第五章刚体和流体

1、第五章刚体和流体5-1作定轴转动的刚体上各点的法向加速度，既可写为an= v2 /R，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R成反比；也可以写为an= . 2 R,这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R成正比。这两者是否有矛盾？为什么？解没有矛盾。根据公式 an =v2/R，说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距 离R成反比，是有条件的，这个条件就是保持v不变；根据公式an = 2R，说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R成正比，也是有条件的，条件就是保持不变。5-2 一个圆盘绕通过其中心并与盘面相垂直的轴作定轴转动，当圆盘分别在恒 定角速度和恒定角加速度两种情况下转

2、动时，圆盘边缘上的点是否都具有法向加速 度和切向加速度？数值是恒定的还是变化的？解(1) 当角速度一定时，切向速度V也是一定的，所以切向加速度atdvdt即不具有切向加速度。而此时法向加速度2 2 2V R 灼2OanR ,R R可见是恒定的。d-.(2) 当角加速度一定时，即:-恒定，于是可以得到dt这表示角速度是随时间变化的。由此可得v =R = IRt .切向加速度为atdvdt这表示切向加速度是恒定的。法向加速度为2v 22an2Rt2,R显然是时间的函数5-3原来静止的电机皮带轮在接通电源后作匀变速转动，30s后转速达到152rad s1 °求：(1)在这30 s内电机皮带

3、轮转过的转数；(2)接通电源后20 s时皮带轮的角速度；(3)接通电源后20 s时皮带轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度，已知皮带轮的半径为5.0 cm °解(1) 根据题意，皮带轮是在作匀角加速转动，角加速度为51 rad s"2.t在30 s内转过的角位移为11t2 t =2.3 103 rad .22在30 s内转过的转数为:r2n3.6 10 转.2 -：(2) 在t = 20 s时其角速度为2 1 = : t =1.0 102 rad s .(3) 在t = 20 s时，在皮带轮边缘上 r = 5.0 cm处的线速度为v = r =5.1 ms，切向加速

4、度为at = : t =0.25 m s'2 ,法向加速度为2 2-2an =，r =5.110 m s .5-4 一飞轮的转速为250 rads，开始制动后作匀变速转动，经过 90 s停止求开始制动后转过 3.14 103 rad时的角速度。解飞轮作匀变速转动，0 =250 rad s，经过90 s, =0，所以角加速度为0 =28 rad s"2.t从制动到转过，：-=3.14 103 rad，角速度由-0变为应满足2 =时02 _2皿.所以蔦:02 一2：=2.1 102 rad s5-5 分别求出质量为 m = 0.50 kg、半径为r = 36 cm的金属细圆环和薄

5、圆盘相对 于通过其中心并垂直于环面和盘面的轴的转动惯量；如果它们的转速都是105rads丄，它们的转动动能各为多大？解(1) 细圆环：相对于通过其中心并垂直于环面的轴的转动惯量为2_22_22J 二 R m 二(36 10 ) 050 kg m =65 10 kg m ,转动动能为1 2 2 Ek = J 36 ：10 J .(2) 相对于通过其中心并垂直于盘面的轴的转动惯量为J = r2 dm = J r2 2 汀；dr =1R4；:.- =*mR2 =3210 kg m2 ,转动动能为1 2 2 Ek J1.8 10 J .25-6 转动惯量为20 kg m2、直径为50 cm的飞轮以10

6、5 rads丄的角速度旋转 现用闸瓦将其制动，闸瓦对飞轮的正压力为400 N，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求：(1) 闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩；(2) 从开始制动到停止，飞轮转过的转数和经历的时间；(3) 摩擦力矩所作的功。解(1)闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩的大小为M = fR =NR =50 N m.(2)从开始制动到停止，飞轮的角加速度：可由转动定理求得Mq2.5 rad s ,J根据-202 -2 一:肿,所以飞轮转过的角度为,-'021052一 2 ：_2 2.53rad = 2.2 10 rad ,飞轮转过的转数为n35 102 转.2兀因为所以飞轮从开始制动到停止所经

7、历的时间为©0t42 s .a(3)摩擦力矩所作的功为6- -M ' = -1.11055-7所示。如果图5-75-7 轻绳跨过一个质量为 M的圆盘状定滑轮，其一端悬挂一质量为m的物体,另一端施加一竖直向下的拉力F，使定滑轮按逆时针方向转动，如图滑轮的半径为r,求物体与滑轮之间的绳子张力和物体上升的加速度。 解取定滑轮的转轴为 z轴，z轴的方向垂直与纸面并指向读者。 根据牛顿第二定律和转动定理可以列岀下面的方程组Fr -T r = J :,T -mg =ma,T =，a - : r .其中 =mr2，于是可以解得2一 2(F -mg)M +2m丄 m(Mg +2F)T =mg 亠maM -+2m5-8一根质量为 m、长为I的均匀细棒，在竖直平面内绕通过其一端并与棒