(HDUACM201403版09)母函数

1、ACM程序设计程序设计杭州电子科技大学 刘春英2022-1-22期中了期中了你你 吗？吗？AC过2022-1-23每周一星每周一星（8 8）：）：13061326130613262022-1-24第九讲第九讲母函数母函数（Generation function）2022-1-25研究以下研究以下多项式乘法多项式乘法：可以看出：可以看出：x x2 2项的系数项的系数a a1 1a a2 2+a+a1 1a a3 3+.+a+.+an-1n-1a an n中所有的项包括中所有的项包括n n个元个元素素a a1 1，a a2 2， a an n中取两个组合的全体；中取两个组合的全体；同理：同理：x

2、x3 3项系数包含了从项系数包含了从n n个元素个元素a a1 1，a a2 2， a an n中取中取3 3个个元素组合的全体；元素组合的全体；以此类推。以此类推。 (91)2022-1-26若令a1=a2= =an=1，在（8-1）式中a1a2+a1a3+.+an-1an项系数中每一个组合有1个贡献，其他各项以此类推。故有：（92）特例：2022-1-27母函数定义：母函数定义：n对于序列对于序列a a0 0，a a1 1，a a2 2，构造一函数：构造一函数： n称函数称函数G(x)G(x)是序列是序列a a0 0，a a1 1，a a2 2，的的母函数母函数2022-1-28 For

3、example:For example:(1+x)n是序列C(n,0),C(n,1),.,C(n,n)的母函数。 如若已知序列a0，a1，a2，则对应的母函数G(x)便可根据定义给出。反之，如若已经求得序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。 序列a0，a1，a2，可记为an 。 2022-1-29实实 例例 分分 析析2022-1-210例例1 1：若有：若有1 1克、克、2 2克、克、3 3克、克、4 4克的砝码各一克的砝码各一 枚，枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？能称出哪几种重量？各有几种可能方案？ 如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。如果用x的指数表示称出的重量，则：1个1克

4、的砝码可以用函数1+x表示，1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，2022-1-211几种砝码的组合可以称重的情况，可几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：以用以上几个函数的乘积表示：(1+(1+x)(1+xx)(1+x2 2)(1+x)(1+x3 3)(1+x)(1+x4 4) )=(1+x+x=(1+x+x2 2+x+x3 3)(1+x)(1+x3 3+x+x4 4+x+x7 7) )=1+x+x=1+x+x2 2+2x+2x3 3+2x+2x4 4+2x+2x5 5+2x+2x6 6+2x+

5、2x7 7+x+x8 8+x+x9 9+x+x1010 从上面的函数知道：从上面的函数知道：可称出从可称出从1 1克到克到1010克，系数便克，系数便是方案数。是方案数。例如右端有例如右端有2x2x5 5 项，即称出项，即称出5 5克的方案有克的方案有2 2：5=3+2=4+15=3+2=4+1；同样，；同样，6=1+2+3=4+26=1+2+3=4+2；10=1+2+3+410=1+2+3+4。故称出故称出6 6克的方案有克的方案有2 2，称出，称出1010克的方案有克的方案有1 1 2022-1-212例例2 2：求用求用1 1分、分、2 2分、分、3 3分的邮票贴分的邮票贴出不同数值的方

6、案数出不同数值的方案数 n因邮票允许重复，故母函数为：因邮票允许重复，故母函数为：n以展开后的以展开后的x x4 4为例，其系数为为例，其系数为4 4，即，即4 4拆拆分成分成1 1、2 2、3 3之和的拆分数为之和的拆分数为4 4；n即即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+24=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+22022-1-213概念：整数拆分概念：整数拆分 n所谓整数拆分即把整数分解成若干整所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把数的和（相当于把n n个无区别的球放个无区别的球放到到n n个无标志的盒子，盒子允许空，个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个

7、球）。也允许放多于一个球）。n整数拆分成若干整数的和，办法不一，整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。不同拆分法的总数叫做拆分数。 2022-1-214练习练习（写出以下问题的母函数）：（写出以下问题的母函数）：n例例3 3：若有：若有1 1克砝码克砝码3 3枚、枚、2 2克砝码克砝码4 4枚、枚、4 4克砝码克砝码2 2枚，问能称出哪几种重量？枚，问能称出哪几种重量？各有几种方案？各有几种方案？ n例例4: 4: 整数整数n n拆分成拆分成1 1，2 2，3 3，m m的和，求其母函数。的和，求其母函数。n例例5 5：如若上例中：如若上例中m m至少出现一次，至少出现

8、一次，其母函数又如何？其母函数又如何？ 2022-1-215如何编写程序如何编写程序实现母函数的应用呢？实现母函数的应用呢？核心问题核心问题关键：关键：对多项式展开对多项式展开2022-1-216以以整数拆分整数拆分为例：为例：观察以下的母函数：观察以下的母函数：首先思考：首先思考：如果让你手工计算，你是怎样处理的？如果让你手工计算，你是怎样处理的？实际编程：实际编程：让计算机按照自己的思路计算即可让计算机按照自己的思路计算即可/ Author by lwg/ Author by lwg#include #include using namespace std;using namespace

9、std;const int lmax=10000; const int lmax=10000; int c1lmax+1,c2lmax+1;int c1lmax+1,c2lmax+1;int main()int main() int n,i,j,k;int n,i,j,k;while (cinn)while (cinn)for (i=0;i=n;i+)for (i=0;i=n;i+) c1i=0; c1i=0;c2i=0;c2i=0; for (i=0;i=n;i+) c1i=1; for (i=0;i=n;i+) c1i=1; for (i=2;i=n;i+) for (i=2;i=n;i+

10、) for (j=0;j=n;j+)for (j=0;j=n;j+)for (k=0;k+j=n;k+=i)for (k=0;k+j=n;k+=i) c2j+k+=c1j; c2j+k+=c1j; for (j=0;j=n;j+)for (j=0;j=n;j+) c1j=c2j; c1j=c2j;c2j=0; c2j=0; coutc1nendl;coutc1nendl; return 0;return 0; 2022-1-218主打例题：主打例题：HDOJ_1398 Square CoinsHDOJ_1398 Square Coins Sample InputSample Input2 21

11、01030300 0 Sample OutputSample Output1 14 427272022-1-219算法分析：算法分析：典型的利用母函数可解的题目。典型的利用母函数可解的题目。G(x)=(1+x+x2+x3+x4+)(1+x4+x8+x12+)(1+x9+x18+x27+)/HDOJ_1398 Square Coins#include using namespace std;const int lmax=300;int c1lmax+1,c2lmax+1;int main(void)int n,i,j,k;while (cinn & n!=0)for (i=0;i=n;i

12、+)c1i=1;c2i=0;for (i=2;i=17;i+)for (j=0;j=n;j+)for (k=0;k+j=n;k+=i*i)c2j+k+=c1j;for (j=0;j=n;j+)c1j=c2j;c2j=0;coutc1nn & n!=0)for (i=0;i=n;i+)c1i=1;c2i=0;for (i=2; i=17; i+)for (j=0;j=n;j+)for (k=0;k+j=n; k+=elemi-1 ) c2j+k+=c1j;for (j=0;j=n;j+)c1j=c2j;c2j=0;coutc1nendl;return 0;2022-1-222思考思考（1 1）：）：nHDOJ_1028HDOJ_1028Ignatius and the Princess Ignatius and the Princess IIIIII2022-1-223思考思考（2 2）：）：nHDOJ_1085HDOJ_1085Holding Bin-Laden Captive!Holding Bin-Laden Captive!2022-1-224思考思考（3 3）：）：nHDOJ_1171HDOJ_1171Big EventBig Eventin HDUin HDU2022-1-225思考思考（4 4）：）：nHDOJ_1709HDOJ_170