百校联盟杯高二基础学科知识竞赛数学(理)(5月24)

1、2008 年湖南省百校联盟杯高二基础学科知识竞赛数学(理)3B.a 1时量:120 分钟分值:150 分(2008.5.24.10:0012:00)一、选择题(50 分)1、设集合Ax 1 x2,B x0 x4,则 AB()A 0, 2B1, 2C0, 4D1 , 42 .函数yx3sin x1图象的对称中心是D.()A.(0,0)B.(0, 1)C .(0,1)不存在x22x3 /八3、函数f(x)x 1(x1)一上在点x1处连续， 则a的值是()ax 1(x 1)A. 2B.2C. 3D.3则顶角的正弦值是2已知等腰三角形底角的正弦值为A. 4-B.2.595.对任意xR，不等式a|x|

2、x恒成立,则实数a的取值范围是足f(x)?f(y) x?y对任意x、y A恒成立，则a的坐标可能是()6.正项数列3n中,已知对一切正整数n,都有2卄an 2anan 4，右S32,074,15(A.8B.16C.32D.647 .如图,已知边长为2 的正三角形 ABC 中线 AF 与中位线相交于点 G,将此三角形沿 DE 折成二面角 Ai DE B,设二面角 Ai DE B 的大小为0,则当异面直线的夹角为 60时，cos0的值为A.平面向量的集合A到A的映射f由f(x)2(x?a)a确定，其中a为常向量.若映射()AiE 与 BD2围成的三角形的面积等于A (2 1)2 2B.、2. 2c

3、(方)EHD.(1退2 29 .直线|与圆x21相切,并且在两坐标轴上的截距之和等于.3，则直线|与两坐标轴所A.3210、长沙汽车南站每天都有 3 辆开往武汉的分为上中下等的客车，某天某先生准备从长沙南站搭 客车前往武汉，但他不知客车的车况，也不知如何发车，为尽可能乘上等车，他采用如下策略： 先放过第一辆不乘，如果第二辆比第一辆好，则乘该车，否则上第三辆车，那么他能乘上等车的 概率为1A3二、填空题(25 分)B.C.1D.)3D -4211.设随机变量服从正态分布：N( ,)(0),若P(0)0.3,P( 2)0.7,12、812x31的展开式中的常项是Vx。(用数字作答)13.若等差数列

4、an的前六项的和S69，且ai1，则a2i=14.已知过抛物线y26x焦点的弦长为 12,则此弦所在直线的倾斜角是 _15 .已知过球面上三点 A、B、C 的截面和球心的距离等于球半径R 的一半，且 AB=BC=CA=2则球面积 S=_三、解答题(75 分)16、(12 分)设a (cos ,sin ), b (cos ,sin )(0)是平面上的两个向量。(I)求证a b与a b垂直；43(n)若a b, tan，求tan的值。542217、(12 分)2008 年北京奥运会乒乓球比赛将产生男子单打、女子单打、男子团体、女子团体共四枚金牌，保守估计中国乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为3-，中

5、国乒乓球女队获得每一枚金44牌的概率均为一5(I)求按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一枚金牌的概率；(n)记中国乒乓球队获得金牌的数为，按此估计 的分布列和数学期望E18、(12 分)如图，正方形ACDE所在的平面与平面AC BC，且AC BC(I)求证：AM平面EBC;(n)求直线AB与平面EBC所成的角的大小；(川)求二面角A EB C的大小.(n)设数列an的前 n 项和 Sn,求SnABC垂直,19.(13 分)已知数列an满足 a15, an2an 12n1,(n2,nN )(I)若bnan1,(n2nN )求证:数列bn为等差数列；当 AC 垂直于 x 轴时，恰好有|A

6、F1|:|AF2| 3:1。(I)求该椭圆的离心率;(n)设AR1R B, AF22F2C，试判断i请说明理由。21、(13 分)已知函数f (x)11成e|X(其中 e 是自然对数的底)x(I)判断f (x)的奇偶性;(n)在，0上求f(x)的极值;(川)用数学归纳法证明：当x 0时对任意的正整数 n 都有f() n!x2n高二基础学科知识竞赛理科数学答案1-10 ABCACBDDAB11、1 12 、11213、 514、或15 、6444916、解：(I)-a-a-由已知a b (coscos , sinsin )20.(13 分)如图，A 为椭圆詁Ka b。)上的一个动点，弦 ABAC

7、 分别过焦点尺、F2,2是否为定值？若是， 求出该定值；若不是，22a b (cos cos ,sin sin )则概率分布为:01P17400200那么，所获金牌的数学期望E01400234732194005025,7c 73c2193112 -34(枚)200400502510(a b)(a b)2 2(cos cos )(si n2sin2a b与a b垂直(n) acos cos sinsincos(tan(又tan(tan tan1 tan tantan1- tan410解得tan2471217 解：（I）设中国乒乓球男队获0 枚金牌,枚金牌为事件A，中国乒乓球男队获金牌, 女队获

8、2 枚金牌为事件B那么,P(AB) P(A) P(B)=C；1g1C224=13-6 分550根据题意中国乒乓球队获得金牌数是一随机变量它的所有可能取值为0, 1, 2,（单位：枚）那么P（2 20)C21414佥p(1)C21P(P(P(C；g172002)C2C213)C214)g173400g4925C；215010 分x答：中国乒解法一：(I )EAAC, AMBC平面EACBCAMAM平面EBC乓球队获得金牌数的期望为四边形ACDE是正方形,18EC平面ACDEAM平面EAC,(n)连结BM,AM平面EBC,ABM是直线AB与平面EBC所成的角.设EA AC BC 2a，则AM 2a

9、,AB 2、2a,sin ABM即直线AB与平面EBC所成的角为303枚。10AMAB平面12 分平面ABCDCABM 30EBC,AM EBEB平面AHMAHM是二面角A EBC的平面角.平面ACDE平面ABC,EA平面ABC在Rt EAB中，AHEB,有AE ABEB AH由(n)所设EAACBC2a可得AB2.2a,AHAE AB 2 2asinAHMAMEB.3AHEAEB2C等于60二面角AEB(川)过A作AH EB于H，连结HMAMAB2 3a,AHM 6012 分解法二：四边形ACDE是正方形，EA AC, AMEC平面ACDE平面ABC,EA平面ABC,可以以点A为原点，以过A

10、点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz设EA AC BC 2，贝UA(0,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), E(0,0,2),E r-M是正方形ACDE的对角线的交点,M (0,1,1).(I)AM (0,1,1),EC (0,2,0) (0,0,2)(0,2, 2),CB (2,2,0) (0,2,0) (2,0,0),AB, AM 60.直线AB与平面EBC所成的角为30.n AE 0且n AB 0.所以，数列bn为等差数列（II ）由（I）可得bnb1(n 1)d n 1AM EC 0, AM CB0,AM E

11、C, AM CBAM平面EBC.AM平面EBC,AM为平面EBC的一个法向量,AM(0,1,1), AB (2,2,0),cos AB,AMAB AMAB AM（川）设平面EAB的法向量为(x, y, z)，贝U n AE且n AB,(0,0,2) (x,y,z)0,(2,2,0) (x,y,z)0.0,取y 1，则x 1,y 0.则n (1,1,0).又AM为平面EBC的一个法向量，且AM (0,1,1),n AMn AM设二面角A EBC的平面角为60二面角AEBC等于60.12 分19.解：(I)Tbnan12n，an2nbn1又.an2an 12n1,2nbn12(2n 1b1) 2n

12、即bnbn 11,n 2, nN，且b12c又an2nbn1 , an(n 1)2n1(n N )令 bn(n 1)2n且其前 n 项和为，2 2于是，椭圆的焦点坐标是F1( b,0), F2(b,0)，椭圆方程为 二yy12b2b2即x22y22b2设A(Xo，yo),B(X1，yJ,C(X2，y2)(1)若直线 AC 的斜率存在，则直线AC 的方程为y如(x b)X。b代入椭圆方程有：(3b22bx0)y22by(Xob)y b2y20从而| AF1I号疋If又|AF1I2| AF2I24c2即淫)22 4c2,解得e.2242(n)由、2e，得2c.122eb 32a .2a220.解：

13、(I)当 AC 垂直于 x 轴时,Tn2 2 3 224 23(n 1)2n2Tn2 223 23nn 1n 2 (n 1)210 分得Tn422232n(n 1)2n 12 (22n) (n 1)2n 12n 1(n 1)2n 12n12 分Tnn 2n1, Sn2* 1n.13 分|AF1|:|AF23:1由椭圆定义，有IAFJ IAF2I 2a所以y2b2y。3b22bxo于是1AF2Iy03b 2x0b2y2由韦达疋理得，yy22.10 分23b22bx0IF2CIy221同理可得(2)若直线仍有13b 2xo3b 2xo12 分解：(I)(n)当x所以f (x)max(川)当xAC 丄 x 轴，x0b3b 2b3b 2b2 % 15bf(x),0,综上所述,f (x),f(x)26(定值)f (x)为偶函数f (x)丄exx13 分1e(2x 1)时,f(0时,10当 n=1 时，要证(x)(0) 12