电磁场与电波课后答案(杨儒贵第二版)-2

1、第二章静电场电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分 形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性 或称为点特性。利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子， 总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。 讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据 积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。关于静电场的能量与力，应总

2、结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用 虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和 部分电容一节可以从简。重要公式真空中静电场方程：积分形式：。se . °F dl 00微分形式： E E 00已知电荷分布求解电场强度：1 (r )1 E(r) C； (r)。v|V2, E(r)(j(r r)3dv V 4 01r r |3, 口 E dS 高斯定律 S 0介质中静电场方程：积分形式：。DdSq口 Edl0Sl微分形式： 线性均匀各向同性介质中静电场方程：积分形式：oEdsSoEdl0Sl微分形式： E -E 0静电场

3、边界条件：1 , EitE2t。对于两种各向同性的线性介质，则Dit D2t 122 , D2n D1n so在两种介质形成的边界上，则DinD2n对于两种各向同性的线性介质，则1 E1n 2 E2n3,介质与导体的边界条件：en E 0; en D s若导体周围是各向同性的线性介质，则En静电场的能量：孤立带电体的能量：1022 C离散带电体的能量：iQi分布电荷的能量：W 1 dV 1 qdS 1, dle v 2s 2 s 1211静电场的能量留度：We 1 D E21_ 2对于各向同性的线性介质，则 we - E2电场力：库仑定律：F qq 2 e4 rdWe吊电何系统：F q常数dl

4、一、LdWe常电位系统：F 常数dl2-1 若真空中相距为d的两个电荷q i及q2的电量分别为q及4q,当点电荷q位于qi及q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q的大小及位置。解要使系统处于平衡状态，点电荷q受到点电荷qi及q2的力应该大小相等，方向相反，即FqqFq2q。那么，由一4qqq2q220140上2r1,同时考虑到r1可见点2-2 已试求位r11d,32电荷q可以任意，知真空中有qi 1C, P（0,0,1）q2 1C, P2（1,0,1）q3 4C, P3（0,1,0）但应位于点电荷1q1和q2的连线上，且与点电何q1相距一d。3q 2P ”荷，其电量及位置分别为：于P(0,

5、1,0)点的电场强E2q3解 令r1，万，口分另1J为三个电电利用点电荷的场强公式40r2q1在P点的场强大小为E1q140。2q2在P点的场强大小为E2q24022习题图2-2er为点电荷方向为e1荷的位置Pi,P2,P3到P点的距离，指向场点P的单位矢量。那么，112 0,方向为er21 一一 7 ex ey ez °ey_q31q3在 P点的场强大小为 E32- , 方向为eg40r34 0则P点的合成电场强度为E E1 E2 E311T 123ex1112 34 ey8.212 . 3 ez2-3 直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。解令点电荷 q位于坐标原点，

6、r为点电荷 q至场点P的距离。再令点电荷 q位于+ z坐标轴上，r1为点电荷 q至场点P的距离。两个点电荷相距为l ,场点P的坐标为（r,根据叠加原理，电偶极子在场点P产生的电场为考虑至1 r >>l， er1 = er ,l cos,那么上式变为11以L为变量，r11 dr11r22 r2 2r nl2 2rl并将1l -cos rercos(rir)(rir)2-cosrl cos r利用球坐标系中的散度计算公式，求出2 2r r1er2-cosr12在零点作泰勒展开。由于l略去Wj阶项后，得电场强度为lcos r1ql cos一3 err2 orql sin3 e94 or2

7、-4已知真空中两个点电荷的电量均为2 10 6C,相距为2cm , 如习题图2-4所示。试求：P点的电位；将电量为2 10 6C的点电荷由无限远处缓慢地移至P点时，外力必须作的功。q1cm1cm解根据叠加原理，P点的合成电位为习题图2-42 q2.5 106 V4 °r因此，将电量为2 10 6C的点电荷由无限远处缓慢地移到P点，外力必须做的功为W q 5J2-5 通过电位计算有限长线电荷 的电场强度。解 建立圆柱坐标系。令先电荷沿z轴放置，由于结构以z轴对令场点位于yz平面。设线电荷的长度为L,密度为i,线电荷的中点位于坐标原点，场点P的坐标为r, 一, z 。2利用电位叠加原理，

8、求得场点 P的电位为称，场强与无关。为了简单起见，习题图2-52dlL2 r0Ez-In 4 ozIn 4 o2L z22L z2可知电场强度的z分量为In 0 z zI4 o2L z2I4 0rL2L22L z 一22L z 22L 2 z r21 z L22Irr4 0r,r2 z L 2222,r z L 2sinisin 24 or电场强度的r分量为cos 1 cos24 orErinri4 or2L 2z r2z L 2 2 r2 z L 2 . z L 22 r2r2 z L2 , z L22 r21 z L2211 z L2i4 or1 2tan 1 tan 11,2tan 11

9、 t !tan2 tan 21 t :tan 2i4 or1 cos 11 cos 2l2-6* r1 arctanj-,z 一El-4 0rsin0,这些结果与教材r2 arctan1, 那么，合成电强为z 一2sinl2-71 ezcos 2 cos 1 er,则合成电场强度为er2-2节例4完全相同。已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度l °sin , 0,试求圆心处的电场强习题图2-6所示。两个分量Ex和Ey。强度的E y分量，即解 建立直角坐习题图2-6标，令线电荷位于xy平面，且以y轴为对称，如那么，点电荷ldl在圆心处产生的电场强度具有由于电荷分布以y轴为对称，因此

10、，仅需考虑电场dEldld Ey 2sin40a考虑到dl ad , l° sin ,代入上式求得合成电场强度为_020_ey sin d ey0 40a8 0a2-7已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为l ,试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。解 建立直角那么，点电荷id1在z轴上P点产生的电位为idl0r根据叠加原理圆环线电荷在P点产生的合成电位为14-dl rl 2a dl 1a一4 r 02240r2 0、a z因电场强度,则圆环线电荷在P点产生的电场强度为gzez22 322 0 a z2-8设宽度为 W,面密度为 S的带状电荷位于真空中，试求空间任一

11、点的电场强度。(a)(b)立直角坐标，且令带状电荷位于xz平面 习题图2-8所示。带状电荷可划分为很 宽度为dx的无限长线电荷，其线密度习题图2-8s d x。那么，该无限长线电荷产生的电场强度与坐标变量z无关，即d xer0rdEx xexry ey - r1一 ex x reyys dx2T ex xx yeyyw2w万s dx2r ex x2 0 x x yxeyyex 4-lnwX 22wX 2wwXXa s22ey arctan arctan2 oyy2-9已知均匀分布的带电圆盘半径为a,面电荷密度位于z = 0平面，且盘心与原点重合，试求圆盘轴线上任一点电场强度E。P(0,0, z

12、)解如图 2-9所示，在圆盘上取一半径为r,宽度为dr的圆x环，该圆环具习题图2-9有的电荷量为dq 2 r d r s。由于对称性，该圆环电荷在z轴上任一点P产生的电场强度仅的 产生的电场强度的z分量为r有z分量。根据习题2-7结果，获知该圆环电荷在PE Ei E2 exE1exE20, x 0zr sdrd Ez, 9z22 3 22 0 r z整个圆盘电荷在P产生的电场强度为ez厂2 0s a zr d rE ez3 2O 022 3 22 0 z r2-10 已知电荷密度为S及S的两块无限大面电荷分别位于x = 0及x = 1平面，试求x 1, 0 x 1及x 0区域中的电场强度。解

13、无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。因此，位于x = 0平面内的无限大面电荷 S,在x<0区域中产生的电场强度E1exE1 ,在x > 0区域中产生的电场强度E1exE1。位于x = 1平面内的无限大面电荷 s,在x < 1区域中产生的电场强度E2 exE2,在x > 1区域中产生的电场强度£2exE2。由电场强度法向边界条件获知，由此求得0E10E10E10E1EiE2s2 00E20E20E20E2根据叠加定理，各区域中的电场强度应为LLLLLSEEiE2exEiexE2,0 x 10EEiE2exEiex

14、E20,x 12-11 若在球坐标系中，电荷分布函数为0,0ra10 6,arb0,rb试求0 r a, a r b及rb区域中的电通密度D。解作一个半径为r的球面为高斯面，由对称性可知.e4 r2er式中q在0 在a为闭合面S包围的电荷。那么a区域中，b区域中，由于q = 0 ,因此D = 0。闭合面S包围的电荷量为6433dv 10- r a3因此，3r2r3aer因此，2-12b区域中，闭合面S包围的电荷量为643310 b a33a-2err若带电球的内外区域中的电场强度为qr试求球内外各点的电位。 解在r a区域中，电位为ar E d r E drrrE dr a在r a区域中，E

15、drr2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为e 5er a试求空间的电荷密度。解 利用高斯定理的微分形式E 一，得知在球坐标系中0r2Er2-14在r a区域中电荷密度为1 dr 0 T r d ra区域中电荷密度为已知真空中的电荷分布函数为5 0r2r2,0(r)0,rr为球坐标系中的半径，试求空间各点的电场强度。解 由于电荷分布具有球对称性，取球面为高斯面，那么根据高斯定理2-15E40 r a区域中Eerr a区域中Eerdv4 r2 5r dv4 r2 5已知空间电场强度3ex解设P1点的坐标为(0,0,0,P2 E Pdl式中 E3ex4ey5ez，dl3r一er5 05a77

16、2er5r 04ey 5ez,试求（0,0,0 ）与（1,1,2 ）两点间的电位差。P2点exdx的坐标为（1,1,2,）,那么，两点间的电位差为eydy ezdz,因此电位差为3dx4d y 5d z1,1,2V0,0,02-16 已知同轴圆柱电容器的内导体半径为a,外导体的内半径为bo若填充介质的相对介电常数r 2。试求在外导体尺寸不变的情况下,为了获得最高耐压，内外导体半径之比。解已知若同轴线单位长度内的电荷量为高耐压，应在保持内外导体之间的电位差q1,则同轴线内电场强度Eqe。为了使同轴线获得最12 rV不变的情况下，使同轴线内最大的电场强度达到最小值，即应使内导体表面r a处的电场强

17、度达到最小值。因为同轴线单位长度内的电容为CllnqiIn则同轴线内导体表面rE(a)a处电场强度为aln abV a b I bIn - abb令b不变，以比值一为变量，对上式求极值，获知当比值一 e时，E a取得最小值，即同轴线获得 aa最高耐压。2-17 若在一个电荷密度为 ，半径为a的均匀带电球中，存在一个半径为b的 球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d,试求空腔中的电场强度。习解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。首先设半径为a的整个球内充满电荷密度为 的电荷，则 球内P点的电场强度为eip143r er r40r 33 o式中r是由球心。点指向P点的位置矢量，再设半径为b的球腔

18、内充满电荷密度为 的电荷，则其在球内P点的电场强度为E 2P1432 r er -r 4 or 2 33 o式中r是由腔心o点指向P点的位置矢量。那么，合成电场强度E1P E 2P即是原先空腔内任一点的电场强度，即Ep EipE 2Pd 3 0式中d是由球心。点指向腔心o点的位置矢量。可见，空腔内的电场是均匀的。x习题图2-182-18 已知介质圆柱体的半径为a, 化时，极化强度为P,试求介质中束 场强度。解建立圆柱坐标，且令圆柱的下端 故只考虑面束缚电荷。而且该束缚电 电荷密度与极化强度的关系为s P en长度为l,当沿轴线方向发生均匀极 缚电荷在圆柱内外轴线上产生的电面位于xy平面。由于是

19、均匀极化， 荷仅存在圆柱上下端面。已知面束缚式中e”为表面的外法线方向上单位矢量。由此求得圆柱体上端面的束缚电荷面密度为s1 P,ns 1体下端面的束缚面电荷密度为s2P。由习题2-9获知，位于xy平面，面电荷为 s的圆盘在其轴线上的电场强度为习题图2-20z-za2 ez因此，圆柱下端面束缚电荷在z轴上产生的电场强度为E2P2而圆柱上端面束缚电荷在z轴上产生的电场强度为那么，上下端面束缚电荷在z轴上任Eez2-19 已知内半径为a,外半径为bz l(z l)2 a2 z一点产生的合成电场强度为的均匀介质球壳的介电常数为 ，若在球心放置一个电量为点电荷，试求：介质壳内外表面上的束缚电荷；各区域

20、中的电场强度。解 先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理.e 4 r2err a区域中，电场强度为q e40r2 rr b区域中，电场强度为b区域中，电场强度为E 2 /r040r再求介质壳内外表面上的束缚电荷。由于P0 E ,则介质壳内表面上束缚电荷面密度为s n Per P外表面上束缚电荷面密度为s n P er Pq4 b2q4 b22-20 将一块无限大的厚度为d的介质板放在均匀电场围媒质为真空。已知介质板的介电常数为，均匀电场E中，E的方与介质板法线的夹角为1,如习题图2-20所示。当介质板中的电场线方向2 时，试求角度1及4介质表面的束缚电荷面密度。解 根据两种介质的边界条件获

21、知，边界上电场强度切向分量和电通密度的法向分量连续。因此可得Esin 1 E2sin 2；D cos 1 D 2 cos 24 0 a已知DoE, D2E2,那么由上式求得tan 1tan 2tan 1tan 21 arctan 已知介质表面的束缚电荷 s en P en (D 0E), 那么，介质左表面上束缚电荷面密度为s1en1P 2en11 d2D21 0 0Ecos 1介质右表面上束缚电荷面密度为s2en2P2en21- D21- en2D201 o E cos 1 2-21已知两个导体球的半径分别为6cm及12cm ,电量均为3 106C,相距很远。若以导线相连后，试求：电荷移动的方

22、向及电 量；两球最终的电位及电量。解 设两球相距为d,考虑到d >> a, d >> b ,两个带电球的电位为1q1 曳.1 q2 q11，24 0 a d40bd两球以导线相连后，两球电位相等，电荷重新分布，但总电荷量应该守恒，即12及q1 q2 q 6 10 6 C ,16 _-q 2 10 6 C 326-q 4 10 6 C 3求得两球最终的电量分别为q1 qad bd 2abb d aq2qad bd 2ab可见，电荷由半径小的导体球转移到半径大的导体球，移动的电荷量为1 10 6 C。两球最终电位分别为1 q153 10 V2 I3 105 V2-22 已知

23、两个导体球的重量分别为mi=5g, m2=10g,电量均为5 10 6C ,以无重量的绝缘线相连。若绝缘线的长度l = 1m,且远大于两球的半径，试求；绝缘线切断的瞬时，每球的加速度；绝 缘线切断很久以后，两球的速度。解绝缘线切断的瞬时，每球受到的力为因此，F加2F24 0r5 10 6 5 10 6 0.225 N两球获得的加速度分别为0.2250.00545 m s2a2mb0.2250.0122.5 m s2当两球相距为l两球的电位分别为q2系统的电场能量为1二 2q22q140r1绝缘线切断很久以后，两球相距很远(l>>a, l>>b),那么，两球的电位分别为q

24、240r2由此可见，绝缘线切断很久的前后，系统电场能量的变化为1 q22 4jq22q4 0l0.225(J)这部分电场能量的变化转变为两球的动能，根据能量守恒原理及动量守恒定理可得下列方程：1 212Wm1vlm2v2 ,m1vlm2v202 2由此即可求出绝缘线切断很久以后两球的速度v1和v2 ：v17.74 m/s ;v23.87 m/s2-23 如习题图2-23所示，半径为a的导体球中有两个较小的球形空腔。若在空腔中心分别放置两个点电荷 q1及q2,在距离r a处放置另一个点电荷q3,试求三 个点电荷受到的电场力。习题图2-23解 根据原书2-7节所述，封闭导体空腔具有静电屏蔽特性。因

25、此，q1与q2之间没有作用力，q3对于q1及42也没有作用力。但是q1及q2在导体外表面产生的感应电荷-q1及- q2,对于q3有作用力。考虑到r>>a,根据库仑定律获知该作用力为f qiq2 q31/240r2-24 证明位于无源区中任 关。解已知电位与电场强度的关系为E又知 E 由此获知电位满足下列泊松方程球面上电位的平均值等于其球心的电位，而与球外的电荷分布特性无利用格林函数求得泊松方程的解为r vG0r, rr ,d v 二 G0 r, rS 0'0G0 r, r d s式中G0r, rG0r,rr , 代入上式得rdvr ds若闭合面S内为无源区，ds若闭合面S为

26、一个球面，其半径为a,球心为场点，a,那么上式变为1r r,r 一 - 丁r r d s4 s a a考虑到差矢量r r的方向为该球面的半径方向，即与ds的方向恰好相反，又E，则上式变为SE1G4 a2 S由于在S面内无电荷，则手ds 。，那么1 Q4 a2 Sr ds由此式可见，位于无源区中任一球面上的电位的平均值等于其球心的电位，而与球外的电荷分布无2-25已知可变电容器的最大电容量Cmax 100pF ,最小电容量Cmin 10pF ,外加直流电压为300V ,试求使电容器由最小变为最大的过程中外力必须作的功。解在可变电容器的电容量由最小变为最大的过程中，电源作的功和外力作的功均转变为电

27、场储能的 增量，即W电源 W外AWe式中W电源 VAq V(CmaxV CminV) 8.1 10 6(J)126We -(Cmax )V 4.05 10 J 2因此，外力必须作的功为W外4.05 10 6 J之一填满2-26 若使两个电容器均为C的真空电容器充以电压V后，断开电源相互并联，再将其中 介电常数为r的理想介质，试求：两个电容器的最终电位；转移的电量。解 两电容器断开电源相互并联，再将其中之一填满相对介电常数为r理想介质后，两电容器的电容量分别为C1 C,C2rC两电容器的电量分别为q1,q2,且q1 q2 2CV由于两个电容器的电压相等，因此qq2C1dq1q2联立上述两式，求得

28、2CVq1rq22CV r1 r因此，两电容器的最终电位为V 曳至C1 C22V1 r考虑到q2 q1,转移的电量为q q2 CV1CV 12-27 同轴圆柱电容器的内导体半径为a ,外导体半径为b ,其内一半填充介电常数为1的介质，另一半填充介质的介电常数为2，如习题图2-27所示。当外加电压为V时，试求：电容器中的电场强度；各边界上的电荷密度；电容及储能。解设内导体的外表面上单位长度的电量为q,外导体的内表面上单位长度的电量为q。取内外导体之间一个同轴的单位长度圆柱面作为高斯面，由高斯定理SD ds q a r b求得r D1D2q已知 Di1E1, D2正2 ,在两种介质的分界面上电场强

29、度的切向分量必须连续，即EiE2,求得EiE2内外导体之间的电位差为dr1nb a即单位长度内的电荷量为 q12V4In - a故同轴电容器中的电场强度为E'rrln a由于电场强度在两种介质的分界面上无法向分量， 内导体的外表面上的电荷面密度为故此边界上的电荷密度为零。1Vs11er Eb ； s22er Ealna外导体的内表面上的电荷面密度为2Valnb a1VS1 © E - b b ln as22erblnb a单位长度的电容为1,bIn a电容器中的储能密度为1212 ,WeV 2 1E dV1V2 2E dv21 V22 b 1In 一 a2-28平板电容器的结

30、构如习题图2-28所示，间距为 接上电压 V时，移去介质前后电容器中的电场强度、 储能；d,极板面积为l 1。试求：电通密度、各边界上的电荷密度电容及断开电源后，再计算介质移去前后以上各个参数。l/ 2 4 1/ 2d的电场强V 人日一, 介质 d习题图2-28接上电源，介质存在时，介质边界上电场强度切向分量必须连续，因此，介质内外E是相等的，即电场强度为E V。但是介质内外的电通密度不等，介质内D Edc匚VDo0E0 0d两部分极板表面自由电荷面密度分别为s0电容器的电量l2电容量为电容器储能为若接上电压时s012V0 2dl22d1 qV212V20r移去介质，那么电容器中的电场强度为电

31、通密度为 极板表面自由电荷面密度为电容器的电量为1212V 0 d电容量为l2电容器的储能为12qV 012V22d断开电源后，移去介质前， 场强度为各个参数不变。但是若移去介质，由于极板上的电量q不变，电电通密度为E a012D 0E极板表面自由电荷面密度为两极板之间的电位差为02d 0o2d02dEd V12 一电容量为 C q V d12V218d o电容器的储能为W -qV22-29 若平板电容器的结构如习题图2-29所示，尺寸同上题，计算上题中各种情况下的参数。d/2d/2解 接上电压，介质存在时，介质内外的电通密度均为D ,因此，介质内外的电场强度分别E。两极板之间的电位差为V d

32、 E2E0qd 09o210_ 2则qTV0 d2V 0d,E2V则电位移矢量为2V 00 d2V 00 d极板表面自由电荷面密度为2V2V 00 d '介电常数为的介质在靠近极板一侧表面上束缚电荷面密度为2V 00 d0E s介电常数为与介电常数为0的两种介质边界上的束缚电荷面密度为2V 00 d此电容器的电量l2 sl222V1200 d则电容量为 C212电容器的储能为2qV2 22V 2l2接上电压时，电场强度为 E移去介质后：V电位移矢量为D 0E 0- d极板表面自由电荷面密度为 s4 A 4 日21 2V电谷器的电重 q 1 s 0d电容量为 C qV电容器的储能为i q

33、V212V202d(2)断开电源后介质存在时，各个参数与接上电源时完全相同。但是，移去介质后由于极板上的电量q不变，电容器中电场强度为E2V,电通密度为 0 doE2V 00 d极板表面自由电荷面密度为2V 00 d两极板之间的电位差为V Ed2V电容量为电容器的储能为2qV2V2l200d2-30 已知两个电容器Ci及C2的电量分别为qi及q 2,试求两者并联后的总储能。若要求并联前后的总储能不变，则两个电容器的电容及电量应满足什么条件？解 并联前两个电容器总储能为Ciq2C2并联后总电容为CCi C2,电量为qqiq2,则总储能为qi2 Ci2q2C2要使W前W后，即要求2 qiCi2q2C2i qi2q22 C1C2方程两边同乘C1C2,整理后得C2 2 c?qiCiC22 人q22q1q2方程两边再同乘C1C2,可得222C2 qi Ci q222CiC2qi q22C2qiCiq20由此获知两个电容器的电容量及电荷量应该满足的条件为qiC