立体几何空间几何体的表面积与体积

1、第2讲 空间几何体的表面积与体积考点考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与 球的接切问题相结合，难度有所增大.【复习指导】本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简 单的问题.基础梳理1.柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧=2-rhV= Sh=兀 r h圆锥S侧=兀rlV= §Sh= 3 几 r 2h=3Zl2-r2圆台S侧=冗(+2)lv= 3( s 上 + s 下+y St S下)h=1 Z 2 ,2,、,-tt (r 1+2+ rm) h 3直棱柱S侧=加V= Sh正棱锥-1，S侧=2Ch

2、1 V=-Sh3正棱台八1八S 侧= 2(C+ C ) hV= 1(S 上+S 下+S± S )h球S球面=4.R4 7V=4 冗 R3 32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与 底面面积之和.=助考微博一两种方法（1）解与球有关的组合体问题的方法，一种是切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明 确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球切于正方体， 切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点 均在球面上，正

3、方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面 进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截 面图.（2）等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或 体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高， 特别是 在求工角彩的高和三棱链的高这二方法皿避工具体逋过作图得到三角_形-一（或三寸避的近一 而通过直接计算得到高的数值.双基自测1 .（人教A版教材习题改编）圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形，那么这个圆 柱的侧面积是（）.A. 4冗 SB. 2九 SC. S S

4、D. 3 7ts解析 设圆柱底面圆的半径为r,高为h,则r= '/!，又 h = 2：tr=27 k S, S圆柱侧（2/）匕4几S.答案 A2. （2012 东北三校联考）设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为（）.A. 3兀 a2B . 6：ta2 C . 12tt a2D . 24：ta2解析 由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,则长方体的体对角线长为弋2a 2+a2+a2 = 咽.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，2R= V6a. S球=4兀R=6冗a2.答案 B().A.C.10解析 由三视图可知，该几何体的四个面

5、都是直角三角形，面积分别为 6,6小，8,10,所以面积最大的是10,故选择C.答案 C4 . (2011 )设俯视国右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为().9 一A；兀 + 12_9 一B.2兀 + 18C. 9 兀 + 42D . 36兀 + 18解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3,长方体的底面是边长为3的正方形，高为2,故所求体积为2X2+43 3=| 九 + 18.答案 B解析 V=5 .若一个球的体积为443兀，则它的表面积为 =4;/3 九,二 R= 313, S= 4 兀 R = 4 冗, 3= 12 兀.答案 12九KAaXIANlGTAKI

6、JIUDAOXil - -Jc ” 考向探究导析 研析率向4例更破考向一几何体的表面积【例11 ?（2011 ）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）.；正（主）视图侧（左）视图A. 48B. 32+8 17C. 48+8 17D. 80审题视点由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积.解析 换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4,高为4,故腰长为师，所以该几何体的表面积为48+ 8717.答案 C方法触0以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中

7、各元素间的位置关系及数量关系.【训练11若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于（）.A. 3B, 2C. 2 3D. 6解析 由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为 2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此 三棱柱的侧面积为2X1X3&答案 D考向二几何体的体积【例2】？（2011 ）如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视 图都是矩形，则该几何体的体积为（）.« (A)WFHA. 18V3 B - 12V3 C - 9V3D审题视点根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解.解析 该几何体为一个斜棱柱，具直

8、观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为镉，故丫= 3X3乖=9乖.答案 C方漆总结以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解.【训练2】（2012 模拟某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 （）.28A.不冗3C.Q 九 +8 3B.D16万九解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为 2,高为2的圆柱24和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为2%冗=3283 7t -答案 A考向三 几何体的展开与折叠【例3】？（2012 模拟如图1,在直角梯形ABCM,

9、 ZADC= 90°CD/ AB, A五4, AD= C* 2,将ADO AC折起，使平面ADCL平面ABC得至U几何体DABC如图2所示.由等体积性可知，几何体DABC勺体积为一.3(1)求证：BCL平面ACD求几何体DABC勺体积.利用体积公式及等体积法证明.方法总结(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变.(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题.【训练3】已知在直三棱柱 ABC/BC中，底面为直角三角形，/ ACB= 90°

10、,A捻6, BG= CC=也,P是BC审题视点(1)利用线面垂直的判定定理，证明BC垂直于平面ACD勺两条相交线即可； 证明在图中，可得A提B盘2y2,从而 AC+ bC=Ae,故 ACL BC取AC的中点O,连接DO则DCL AC又平面ADCL平面ABC平面AD平面AB4AQ DO?平面ADC从而DOL平面ABCDO! BC又 AC，BC A8 D& O, . BCL平面 ACD解 由 可知，BC为三棱锥BACD勺高，BO2y2, Sac2,Wacl114 2F ACD BC= -X2 02 =,333上一动点，如图所小，则CP+ PA的最小值为解析 PA在平面ABC, PC在平面B

11、CC,将其铺平后转化为平面上的问题解决. 计算AB= AB =440, BC= 2,又 AiG=6,故ABC是/ACB= 90°的直角三角形.铺平平面 ABC、平面 BCC,如图所示.CP PA>AiC在 ACC中，由余弦定理得A C= .6?+ 22 2 2 - 6f2 , cos 135 50 = 5rJ2,故（CP PA） min = 5r>2.答案5 .-2Q3 ” 考题专项突破.胆麻示名师第董难点突破17空间几何体的表面积和体积的求解空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各 类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成 几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体 作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算 难点的关键.【示例11 ? （2010 ）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为ilhs为 一hIh* I 6正（主）视图他（左）觇图俯视用A. 280 B . 292 C . 360 D . 3724想象该几何体的形状及构成*该几何体是由两个长方体组合成的衣面积 S (