高三数学 《空间向量的应用》 新人教A版

1、 _()_( )= ,_112lAlllABlPt 线这条线对应线显条线个线应线间线线点线点线则对线点线实数这样应直直的的方方向向向向量量就就是是指指和和直直所所或或共共的的向向量量，然然一一直直的的方方向向向向量量可可以以有有直直方方向向向向量量的的用用利利用用直直的的方方向向向向量量，可可以以确确定定空空中中的的直直和和平平面面若若有有直直，是是直直上上一一，向向量量 是是 方方向向向向量量，在在直直上上取取于于直直上上任任直直的的方方向向向向量量及及其其用用意意一一，一一定定存存在在，使使得得，aa平平行行无数无数APtAB Aall点 和向量 不仅可以确定 的位置，还可具体表示出 的任

2、意点( )()_aaOabPaxyOPOabaa 空间中平面 的位置可以由 上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点 ，它们的方向向量分别是 和 ， 为平面 上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对， ，使得，这样，点与方向向量 ， 不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出 上的任意点xyab 1_2_2_AaaA所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平 面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有 个，它们都是向量在空间中，给定一个点 和一点向量 ，那么以向量 为法向量且平面的法向经过点 的平面是量确定的无数 共线 唯一 问题：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 设出平面的法向

3、量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,) 3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 单位法向量。nxyz解：设平面的法向量为（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz 则，（ ， ， ），（ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n 12 2 (-33 3ABC求平面的单位法向量为， ，）lmabml /baba /3.直线的方向向

4、量与平面的法向量在判断直线、直线的方向向量与平面的法向量在判断直线、平面位置关系中的应用平面位置关系中的应用 lua /l0 uaua1e12e2.如果平面如果平面外的直线外的直线a的方向向量为的方向向量为a，e1、e2是是平面平面的一组基底的一组基底(不共线的向量不共线的向量)，则，则a_ u v /vuvu /lamb ml0 baba l uuaua /la如果直线如果直线a的方向向量为的方向向量为a，e1、e2是平面是平面的的一组基底一组基底(不共线的向量不共线的向量)，则，则a ae10且且ae20. u v 0 vuvu设平面设平面的法向量为的法向量为n，e1、e2是平面是平面的一

5、组的一组基底基底(不共线的向量不共线的向量)，则，则n1e12e2.11111111 ABCDA B C DMNC CB CMN/A B . D如图所示，在正方体中，、 分别是、的中点，求证：平面例题型一 利用空间向量证明平行问题11DDADCDDxyz111M(0,1)N(1,1)22D 0,0,0A 1,0,1B 1,1,01 ：如图所示，以 为原点，、所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 ，则可得， ， ， 证明，方法，1111MN(0) DA1,0,1 DB1,1,022A BDn(xyz)xz0DA0DB0 xy0 x1y1z1(111) 于是， ， ，设

6、平面的法向量是， ， 则，且，可得取，得，所以， ，nnn方法方法2 2：111MN / /DAMNA BDMN / /A BD. 所以，又因为平面，所以平面1111MN(0) (111)0MN.22MNA BDMN / /A BD.nn Z Z又， ， ，所以又因为平面，所以 PABCDABCBCD90ABBCPBPC2CDPBCABCD.PABDPADPAB.12 如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，侧面底面证明：；平面平 面 例2题型二 利用空间向量证明垂直问题 BCO.PBCABCDPBCPOABCD.1取的中点 因为平面平面，为等边三角形，所以底面证明： BCOBCxOAByOPz

7、CD1ABBC2PO3.以的中点 为坐标原点，以所在直线为 轴，过点 与平行的直线为 轴，直线为 轴，如图所示，建立空间直角坐标系不妨设，则， A(12,0)B 1,0,0D( 11,0)P(0,03)BD1, 2,0 ,PA1, 2,3BD PA21120(3)0PABD.PABD. 所以， ，所以，所以，所以 所以 13PAMDMM( , 1)2233DM(0)(1,03) PB(1,03)2233DM PA102(3)022DMPADMPA.2 取的中点，连接，则，因为， ，所以，所以，即33DM PB100(3)022DMPBDMPB.PAPBPDMPAB.DMPADPADPAB 又，

8、所以，即又因为，所以平面因为平面，所以平面平面评析：评析：直线与直线垂直，只需证明它们的方直线与直线垂直，只需证明它们的方向向量的数量积为向向量的数量积为0；直线与平面垂直，只；直线与平面垂直，只需证明直线的方向向量和平面的法向量共线需证明直线的方向向量和平面的法向量共线，或证明直线的方向向量与平面内两条相交，或证明直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直；平面与平面垂直，只直线的方向向量垂直；平面与平面垂直，只需证这两个平面的法向量的数量积为需证这两个平面的法向量的数量积为0. 练习：练习： 正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E、F F分别是分别是BBBB1 1、CDCD的中点的中点. .（1 1）证明）证明: :平面平面AEDAED平面平面A A1 1FDFD1 1; ;（2 2）在）在AEAE上求一点上求一点M M，使得，使得A A1 1 M M 平面平面AEDAED则DA DE证明：建立如图所示的空间直角坐标系D-xy不妨设正方体的棱长