力学4-功和能pz

1、14 4 功和能功和能24.1 功功功：功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的力和力所作用的质点（或质元）的位移的 Fdrm 12L )2()1()2()1(12ddrFWW 功是标量，功是标量，rFdcos)2()1( 标量积。标量积。有正、负之分。有正、负之分。34.2 动能定理动能定理（kinetic energy theorem） 对质点，对质点，由牛顿第二定律，有由牛顿第二定律，有动能定理：动能定理：1212kkEEW 221vmEk 动能动能（对惯性系）（对惯性系） 对质点系，对质点系，有有动能定理：动能定理：12kkEEWW 内内外外（各质点位移不一定相同）。各质点位移不一定相

2、同）。注意：注意：内力虽成对出现，内力虽成对出现， 但内力功的和不一定但内力功的和不一定为零为零44.3 保守力保守力（conservative force） 一一. 定义定义这样的力称为这样的力称为保守力。保守力。(2)(1)L2L1r f m2d rL=L1+L2 m1 )2()1()2()1(ddrfrfL1L2 )2()1()1()2(ddrfrfL1L20d Lrf若若 为保守力，为保守力，f如果如果一对力的功与相对移动的路径无关，一对力的功与相对移动的路径无关，而只决定于相互作用物体的始末相对位置，而只决定于相互作用物体的始末相对位置，则：则：（此式也可作为（此式也可作为保守力的定

3、义）保守力的定义）5二二. 几种保守力几种保守力1.万有引力万有引力 rerGMmrd2)2()1( rrGMmrrd212 12rGMmrGMm 任何有心力任何有心力 都是保守力。都是保守力。rerf)(mrM f )2()1(12drfW对对d r(2)(1)r2r1rererrdd 62. 弹力弹力()fkx i 力是位置的单值函数一维运动时一维运动时x 对自然长度的增加量，对自然长度的增加量，k 弹簧的弹簧的劲度劲度（stiffness）。）。3. 重力重力(力的大小和方向都与位置无关力的大小和方向都与位置无关)三三. 非保守力非保守力 作功与路径有关的力作功与路径有关的力称为称为非保

4、守力。非保守力。 例如：例如： 摩擦力（耗散力）：摩擦力（耗散力）：滑动摩擦力作功恒为负；滑动摩擦力作功恒为负； 爆炸力：爆炸力：作功为正。作功为正。74.4 势能势能（potential energy） 利用保守力的功与路径无关的特点，可引入利用保守力的功与路径无关的特点，可引入一一. 系统的势能系统的势能 Ep1221保保WEEEppp 其势能的减少其势能的减少(增量的负值增量的负值)等于保守内力的功。等于保守内力的功。若规定系统在位形（若规定系统在位形（0）的势能为零，）的势能为零， 则：则： )0()1(1drfEp保保“势能势能”（只是空间位置的函数）（只是空间位置的函数） 的概念。

5、的概念。定义：定义：系统由位形系统由位形(1)变到位形变到位形(2)的过程中，的过程中，8说明：说明：零点的选择与参考系的选择相混淆。零点的选择与参考系的选择相混淆。二二. 几种势能几种势能1.万有引力势能万有引力势能CrGMmrEp )(令令 ， 0)( pE rGMmrEp )(有有则则 C = 0，1.势能属于相互作用的系统；势能属于相互作用的系统；2.势能不依赖于参考系的选择，势能不依赖于参考系的选择，不要将势能不要将势能92.重力势能重力势能CmghhEp )(令令， 0)0( pEmghhEp )( 3.弹性势能弹性势能 CkxxEp 221)( 221)(kxxEp 令令 ，0)

6、0( pE有有有有104.5 由势能求保守力由势能求保守力一一. 由势能函数求保守力由势能函数求保守力dl f保保 ml f保保l =f保保 cos pElfdd 保保plElfdd 保保lEfpldd 保保 ，例如弹性势能例如弹性势能221kxEp 所以有：所以有：kxkxxfx )21(dd2 则可得弹性力则可得弹性力11通常通常 EP 可以是几个坐标的函数，可以是几个坐标的函数，lEfpl 保保，保保xEfpx ， ),(zyxEEpp 若若则有：则有：）（保保kzEjyEixEfppp pE grad EP 的的梯度梯度（gradient）zEfpz 保保，保保yEfpy pE gra

7、d此时有：此时有：12zkyjxi 引引入入算算符符pEf 保保二二 . 由势能曲线求保守力由势能曲线求保守力rEp r0Or斜率斜率 = 0斜率斜率 0斜率斜率 0例：双原子分子势能曲线例：双原子分子势能曲线是引力。是引力。是斥力。是斥力。则有则有斜率斜率 0， r 0 ， fr r0 ：斜率斜率 = 0 ， fr = 0。r = r0 ：134.6 功能原理，机械能守恒定律功能原理，机械能守恒定律 一一. 功能原理功能原理对质点系有：对质点系有：12kkEEWW 内内外外内非内非内保内保内内WWW ）（）（内非内非外外1122pkpkEEEEWW 引入系统的引入系统的机械能机械能pkEEE

8、 功能功能原理原理12EEWW 内内非非外外（积分形式）（积分形式）EWWddd 内内非非外外（微分形式）（微分形式）内内非非WEEpp )(1214二二. 机械能守恒定律机械能守恒定律 （ law of conservation of mechanical energy）在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。常常量量，则则且且若若内内非非外外 EWW 0d0d即即 机械能守恒定律机械能守恒定律显然，显然，孤立的保守系统机械能守恒。孤立的保守系统机械能守恒。内内保保时时，当当WEEEpk 0W保内保内 015三三. 普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律

9、 如果考虑各种物理现象，计及各种能量，如果考虑各种物理现象，计及各种能量，则则 一个孤立系统不管经历何种变化，一个孤立系统不管经历何种变化， 系统所有能量的总和保持不变。系统所有能量的总和保持不变。 普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律 机械运动范围内的体现。机械运动范围内的体现。机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在 保守内力作功保守内力作功是系统是系统势能势能与与动能动能相互相互转化转化的手段和度量。的手段和度量。16四四.守恒定律联合应用举例守恒定律联合应用举例 例例1已知：已知：m = 0.2kg， M=2kg， v = 4.9m/s 。求：求：hma

10、x = ? 解：解：m + M + 地球：地球：W外外= 0，W内非内非 = 0 ， 当当 h= h max 时，时，M 与与 m有相同的水平速度有相同的水平速度 。V取地面取地面 Ep = 0，有：，有：)1()(2121max22mghEVMmEmpMpM v故机械能守恒。故机械能守恒。mvM光滑光滑 光滑光滑 hmax17gMmh211max2v 分析结果的合理性：分析结果的合理性： 量纲对。量纲对。gh22maxv 代入数据：代入数据：m11. 18 . 929 . 422 . 0112max h， 0Mm正确。正确。，2max21vmmgh 由由(1)、(2) 得：得：m + M：

11、水平方向水平方向F外外= 0，故水平方向动量守恒，故水平方向动量守恒 mv =（m+M）V(2)18l2 m O l 1v3v 4 l 5例例2分析荡秋千原理：分析荡秋千原理：m表示人的质心表示人的质心 12：人迅速蹲下，使有效人迅速蹲下，使有效 摆长摆长 由由 变为变为l ；Oml 23：对对（人（人+地球）系统，地球）系统，)cos1(212 mglmv（1）角动量守恒：角动量守恒： 34：人人对对O，0 外外Mlmlmvv （2） 45：对对（人（人+地球）系统，地球）系统，机械能守恒：机械能守恒： ) cos1(212 vlmgm（3）只有重力作功，机械能守恒：只有重力作功，机械能守恒

12、：19（1）、（）、（2）、（）、（3）联立解得：）联立解得：1cos1cos133 ll v 4 m O l 1v3 l 5l2， coscos 。 人越摆越高，能量从哪儿来？人越摆越高，能量从哪儿来？思考思考即人越摆越高。即人越摆越高。204.7 守恒定律的意义守恒定律的意义 物理学特别注意对守恒量和守恒定律的研究，物理学特别注意对守恒量和守恒定律的研究，这是因为：这是因为： 第一，从方法论上看：第一，从方法论上看：自然界中许多物理量自然界中许多物理量如动量、如动量、 角动量、角动量、 机械能、机械能、电荷、电荷、质量等等，质量等等， 都具有相应的守恒定律。都具有相应的守恒定律。利用守恒定

13、律研究问题，利用守恒定律研究问题，低速均适用。低速均适用。而对系统始、末态下结论而对系统始、末态下结论可避开过程的细节，可避开过程的细节，（特点、优点）。（特点、优点）。第二，从适用性来看：第二，从适用性来看：守恒定律适用范围广，守恒定律适用范围广，宏观、宏观、微观、微观、高速、高速、21 第三，从认识世界来看：第三，从认识世界来看： 守恒定律是认识世界的很有力的武器。守恒定律是认识世界的很有力的武器。 在新现象研究中，若发现某守恒定律不成立，则往往作在新现象研究中，若发现某守恒定律不成立，则往往作以下考虑：以下考虑： （1）寻找被忽略的因素，从而使守恒定律成立，）寻找被忽略的因素，从而使守恒

14、定律成立， 如中微子的发现。如中微子的发现。 （2）引入新概念，使守恒定律更普遍化）引入新概念，使守恒定律更普遍化(补救补救)。 （3）当无法补救时，则宣布该守恒定律不成立，）当无法补救时，则宣布该守恒定律不成立， 如弱相互作用如弱相互作用宇称宇称（parity）不守恒。不守恒。22 不论哪种情况，都是对自然界的认识上了新不论哪种情况，都是对自然界的认识上了新都能对人类认识自然起到巨大的推动作用。都能对人类认识自然起到巨大的推动作用。 第四，从本质上看：第四，从本质上看： 守恒定律揭示了自然界普遍的属性守恒定律揭示了自然界普遍的属性对称性。对称性。对称对称 在某种在某种“变换变换”下的不变性。

15、下的不变性。 每一个守恒定律都相应于一种对称性：每一个守恒定律都相应于一种对称性： 动量守恒动量守恒相应于相应于空间平移的对称性；空间平移的对称性； 能量守恒能量守恒相应于相应于时间平移的对称性；时间平移的对称性； 角动量守恒角动量守恒相应于相应于空间转动的对称性；空间转动的对称性；台阶。台阶。 因此守恒定律的发现、因此守恒定律的发现、推广、推广、 甚至否定，甚至否定，234.8 质心系中的功能关系质心系中的功能关系一一. 克尼希定理克尼希定理（Konig theorem）书）书P127S（惯性系）：（惯性系）：），（Civ v， 221iikmEv2)(21CikCmEv S （质心系）：（

16、质心系）：），（ iimv 0 0 iiCm vv 21 2iikmEvCiivvv 24可以证明，质心系中功能原理仍然成立：可以证明，质心系中功能原理仍然成立： d d dEWW 内非内非外外 EWW 内内非非外外二二. 质心系中的功能原理质心系中的功能原理（积分形式）（积分形式）（微分形式）（微分形式）) () (21212CiCiiiikmmEvvvvv 22)(21) (21CiCiiiimmmvvvv kCkkEEE 克尼希定理克尼希定理/025OiiirFrF d dCirFWd)( d 外外kCEWd d 外外内内非非外外内内非非外外WEWWWkCddd d d iirFWdd

17、外外 dddEEEpk miFiriOSvCrOvo= = vCOOSriCpkEEWWdddd 内内非非外外S系系 ：pkCkEEE ddd dd内内非非内内非非WW （内力成对出现）（内力成对出现） 证明证明 S 系：系：EWW 内内非非外外 （1）（2）（2）（1）26质心系中的功能原理成立，也可以简单地做如质心系中的功能原理成立，也可以简单地做如下的证明：下的证明：若质心系是惯性系，则功能原理必然成立。若质心系是惯性系，则功能原理必然成立。若质心系是非惯性系，则还需考虑惯性力的功。若质心系是非惯性系，则还需考虑惯性力的功。即：即：EWWW dddd惯惯内内非非外外设质心加速度为设质心加

18、速度为， Ca则则tmaramWiiiCiiCidd)(d）（惯惯v ）（ v 0 C0d tmaCCv于是有于是有EWW ddd内内非非外外EWW 内内非非外外27质心系中机械能守恒定律：质心系中机械能守恒定律：常常量量。，则则且且若若内内非非外外 EWW 0d0d守恒定律都与惯性系中形式相同。守恒定律都与惯性系中形式相同。三三. 质心系中两质点系统的动能质心系中两质点系统的动能惯性系惯性系 S： ，速速度度 v11m22v速速度度m212211mmmmC vvv221)(21CkCmmEv 不管质心系是否为惯性系，不管质心系是否为惯性系，功能原理和机械能功能原理和机械能28质心系质心系S

19、：kCkkEEE 221221121222211)(212121mmmmmmmm vvvv2122121)(21vv mmmm= 令令rvvv 12 相对速度相对速度 2121mmmm 约化质量约化质量(reduced mass)221 rkEv 则有则有292121 rkmEv ， 12mm 若若， 1m 则则例如对例如对物体（物体（m） 地球（地球（Me）系统：）系统：Me m，对对地地 vvmr 地球地球 物体物体质心系质心系中，地球和物体总动能为：中，地球和物体总动能为：222121 对对地地mrkmEvv 地球动能的道理。地球动能的道理。 = m，此即地心系中物体的动能，此即地心系中

20、物体的动能，这就是我们讨论这就是我们讨论地球地球 物体系统的物体系统的能量问题时，能量问题时， 可以不考虑可以不考虑30ermpmpe例例k为常量。为常量。已知：已知：质子间相互作用电势能为质子间相互作用电势能为， rek2求：求：二者能达到的最近距离二者能达到的最近距离 rmin解：解：分别以速率分别以速率v0 和和 2v0 相向运动。相向运动。势能之和守恒（忽略万有引力）势能之和守恒（忽略万有引力） 。能转化为静电势能。能转化为静电势能。min220)3)(2(21rekmp v202min94vpmker 两个质子从相距很远处两个质子从相距很远处两质子间只有保守内力作用，两质子间只有保守

21、内力作用， 动能和静电动能和静电在质心系中在质心系中两质子达到最近距离时，两质子达到最近距离时，全部动全部动314.9 碰撞碰撞（Collision）碰撞）等规律对问题求解。碰撞）等规律对问题求解。碰撞过程一般都十分复杂，难于对过程的碰撞过程一般都十分复杂，难于对过程的细节进行分析。细节进行分析。但是通常我们只关心物体在但是通常我们只关心物体在碰撞前后运动状态的变化，碰撞前后运动状态的变化，而在碰撞中相对于而在碰撞中相对于内力（往往是冲击力）来说，内力（往往是冲击力）来说， 外力又往往可以外力又往往可以忽略。忽略。因而碰撞中我们就可以利用动量守恒、因而碰撞中我们就可以利用动量守恒、角动量守恒角

22、动量守恒和碰撞前后总动能不变（对弹性和碰撞前后总动能不变（对弹性32两体对心碰撞（P130）vVuvVuCmvMVmvMVmM v 选质心速度为零的坐标系（质心系），并记相对速度：碰撞前后质心速度不变！(碰撞内力不改变质心的运动)得：uMmmVuMmMvuMmmVuMmMv和碰撞前后的动能为：222222121uMmmMeuMmmMEuMmmMEuue恢复系数=1 弹性碰撞=0 完全非弹性碰撞0-1之间：非弹性碰撞QEE热损失0 （能量向内部微观自由度转移）e不能比 1大！实验结果：e大致由材料确定。334.10 两体问题两体问题两物体在相互作用下的运动问题称两物体在相互作用下的运动问题称两体问