排列组合二项式定理教学设计

1、排列组合二项式定理教学设计Teaching design of binomial theorem of perm utation and combination编订：J inTai Cof leee排列组合二项式定理教学设计前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科， 从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代 的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要 求和针对教学对象是高中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的 设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使

2、用，本文下载后内容可随j 意修改调整及打印。(1)正确理解加法原理与乘法原理的意义,分清它们的条件和结 论；(2)能结合树形图来帮助理解加法原理与乘法原理；(3)正确区分加法原理与乘法原理 ，哪一个原理与分类有关 哪一个原理与分步有关；(4)能应用加法原理与乘法原理解决一些简单的应用问题提高学生理解和运用两个原理的能力 ；(5)通过对加法原理与乘法原理的学习 ，培养学生周密思考、 细心分析的良好习惯。教学建议一、知识结构二、重点难点分析本节的重点是加法原理与乘法原理,难点是准确区分加法原 理与乘法原理。加法原理、乘法原理本身是容易理解的，甚至是不言自明的。这两个原理是学习排列组合内容的基础,贯

3、穿整个内容之中,一方 面它是推导排列数与组合数的基础；另一方面它的结论与其思想在 方法本身又在解题时有许多直接应用。两个原理回答的，都是完成一件事的所有不同方法种数是多 少的问题，其区别在于：运用加法原理的前提条件是，做一件事有n 类方案,选择任何一类方案中的任何一种方法都可以完成此事,就是说,完成这件事的各种方法是相互独立的；运用乘法原理的前提 条件是，做一件事有n个骤，只要在每个步骤中任取一种方法,弁依 次完成每一步骤就能完成此事,就是说,完成这件事的各个步骤是 相互依存的。简单的说，如果完成一件事情的所有方法是属于分类 的问题，每次得到的是最后结果，要用加法原理；如果完成一件事情 的方法

4、是属于分步的问题,每次得到的该步结果,就要用乘法原理。三、教法建议关于两个计数原理的教学要分三个层次：第一是对两个计数原理的认识与理解.这里要求学生理解两 个计数原理的意义,弁弄清两个计数原理的区别.知道什么情况下 使用加法计数原理，什么情况下使用乘法计数原理.（建议利用一 课时）.第二是对两个计数原理的使用.可以让学生做一下习题（建 议利用两课时）：用0,1,2,9可以组成多少个8位号码；用0,1,2,9可以组成多少个8位整数；用0,1,2,9可以组成多少个无重复数字的4位整数;用0,1,2,9可以组成多少个有重复数字的4位整数;用0,1,2,9可以组成多少个无重复数字的4位奇数;用0,1,

5、2,9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等.第三是使学生掌握两个计数原理的综合应用,这个过程应该 贯彻整个教学中，每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用两 个计数原理,每一道排列、组合问题都可以直接利用两个原理求解 另外直接计算法、间接计算法都是两个原理的一种体现.教师要引导学生认真地分析题意，恰当的分类、分步，用好、用活两个基本 计数原理.教学设计示例加法原理和乘法原理教学目标正确理解和掌握加法原理和乘法原理,弁能准确地应用它们分析和 解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问 题和解决问题的能力.教学重点和难点重点：加法原理和乘法原理.难点：加法原理和乘法原理的准确

6、应用.教学用具投影仪.教学过程设计（一）引入新课从本节课开始,我们将要学习中学代数内容中一个独特的部 分一一排列、组合、二项式定理.它们研究对象独特,研究问题的 方法不同一般.虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少,而且它还 是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等 都与它直接有关.至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配 的问题，就离不开它.今天我们先学习两个基本原理.（二）讲授新课1.介绍两个基本原理先考虑下面的问题：问题1:从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘 轮船.一天中，火车有4个班次,汽车有2个班次,轮船有3个班次. 那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到

7、乙地,共有多少种不同的走 法？因为一天中乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有 3种走法,每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情 .所以，一天 中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4+2+3=9种不同的走法.这个问题可以总结为下面的一个基本原理（打出片子一一加 法原理）：加法原理：做一件事,完成它可以有几类办法,在第一类办法 中有ml种不同的方法,在第二类办法中有 m2种不同的方法,， 在第n类办法中有mn种不同的方法.那么,完成这件事共有 n=m1+m2 +mn种不同的方法.请大家再来考虑下面的问题（打出片子一一问题2）:问题2:由a村去b村的道路有3条，由b村去c村的道路有 2条（见

8、下图）,从a村经b村去c村，共有多少种不同的走法？这里,从a村到b村，有3种不同的走法,按这3种走法中的 每一种走法到达b村后，再从b村到c村又各有2种不同的走法, 因此,从a村经b村去c村共有3X 2=6种不同的走法.一般地,有如下基本原理（找出片子一一乘法原理）：乘法原理：做一件事,完成它需要分成n个步骤，做第一步有 ml种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有 mn种不同的方法.那么，完成这件事共有n=mix m2xx mn种不同 的方法.2.浅释两个基本原理两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的所有不同的方 法种数.比较两个基本原理,想一想,它们有什么区别？两个基本原理的

9、区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关.看下面的分析是否正确（打出片子一一题1,题2）：题1:找110这10个数中的所有合数.第一类办法是找含因 数2的合数,共有4个；第二类办法是找含因数 3的合数,共有2个; 第三类办法是找含因数5的合数，共有1个.110中一共有n=4+2+1=7个合数.题2:在前面的问题2中，步行从a村到b村的北路需要8时， 中路需要4时，南路需要6时,b村到c村的北路需要5时，南路需 要3时,要求步行从a村到c村的总时数不超过12时，共有多少种 不同的走法？第一步从a村到b村有3种走法,第二步从b村到c村有2 种走法，共有n=3X 2=6种不同走法.题2中的合数是4,

10、6,8,9,10 这五个，其中6既含有因数2,也 含有因数3;10既含有因数2,也含有因数5.题中的分析是错误的.从a村到c村总时数不超过12时的走法共有5种.题2中从 a村走北路到b村后再到c村，只有南路这一种走法.（此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个 基本原理的注意事项,这样安排,不但可以使学生对两个基本原理 的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力）进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的,不论哪一 类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事.只有满足这个条件, 才能直接用加法原理,否则不可以.如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要 依次完成所有步骤才

11、能完成这件事,而各步要求相互独立,即相对 于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完 成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理.也就是说：类类互斥,步步独立.(在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结 能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确,不再简 单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相 互联系就用乘法.从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正 含义和实质)(三)应用举例现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一 些简单问题了 .例1 书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6 本不同的英语书.(1)若从这些书中任取

12、一本，有多少种不同的取法？(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有 多少种不同的取法？(3)若从这些书中取不同的科目的书两 ，有多少种不同的取 法？(让学生思考，要求依据两个基本原理写出这 3个问题的答 案及理由，教师巡视指导，弁适时口述解法)(1)从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是 从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类办法是从5本 不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类办法是从6本不同 的英语书中任取一本,有6种方法.根据加法原理,得到的取法种数 是n=m1+m2+m3=3+5+6=1散从书架上任取一本书的不同取法有 14种.(2)从书架上任取数学书

13、、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成,第一步取1本数学书,有3种方法；第二步取1本 语文书,有5种方法；第三步取1本英语书,有6种方法.根据乘法 原理，得到不同的取法种数是 n=m1X m2X m3=3< 5X6=90.故，从书 架上取数学书、语文书、英语书各 1本，有90种不同的方法.(3)从书架上任取不同科目的书两本,可以有3类办法：第一类办 法是数学书、语文书各取 1本,需要分两个步骤，有3X 5种方法； 第二类办法是数学书、英语书各取1本,需要分两个步骤，有3X 6种方法；第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5X 6种方法.一共得到不同的取法种数是 n=3X 5+3X

14、6+5X 6=63,即,从书架任取 不同科目的书两本的不同取法有63种.例2 由数字0,1,2,3,4 可以组成多少个三位整数(各位上 的数字允许重复)？解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位 上的数字，从14这4个数字中任选一个数字,有4种选法；第二步 确定十位上的数字,由于数字允许重复,共有5种选法；第三步确定 个位上的数字，仍有5种选法.根据乘法原理,得到可以组成的三位 整数的个数是n=4X 5X5=100.答：可以组成100个三位整数.教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思 路和计算方法,使学生的分析问题能力有所提高.教师在第二个例 题中给出板书示范,能帮

15、助学生进一步加深对两个基本原理实质的 理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、 准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用,也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础.（四）归纳小结归纳什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理：分类时用加法原理，分步时用乘法原理.应用两个基本原理时需要注意分类时要求各类办法彼此之间 相互排斥；分步时要求各步是相互独立的.（五）课堂练习p222:练习14.（对于题4,教师有必要对三个多项式乘积展 开后各项的构成给以提示）（六）布置作业p222:练习5,6,7.补充题：1 .在所有的两位数中,个位数字小于十位数字的共有多少个？（提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9+8+7+ +2+1=45个个位数字小于十位数字的两位数）2 .某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数.(提示：需要按三个志愿分成三步,共有m (m-1) ( m-2)种填写方式)3 .在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？(提示：可以用下面方法来求解：(1) 口 , ( 2) 口,(3) , (1) , (2),(3)类中每类都是9X9种