常用基本初等函数求导公式积分公式

1、(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)，(13)(14)(15)(16)函数的和、差、积、商的求导法则设，都可导，则( 1)( 2 ) (是常数)( 3)( 4)反函数求导法则若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且或复合函数求导法则设，而且及都可导，则复合函数的导数为或. 双曲函数与反双曲函数的导数.双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出=dx 2 x c x可以推出下表列出的公式:x a* * * * * xdx c,In a特别，exdx ex c(6)(10)(11)或(14)(1

2、5)(16)sin xdxcosx ccosxdx sin x c12dx sin xcsc2 x dxcot x c12dx cos x2,sec xdxtan x1 dx22a xx arcsin 一ac (a0),特别,1 dx arcsin x c1 x2-arctan 一c (a0),特别,17 dx arctan x c1 x2-2-dx a x-lln 2ac (a0)1 .1 . x a / 小7dx In c (a 0) x (a 0)22 ,x 22x a dx ：；x a 2 a22a x atan xdx In cosx ccot xdx In sin x ccscxd

3、x，dx sin xInInInsecxdx1 dx cosxIncscxx tan 一2secxcotxtan xxtan 2 41_, x2 a2dx(a 0)In(18)2a .In x2,(a 0) o2v y 2 2a _ x x _22_.a x dx arcsin . a x c2 a 2eax sin bxdx(19)axe cosbxdxasinbx bcosbx2.2a bbsin bx acosbxax e cax e cn切1、2：22、n1n 1。(递推公式)2(n 1)a (a x )2(n 1)a跟我做练习（一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某

4、一个积分公式例24含根式Jax2 bxc的积分 &4x 5 dxJ(x 2)2 1d(x 2)套用公式?J(x 2)2 1 ln (x 2) J(x 2) x x2 4x 5dx1 (2x 4) 4 x2 4x 5dx21 . x2 4x 5d(x224x5) 2x2 4x 5dx（请你写出答案）1dxx2 4x 5,(x 2)2d(x 2) ln (x 2) . (x 2)2 1 1套用公式/ x dxx2 4x 5(2x_4)_4 dxx2 4x 5d(x2 4x 5),x2 4x 52 ,2一5 dx（请你写出答案）5 4x x2dx32 (x 2)2d(x2) WarcsinU

5、23x22,32 (x 2)2(6)x 5 4x x2dx套用公式(4 2x) 4 5 4x x2dx 21 . 5 4x x2 d(5 4x x2) 25 4x x2 dx2 （请你写出答案）dx dx5 4x x2d(x 2)32 (x 2)2套用公式arcsin_23xdx5 4x x21"2(4 2x) 4 dx 1d(5 4x x2) ? dx. 5 4x x225 4x x2. 5 4x x2（请你写出答案）例25求原函数11 x4dx.解因为4一 24- 22 21 x4 (1 2x2 x4) 2x2 (1 x2)2(、.2x)2 (1 2xx2)(1 < 2xx

6、2)所以令11 x4Ax Bx22x 1Cx Dx22x 1（A,B,C,D为待定常数）(AxB)(x22x 1) (Cx D)(x22x 1)x2. 2x 1 x2 , 2x 1从恒等式(Ax B)(x22x 1) (Cx D)(x2V2x 1） 1 （两端分子相等），可得方程组A .2B,2A BB D 1 （常数项）C V2D 0 （一次项系数）V2C D 0 （二次项系数）A C 0 （三次项系数）.-1111解这个方程组（在草纸上做），得A -=,B 1,C-=,D -.因此,2.222.2211_1_J二 dx2422 dx :近 1_ 2x2 dx 1(2x.2)2dx 1(2x

7、2)dx1 x22x 14/2 x2, 2x14.2x22x 14 dx1 x4x22x 1x22x 1x2 9x 1”1d(x22x 1) 14.2x22x 1412 2x 22 dx（套用积分公式12右端的第一个积分为1 C1ln(x2 2x 1) arctan(. 2x 1)4 22.2类似地，右端的第二个积分为1 22x ；、2x2dx 1=ln(x2. 2x 1) =arctan( 2x 1)4,22,2所以11x2 - 2x 11-1一zdx=ln _=arctan(、2x 1) =arctan( 2x1 x44,2x22x 1 2.22.21)1 . x2.2x 11. 2x尸I

8、n 丁= -尸arctan2 (见下注)4,2 x2. 2x 1 2.21 x2【注】根据tan( ) -tantan一，则1 tan tantan arctan(，、2x 1) arctan( 2x 1)(.2x 1)晨 2x 1)2、2x、2x1 ( .2x 1)(、2x 1) 2(1 x2) 1 x2因此，例26 求arctand 2x1)arctan(. 2x1) arctan,2xdx rx(01).关于dx(0 cosx1),见例17tan 4(半角替换)，则2cosxX - 22 smX - 22 x 222cos2 1 1 12sec2 -1 tan2-1 t21 t2dx d

9、(2arctan t)t2dtdx1 cosx于是,dt2dt(1 )-(1 1t2121 xc arctantan- c12,122【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数 y y(x)的导数或微分可以用一个“构造性”的公式y(x h) y(x)y (x) lim -d- 或 dy y (x)dxh 0 h确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算,其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如sin x 笺dx等 xxe x2dx,1 .e .dx, dx,In xx都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难.尽管如.因此,得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分 此，我们毕竟