2019上海中考专题：二次函数与相似及参考答案

1、课程主题:课前检测十二次函数与相似学习目标掌握二次函数背景下的动点相似问题14知识精讲:知识点：二次函数与相似综合【例题精讲】1、如图，已知抛物线y=ax2-x+ c的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为A （-1 ,0）,顶点为B.点C （5, mi）在抛物线上，直线BC交x轴于点E.(1)求抛物线的表达式及点 E的坐标;联结AB,求/ B的正切值;(3)点G为线段AC上一点，过点 G作CB的垂线交x轴于点M （位于点E右侧），当 CGMT ABE相似时，求点 M的坐标.【参考答案】24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5 分）1解：(1) ;抛物线y =

2、ax2x c的对称轴为直线x=1, a = 23;抛物线与x轴的一个父点为A (-1 , 0). c =一 ,2 1c 3抛物线的表达式为 y =-x -x- (2分)22顶点 B (1,-2) . (1 分)点C (5,成 在抛物线上，. m=6. ，C点坐标为(5, 6).设直线BC的表达式为y=kx+b (kw0),6 =5k b k = 2则2 5： +b ； |k 2即BC的表达式为y=2x-4. .E (2,0) (1 分)(2)作CHLx轴，垂足为H,彳BP，x轴，垂足为P, . C(5, 6) , A (-1,0) , . CH=63H . . / CAH45 . . B (1

3、,-2) , A (-1 , 0) , . BP=2=AP.；/BAP45 . / CAB90 . (1 分) . CH=6=AH CH!x 轴，；AC =6夜. . BP=2=AP, BPx 轴，；AB =2亚.AC - tan/B = = 3. (2 分)AB(3) . /CAB90。，. ./B+/ ACB：90o . GW BC . . / CGM/ACB=90 . . . / CGM/B (1 分) . CGIW AB/目似， ./ BAE=Z CMC / BAE=/ MCG情况 1:当 / BAE/ CM(Gf, . /BAE=45 , Z CMG450 . v GML BC, .

4、 . / MC=45 . . . / MCE/EAB . /AEB=/ CEM .ABE/oACME (1 分)里二”即史二上 EM CE EM 3、, 5 .EM=5. .M (7, 0)1分)情况 2:当/ BAE=Z MC(M, ./BAE=/ CAM-/MCG/ CAM;MGMA ( 1 分)设 M(x, 0) , v C (5, 6) , A (-1 , 0) ,(x+1)2=(x5)2+62 ；x=5., M (5, 0) . (1 分)2、如图7,已知抛物线y = -x2+bx+3与x轴交于点A和点B （点A在点B的左侧），与y轴 交于点C ,且OB =OC ,点D是抛物线的顶点

5、，直线 AC和BD交于点E。（1）求点D的坐标；（2）联结CD、BC,求/DBC的余切值；（3）设点M在线段CA延长线上，如果4EBM和4ABC相似，求点M的坐标。【答案】（1） D（14） 3 （3）（-55） 5 5【解析】（1）二.抛物线y = -x2+bx+3与轴的交于点A和点B （点A在点B的左侧）， 与 y 轴交于点 C, C(0,3)，且OB=OC , B(3,0)-9 +3b +3 =0,解得 b=2.2 y = -x 2x 3;： D(1,4)(2) v OB =OC，OCB =NOBC =451 / DCy=45 ; ./ DCB =180 2父45=900;cot DBC

6、 = BC=32=3 DC 2CO BC 一(3)由 y = x +2x+3 ,可得，在 AOG口 BCDt, =3, AO CDZAOC =/DCB =90”AAOCsABCD ,又 ACO = CBD ; ACB = ACO OCB = E CBD. E u/OCB =45 ;当AEBM和AABC相似时，可知 ZE =ZCBA ;又点在线段的延长线上， /ACB =/EBA,可得/EMB =/ACB ;.MB = BC =3 2 ;由题意，得直线的表达式为y=3x+3;设M(x,3x + 3).6二(x-3) +(3x+3)2 =18，解得 Xi = ,x2 =0 (舍去) 5二点M的坐标

7、是(-6,-3) 553、如图，抛物线y =-x2+bx+c经过点B(3,0), C(0,3) , D为抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;(2)点C关于抛物线y = -x2+bx+c的对称点为E点，联结BC, BE,求/CBE的正切值;(3)点M是抛物线对称轴上一点，且4 DMB和 BCE相似，求点M的坐标(第24题图) c1, 一 、 f 2、【答案】(1) y=-x2+2x + 3； D(1,4) - M(1,-2 )或 M 1,9 2 (3) 3 J【解析】(1)二.抛物线y = -x2+bx+c经过点B(3,0), C(0,3)-9+3b +c=00=3b = 2可解得3b

8、 2c =3.y=-x2+2x+3顶点坐标 D(1,4)(2)过点E作EH垂直于BC交于点H 点C与点E关于对称轴x = 1对称E(2,3), CE =2, CE平行于 x轴OC =OB =3 . OBC ECB =45 , BC =3 2在等腰直角三角形ECH中，CE=2 CH = EH = /2在直角三角形EHB中，BH = BC -CH = 2、历,EH = 2CBEW 嚏=2.二/CBE的正切值为 -2(3)设抛物线对称轴x=1交x轴与点F;在直角三角形 DFB中，DF=4,BF=2BF 1一 tan . BDF,BDF =/CBEDF 2 点M在点D的下方 当ADMB与ABCE相似时

9、，有下列两种情况:当瞿嘿时，即疆嗡可解得DM =6M 1,-2|1业 DMBEDM1010当=时，即 一1= = /= 可解得DM = DB BC2 5 3.232 2) M 1,- 3；2综上所述：M(1,-2)或M 1,20)经过点A和x轴正半轴上的点 B , AO=OB = 2, NAOB=1200.(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结OM ,求NAOM的大小；(3)如果点C在x轴上，且 ABC与4AOM相似，求点C的坐标.图924 解；(H-zOJ =t 作 4右上工轴I二4口尸三切，可得到点内-L石.国2.0;代人v - +岳 0)中* f U追到I口Lip +(-1州不5,钵汽/

10、1二亍 工，+ 3kQ尸11 v - y: - - jTr a a.13 Ml另，HO y- 2 tL+】1=* -i.t IrJ333s/+ A/(1.-)111M /,1& J_ 窝 Wk4/个 LkiijpLMF 22 gJ,hriur A.上 8H -昶*120 * M 二 I 对岷站加,占O120，-二45 二60Z v=Uff .，/&*日=-43（；= 3n 二 Z Jftr = 130上（以西14。AOM点t也一点的右值设点口片。g*M用值J Z*.处四钟M ati l地r /FJk =/MJC?,即 4flT S4/C=型 /2 =25西，l2,疝= Z0” =2万BC 3代

11、入即：N$ = a1-=4=4 g4a啕 - ZJA/O,BU 二 4flC s AWJ7 -l J、dd = 2Vj, lit匚c - L.*3- LfJV - : S fltQ 才J.2后 M , 代ASP。： - - * 0)与x轴交于点R C,与y轴交 m于点E,且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;(2)在第四象限内，抛物线 C1上是否存在点F,使得以点R C F为顶点的三角形与 BCEff似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.图1【解析】(1)将 M(2, 2)代入 y =_1(x+2)(x-m),得 2 =M4(2-m).解得 m= 4.

12、mm(4)如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF，x轴于F由 FF EO BF- CO1(x 2)(x-m) 2得m=2x 2 m由于/BC白 /FBC 所以当 CE=BC,即 BC2=CE BF 时， BC曰 FBC CB BF设点F的坐标为(x, -(x+2)(x-m)， m解得 x = m+ 2,所以 F (m+ 2, 0)由型=至，得二=里.所以CE BF m2 4 BF.(m 4) . m2 4 BF 由BC2=CE BF ,得（m+2）2 =而44Mlm也mW .整理，得0=16.此方程无解. m如图4,作/CB白450交抛物线于F,过点F作FF，x轴于F,由于/

13、EBG= / CBF 所以生=BC,即 BC2=BE BF 时， BC曰 BFC BC BF在 RtzXBFF 中，由 FF = BF ,得工(x+2)(x -m) =x+2 . m解得 x = 2m 所以 F (2m,0).所以 BF = 2m+ 2, BF=&(2m+2).由 BC2=BEBF,得(m+2)2 =272xV2(2m+2).解得 m = 22/2.综合、，符合题意的 m为2十2披.相似分类思路：一般可以找到一组固定相等的角按边分类-相等角的两边（利用的是两边对于成比例且夹角相 等）按角分类-若上述比例式中的边没法表示时，可按角继续分类课后练习:19.（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知抛物线y =x2 +mx +3的对称轴为x = 2 .（1）求m的值；（2）如