高三数学 不等式的性质复习 人教大纲版

1、.1名师课堂辅导讲座名师课堂辅导讲座高中部分高中部分.2学习内容：1、不等式的性质(1)ab a-b0 a=b a-b=0ab a-bb bb, bc ac(4) ab , cR a+cb+c(5)ab, c0 acbc ab, c0 acb0 (nN*且n1)a+bc ac-bab,cd a+cb+dab0,cd0 acbd 可推广为：a1a2an0, b1b2bn0 a1b1a2b2anbn0ab0 anbn(nN*且n1) nnba .42不等式证明常用方法比较法 综合法 分析法 换元法 反证法 放缩法利用函数单调性注：以上这些方法基本方法，是辅助证明方法。 比）作商比较（与比）作差比较

2、（与10.53不等式证明的依据不等式的性质均值定理：i若a,bR，则a2+b22ab（当且仅当a=b时取等号）若a,bR+,则a+b2 （当且仅当a=b时取等号）若a,b,cR+，则a3+b2+c33abc（当且仅当a=b=c时取等号）若a,b,cR+，则a+b+c3 （当且仅当a=b=c时取等号）柯西不等式： , ab3abc2222baba33222cbacba.6学习要求 1掌握不等式的性质及不等式证明的三种基本方法：比较法、综合法、分析法 2初步学会运用重要定理证明不等式.7学习指导 1本讲重点：不等式的性质及应用 不等式的证明 2本讲难点；不等式的证明方法 3剖析：不等式的证明是本讲

3、的难点，突破难点的关键是观察不等式的特点，从已知条件入手，结合所证的结论来寻求证题的途径。 .8典型例题解析例1对于实数，判断下列命题的真假：若ab，则acbc（假）若ab，则ac2bc2（假）若ac2bc2，则ab（真）若ababb2（真） 若aba+b证明：（方法一）(a-1)20,(b-1)20,(a+b)20但这三个式子的等号不能同时成立a2+b2+1+ab-a-b0 a2+b2+ab+1a+b2222222112122222221.1bababaabbabaabba.11（方法二）记 y=a2+b2+ab+1-(a+b)=a2-(1-b)a+b2+b+ay0 a2+b2+1+ab-a

4、-b0a2+b2+ab+1a+b0383133231412222bbbbbb.12例4设0a1a2a3an，记 求证：An-1An(n2)证明： 00 An-An-10 An-1AnnaaaAnn211121211naaanaaaAAnnnn 13211212111111nnnnnnnaaaaaaaannaaanaaannn.13例5已知a0、b0、nN*,求证：(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1)证明： (1)当ab0时,anbn a-b0,bn-an0 (a-b)(bn-an)a0时,a-ban bn-an0 (a-b)(bn-an)0时,a-b=0 (a-b)(bn-an)=

5、0 (a-b)(bn-an)0综上:(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1)()()(22)(2)(11111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnabbabaabababababbabbaababababa.14 例 6 已 知 a 、 b 、 c 为 互 不 相 等 的 正 数 ， 求 证 ：a2ab2bc2cab+cba+cca+b证明：a、b、c互不相等 不妨设abc0，则 , , bcacabcbcababacacbcbacbacbacba222cbcababcacabcbcabacbcabaccbbaa1222bacacbcbacbacbabacacbcbacbacba

6、2221baba1caca1cbcb.15abccbabaaccb222222abccbabaaccb222222例7求证： (a,b,cR+) 证明：b2c2+c2a22abc2 a2c2+a2b22a2bc a2b2+b2c22ab2c +得：a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c) 又a、b、c为正数 a+b+c0 .16例8已知0ab1，求证： 证明：易证 同理 +得：原式成立 22111122222222babababa2222babababa2222baba122122baba122122baba11221122222222221111babababa22111122bab

7、aba.17例9若a、b、c均为正数且a+b+c=1，求证： 证明：a+b+c=1 a、b、c正数 abc abc 271abc9111cba27111222cba31222cba29111accbba271)31()3(33cba271.1833 abccba313111abccba339133)111)(abcabccbacba9111cba（方法一）a、b、c为正数 又a+b+c=1 .19（方法二） 9111922233111)111)(1111cbacbbccaacbaabcbbccaacbaabcbcabcbaacabccbabcbaacbacbacbacbacba.2027331

8、3)()(111(111333222222222abcabccbacbacbacbacba a2+b22ab b2+c22bc a2+c22ac2(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ac3(a2+b2+c2)a2+b2+c2+2ab+2ca+2bc a+b+c=1a+b+c=1 原式成立 2222)(31cbacba31222cba accbbaaccbbaaccbbacbaaccbba11121111111291332133accbbaaccbba.213cbacbacba323cba022cabcabcba0)()()(222accbba例10 a、b、c是正数且a+b+c=1，求证：证

9、明：a+b+c=1要证：只需证：即证：即证： 上式显然成立，故原式成立。 .22)1 ()1 ()2()1 ()(12222222xxxxbababxaxbaxbxa011)1 ()1 (2)1 (22222xxxbaxxxabxxbxax222)(1baba222)(1baba例11已知：0 x1,求证： 证明：（方法一）0 x1 01-x1 =（方法二）0 x1 设x=sin2，则1-x=cos222222222222222222222tancot2seccsccossin1baabbabababababa222)(1baba.23212122aaaa2121aataa21222taa2222tt22224422222222tttttt42242222222ttttt例12已知aR+，求证：证明：令 则原不等式 t2成立 t24 原式成立 .242221baba2221cbcb2221acac3222213accbba例13求证：已知0a,b,c1,b(2-c)1,c(2-a)10a,b,c0,2-c0,2-a0 +得：33矛盾 故原式成立 .25cbacacababa222222222222432432acaabacacababacbacabacaba22)2(