。如果晶体是无限大，波矢 q的取值将趋于连续。4 .什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色一爱因斯坦统计，即具有能量为wj (q) 的声子平均数为对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件 下发生变化。5 .试比较格波的量子声子与黑体辐射的量子光子；“声子气体”与真实理想气体有何相同之处和不同之处？解：格波

44、的量子声子与黑体辐射的量子光子都是能量量子，都具有一定的能量和动量，但是声子在与其它粒子相互作用时，总能量守恒，但总动量却不一定守恒；而光子与其它粒子相互作用时，总能量和总动量却都是守恒的。“声子气体”与真实理想气体的相同之处是粒子之间都无相互作用， 而不同之处是“声子气体”的粒子数目不守恒，但真实理想气体的 粒子数目却是守恒的。6 .晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有 什么局限性？为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？解：我们知道晶体比热容的一般公式为由上式可以看出，在用量子理论求晶体比热容时，问题的关键在于如何求角频率的分布函数P。但是对于具体

45、的晶体来讲，*(霜的计算非常复杂。为此，在爱因斯坦模型中，假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动，而在德拜模型中，则以连续介质的弹性波CV亦趋近于零的c以指数形式来代表格波以求出 P(0 )的表达式。爱因斯坦模型取得的最大成就在于给出了当温度趋近于零时，比热容 结果，这是经典理论所不能得到的结果。其局限性在于模型给出的是比热容_ 3趋近于零，快于实验给出的以T趋近于零的结果。德拜模型取得的最大成就在于它给出了3在极低温度下，比热和温度 T3成比例，与实验结果相吻合。其局限性在于模型给出的德拜温度3d应视为恒定值，适用于全部温度区间，但实际上在不同温度下，德拜温度° d是不同的。在极低

46、温度下，并不是所有的格波都能被激发，而只有长声学波被激发，对比热容产生影响。而对于长声学波，晶格可以视为连续介质，长声学波具有弹性波的性质，因而德拜的模型的假设基本符合事实，所以能得出精确结果。7 .声子碰撞时的准动量守恒为什么不同于普通粒子碰撞时的动量守恒？U过程物理图像是什么？它违背了普遍的动量守恒定律吗？解：声子碰撞时，其前后的总动量不一定守恒，而是满足以下的关系式其中上式中的Gn表示一倒格子矢量。对于G n =0的情况，即有"q1 * "q2 = 33 ,在碰撞过程中声子的动量没有发生变化，这种情况称为正规过程，或 N过程，N过程只是改变了动量的分布，而不影响热流的

47、方向， 它对热阻是没有贡献的。对于 Gn #0的情况，称为翻转过程或 U过程，其物理图像可由下 图3.2来描述：图3.2 U过程物理示意图在上图3.2中，qi +q2是向“右”的，碰撞后q3是向“左”的，从而破坏了热流的方向，所以U过程对热阻是有贡献的。U过程没有违背普遍的动量守恒定律，因为声子不是实物量子，所以其满足的是准动量守恒关系。8 .简要说明简谐近似下晶体不会发生热膨胀的物理原因；势能的非简谐项起了哪些作用？ 解：由于在简谐近似下，原子间相互作用能在平衡位置附近是对称的，随着温度升高，原子的总能量增高，但原子间的距离的平均值不会增大，因此，简谐近似不能解释热膨胀现象。势能的非简谐项在

48、晶体的热传导和热膨胀中起了至关重要的作用。9 .已知由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为1()=型(4 -/)一2 冗。式中1Mm是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等于N。解：由题意可知该晶格的振动模总数为 2210 .若格波的色散关系为缶=cq和 . 0 cq，试导出它们的状态密度表达式。 解：根据状态密度的定义式可知:(1) = lim (1)其中An表示在0 T 0 40间隔内晶格振动模式的数目。如果在q空间中，根据 切（q） =c0nst作出等频率面，那么在等频率面切和0十之间的振动模式的数目就是3n。由于晶格振动模在q空间分布是均匀的，密度为v/（2ji） （

49、V为晶体体积），因此有V=r dSdq（2 二）3将（2）式代入（1）式可得到状态密度的一般表达式为dS(2n)3 Wmq)|(2)(3)（3）式中'、q (q)表示沿法线方向频率的改变率。2当G =cq时，将之代入（3）式可得2当0 =®0 cq ,将之代入（3）式可得11 .试求质量为m,原子间距为a/2,力常数交错为01, 02的一维原子链振动的色散关系。71当口2 =10/时，求在q =°和 a处的（q）,并粗略画出色散关系。解：下图3.3给出了该一维原子链的示意图映节Ii+3图3.3X2n-2X2n+1X2nX2H1X2n+2，a >|在最近邻近似和

50、简谐近似下，第2n和第（2n+1）个原子的运动方程为d2X2n m -dt2d2X2n 1m 丁dt=-2 (X2n 1 - X2n) - - 1( X2n - X?n)-1 ( X2n 2 一 X2n 1 ) 一 '2 (X2n 1 - X2n )当3 =103时，上述方程组（1）可变为d X2n m dtd 2 X2n 1 m；出2二10 ：1(X2n 1 X2n) 一 ：i(X2n 一 X2n*)(2)-1( X2n -2 一 X2n 1 ) - 10 - 1 (X2n 1 一 X2n )为求格波解，令i(2n)£tx2n = Aeqai(2n d)l_ _.t(3)将

51、（3）式代入2）式，可导出线性方程组为/邛1m-* 2)A-(10eiqa/2 e邪/2)B U0(e mmiqa/2iqa/211 ： 12、10e )A (- -，)B =0m(4)210,从A,B有非零解的系数行列式等于零的条件可得(11 .2224 iqa/2_iqa/2iqa /2iqa/2、- ) - 0 (10e e )(e10e)=0(5)由(5)式可解出 62 =福(11±，20cosqa+101)当 q = 0 时 cosqa =1兀q 二当 a 时，cosqa =18+=U20co0o _ = V20 0X2n 1 = Be其色散关系曲线如下图3.4所示：图3.4原子间的力常数不相等的双原子链的晶格振动色散关系曲线12 .如有一维布喇菲格子，第2n个原子与第2n +