第10章 剪切和扭转

1、建筑力学建筑力学第第10章章 剪切和扭转剪切和扭转2受力特点：受力特点： 作用于构件两个侧面上且与构件轴线垂直的外力，可以简作用于构件两个侧面上且与构件轴线垂直的外力，可以简化成大小相等，方向相反，作用线相距很近的一对力，使构件化成大小相等，方向相反，作用线相距很近的一对力，使构件两部分沿剪切面有发生相对错动的趋势。两部分沿剪切面有发生相对错动的趋势。 变形特点：变形特点： 以两力以两力F之间的横截面为分界面，构件的两部分沿该面发之间的横截面为分界面，构件的两部分沿该面发生相对错动。生相对错动。剪切变形的定义：剪切变形的定义：具有上述两个特点的变形，即为剪切变形具有上述两个特点的变形，即为剪切

2、变形10101 1 剪切的概念及实例剪切的概念及实例3销轴连接销轴连接4平键连接平键连接10102 2 连接接头的强度计算连接接头的强度计算一、连接件的受力特点和变形特点：一、连接件的受力特点和变形特点：1 1、连接件、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件连接件。例如：。例如：螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。 特点：可传递一般力，特点：可传递一般力， 可拆卸。可拆卸。PP螺栓2 2、受力特点和变形特点：、受力特点和变形特点：nn（合力）（合力）PP以铆钉为例：以铆钉为例：受力特点：

3、受力特点： 构件受到一对相距很近、等值构件受到一对相距很近、等值反向的横向力作用。反向的横向力作用。变形特点：变形特点： 受到一对反向力作用的相邻截受到一对反向力作用的相邻截面间发生相对错动。面间发生相对错动。nn（合力）（合力）PP剪切面：剪切面： 发生相互错动或有错动趋势的发生相互错动或有错动趋势的平面，如平面，如n n 。剪切面上的内力：剪切面上的内力： 内力内力 剪力剪力Fs ，其作用线与，其作用线与剪切面平行。（用截面法来求）剪切面平行。（用截面法来求）PnnFs剪切面单剪切：构件上有一个剪切面。单剪切：构件上有一个剪切面。双剪切：构件上有两个剪切面。双剪切：构件上有两个剪切面。 0

4、X根据0 PFsPFs 8二、简单铆接接头二、简单铆接接头搭接接头搭接接头FFbFFd9FFbFFd破坏形式：破坏形式：（1）铆钉沿横截面剪断）铆钉沿横截面剪断剪切破坏剪切破坏；（2）铆钉与板孔壁）铆钉与板孔壁 相互挤压相互挤压 而在铆钉柱表面和板而在铆钉柱表面和板孔壁柱面发生显著的塑性变形孔壁柱面发生显著的塑性变形挤压破坏挤压破坏；（3）板在钉孔位置由于截面削弱而被拉断）板在钉孔位置由于截面削弱而被拉断拉断破坏拉断破坏；1 1、剪切的实用计算、剪切的实用计算实用计算方法：受剪切件，实用计算方法：受剪切件， 一般为短粗件，一般为短粗件， 其受力、变形复其受力、变形复 杂，难以简化成简单的计算模

5、型，杂，难以简化成简单的计算模型， 切应力在截切应力在截 面上分布规律很难确定，为简化计算，假设剪面上分布规律很难确定，为简化计算，假设剪 应力在截面上均匀分布。应力在截面上均匀分布。许用切应力确定：通过剪切实验，使试件的受力尽可能类似于许用切应力确定：通过剪切实验，使试件的受力尽可能类似于 实际零件受力情况，加载至剪断，得到破坏实际零件受力情况，加载至剪断，得到破坏 时的极限应力。除以安全系数。时的极限应力。除以安全系数。塑性材料： t = （ 0.6 0.8 ） s 脆性材料： t = （ 0.8 1.0 ） s 1、剪切面-A ： 错动面。 剪力-Fs： 剪切面上的内力。AFst2、名义

6、切应力-t：3、剪切强度条件（准则）： ttAFs njxtt:其中nn（合力）（合力）PPPnnFs剪切面工作应力不得超过材料的许用应力。用剪切强度条件也可解决三类强度问题(强度校核,截面设计,确定许可载荷).（1 1）挤压力）挤压力F ：接触面上的压力合力：接触面上的压力合力。连接件除承剪外连接件除承剪外,接触面上还有相互压紧接触面上还有相互压紧.挤压：构件局部面积的承压现象。挤压：构件局部面积的承压现象。当挤压力过大时当挤压力过大时,可能使构件产生显著的局部塑性变形可能使构件产生显著的局部塑性变形,使连接松动使连接松动,影响其牢固性影响其牢固性.假设：挤压应力在有效挤压面上均匀分布。假设

7、：挤压应力在有效挤压面上均匀分布。2 2、 挤压的实用计算挤压的实用计算（2 2）有效挤压面积（计算挤压面积）：接触面（实际挤压面）有效挤压面积（计算挤压面积）：接触面（实际挤压面） 的正投影面面积。的正投影面面积。bsbsbsAFss（3 3）挤压强度条件（准则）：）挤压强度条件（准则）： 工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力。工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力。有效挤压 面积dtAbs14 例题例题10-1一销钉连接如图一销钉连接如图所示，所示，已知外力已知外力 F=18kN,被连接的构件被连接的构件A 和和 B 的厚度分别为的厚度分别为 t=8mm 和和t t1 1=5mm ,销钉

8、直径销钉直径 d=15mm ,销钉材料的许用销钉材料的许用切切应力为应力为 t t = 60MPa , ,许用挤压应力为许用挤压应力为 s sbSbS = 200MPa .试校核销钉的强度试校核销钉的强度.t1FFAtt1Bd15t1FFAtt1Bd解解: (1)销钉受力如图销钉受力如图b所示所示d2F2FF剪切面剪切面16d2F2FF挤压面挤压面FFSFS(2)校核剪切强度校核剪切强度2 2FFS 由截面法得两个面上的由截面法得两个面上的剪力剪力剪切面积为剪切面积为4 42 2dA t tt t MPa5151AFS(3)挤压强度校核挤压强度校核这两部分的挤压力相等，故应取长度这两部分的挤压

9、力相等，故应取长度为为t的中间段进行挤压强度校核的中间段进行挤压强度校核.1 12 2tt bsbsbsMPas ss s 150150tdFAF故销钉是安全的故销钉是安全的.剪切面剪切面17（4） 铆钉组承受横向荷载 FFFF在铆钉组的计算中假设：在铆钉组的计算中假设： 1 1）无论铆接的方式如何，均不考虑弯曲的影响。）无论铆接的方式如何，均不考虑弯曲的影响。 2 2）若外力的作用线通过铆钉组横截面的形心，且）若外力的作用线通过铆钉组横截面的形心，且同一组内各铆钉的直径相同，则每个铆钉的受力同一组内各铆钉的直径相同，则每个铆钉的受力也相同。也相同。 每个铆钉的受力为：每个铆钉的受力为： nF

10、F 118两个剪切面FFFF一个剪切面一个剪切面 1bsbssstt；、校核强度： 2bsbsFAFsAst；、设计尺寸： 3bsbsAFAFsst；、设计外载：应用应用203、拉伸强度计算、拉伸强度计算名义拉应力：名义拉应力：tNtAF s s At =（b- d )拉伸强度条件：拉伸强度条件： ttNtAFs ss s FFN = F解：解：受力分析如图受力分析如图例例10-2 一铆接头如图所示，受力一铆接头如图所示，受力P=110kN，已知钢板厚度为，已知钢板厚度为 t=1cm，宽度，宽度 b=8.5cm ，许用应力为，许用应力为s s = 160M Pa ；铆钉的直；铆钉的直径径d=1

11、.6cm，许用切应力为，许用切应力为t t= 140M Pa ，许用挤压应力为，许用挤压应力为s sbs= 320M Pa，试校核铆接头的强度。（假定每个铆钉受力相，试校核铆接头的强度。（假定每个铆钉受力相等。）等。） 4PFFsbPPttdPPP11 2233P/4钢板的2-2和3-3面为危险面切应力和挤压应力的强度条件 ttMPa8 .136106 . 114. 3110722dPAFs ssMPa7 .15510) 6 . 125 . 8 (41103)2(4372dbtPbsbsbstdPAFssMPa9 .171106 . 11411047 ssMPa4 .15910) 6 . 15

12、 . 8 (1110)(73dbtP综上，接头安全。ttdPPP11 2233P/42310-3 扭转的概念与工程实例扭转的概念与工程实例 作用于杆件上的外力，为两个大小相等、方向相反、且作作用于杆件上的外力，为两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶时，杆件中任意两个横截面即会用平面垂直于杆件轴线的力偶时，杆件中任意两个横截面即会发生绕杆件轴线相对转动，这种形式的变形就称为扭转变形。发生绕杆件轴线相对转动，这种形式的变形就称为扭转变形。 FFM一、引例一、引例二、概念二、概念受力特征：受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用

13、面垂直于轴线。面垂直于轴线。变形特征：变形特征：横截面绕轴线转动。横截面绕轴线转动。24纵线纵线轴线轴线外力特点外力特点：平衡力偶系作用在垂直于杆轴线的平衡力偶系作用在垂直于杆轴线的 平面内平面内.变形特点变形特点：各横截面绕杆轴线作相对转动。各横截面绕杆轴线作相对转动。TT25任意两截面间相对转动的角度任意两截面间相对转动的角度以扭转变形为主要变形的受力杆件以扭转变形为主要变形的受力杆件轴轴.圆形截面的扭转构件圆形截面的扭转构件圆轴圆轴.杆的纵线也转过一角度杆的纵线也转过一角度剪切角剪切角。扭转角扭转角,地质勘探中的钻杆等。地质勘探中的钻杆等。工程实例工程实例:。 机器中的传动轴机器中的传动

14、轴;。如如 ；纵线纵线TT轴线轴线2610.3.2. 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在外力偶在t 秒钟内所作功等于外力偶之矩秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以乘以轮在轮在t 秒钟内的转角秒钟内的转角a a 。27 因此，外力偶因此，外力偶Me每秒钟所作功，每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为即该轮所传递的功率为333106021010minrmNesradmNesradmNekw nMMtMPa 因此，在已知传动轴的转速因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个亦即传动轴上每个轮的转速轮的转速)和主动轮或从动轮所

15、传递的功率和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：minrkw3minr3kwmNe1055. 926010nPnPM 28功率、转速与功率、转速与外力偶矩的关系外力偶矩的关系当功率当功率P为千瓦（为千瓦（kW），转速），转速n为为: 转转/分（分（r/min） 2609.55(kNm)PPPTnn29 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩扭矩，用符号用符号T表示。表示。eMT 扭矩大小可利用扭矩大小可利用截面法截面法来确定。来确定。11TTMe Me AB11BMe AMe

16、11x10.3.3 扭矩的计算与扭矩的计算与 扭矩图扭矩图30扭矩的符号规定扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定按右手螺旋法则确定: :扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。 仿照轴力图的做法，可作仿照轴力图的做法，可作扭矩图扭矩图，表明沿杆，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。轴线各横截面上扭矩的变化情况。TTTTT (+)T (-)31eMT 11TTMe Me AB11BMe AMe 11xMeT 图图+32例例 10-3 一传动轴如图，转速一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮主动轮输入的功率输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功

17、率分，三个从动轮输出的功率分别为：别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。 33首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩mkN9 .15mN)3005001055. 9(31MmkN78. 4mN)1001501055. 9(332 MMmkN37. 6mN)3002001055. 9(34M解：解：221133M1 M2 M3 M4 ABCD34分别计算各段的扭矩分别计算各段的扭矩mkN78. 421MTm9.56kN322MMTmkN37. 643 MT221133M1 M2 M3 M4 ABCD

18、T111xM2AT2AM2 BM3 22xT333DM4 x35扭矩图扭矩图Tmax = 9.56 kNm 在在BC段内段内M1 M2 M3 M4 ABCD4.789.566.37T 图(kNm)3610-4 圆轴扭转时的应力和强度条件圆轴扭转时的应力和强度条件 一、圆轴扭转时的应力一、圆轴扭转时的应力 对一个受扭的材料，我们要想知道它到底能承受多大的对一个受扭的材料，我们要想知道它到底能承受多大的外载作用，首先必须知道其内部的应力分布规律，只有知道外载作用，首先必须知道其内部的应力分布规律，只有知道了其内部的分布规律后才能够较易地找出其内部的最大应力，了其内部的分布规律后才能够较易地找出其内

19、部的最大应力，从而确定这种材料适合于什么样的工程，能够经受什么样的从而确定这种材料适合于什么样的工程，能够经受什么样的载荷。载荷。 在这里应力分析属于静不定问题，须综合研究几何、物理在这里应力分析属于静不定问题，须综合研究几何、物理和静力学三个方面。由变形几何条件得到变形变化规律，再由和静力学三个方面。由变形几何条件得到变形变化规律，再由物理条件得到应力变化规律，最后由静力学平衡条件得到应力物理条件得到应力变化规律，最后由静力学平衡条件得到应力计算公式。计算公式。371、变形几何关系：、变形几何关系：（1）圆轴扭转的平面假设：）圆轴扭转的平面假设： 圆轴的扭转变形实验：同薄壁圆筒的扭转相似，在

20、圆轴表圆轴的扭转变形实验：同薄壁圆筒的扭转相似，在圆轴表面上作纵向线和圆周线，如图所示：面上作纵向线和圆周线，如图所示：38 实验结果：各圆周线绕轴线相对的旋转了一个角度，但大小，实验结果：各圆周线绕轴线相对的旋转了一个角度，但大小，形状和相邻两圆周线之间的距离不变，在小变形的情况下，各纵形状和相邻两圆周线之间的距离不变，在小变形的情况下，各纵向线仍近似的是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度，变形前，向线仍近似的是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度，变形前，圆轴表面的方格，变形后扭歪成菱形。圆轴表面的方格，变形后扭歪成菱形。 结论：结论：圆轴变形前的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大圆轴变形

21、前的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线，且相邻两截面间的距离不变。小不变，半径仍保持为直线，且相邻两截面间的距离不变。 圆轴扭转的基本假设：圆轴扭转的基本假设：平面假设平面假设推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。392. 横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律 xEGGGddtan 即即xdd bbTTO1O2d GGDDaadxAEEAO1Dd DGGO2d/2dx40 xdd 式中式中 相对扭转相对扭转角角 沿杆长的变化率，常沿杆长的变化率，常用用 来表示，对于给定的

22、来表示，对于给定的横截面为常量。横截面为常量。xdd 可见，在横截面的同一半径可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处的圆周上各点处的切应变的切应变 均相同；均相同； 与与 成正比，且发生在与半成正比，且发生在与半径垂直的平面内。径垂直的平面内。bbTTO1O2d GGDDaadxAE41xGGdd t t (2) 物理方面物理方面由剪切胡克定律由剪切胡克定律 t t = G 知知 可见，在横截面的同一半径可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点的圆周上各点处的切应力处的切应力t t 均相同，其值均相同，其值 与与 成正比，其方成正比，其方向垂直于半径。向垂直于半径。42ppITGITG t t

23、 其中其中 称为横截面的称为横截面的极惯性极惯性矩矩Ip(单位单位:m4)，它是横截面的几，它是横截面的几何性质。何性质。 AAd2 (3) 静力学方面静力学方面 dTAA tt从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式上任一点处切应力计算公式pddGITx 以以 代入上式得：代入上式得： AAId2p TAxGA ddd 2 即即43pppmaxWTrITITr t tpIT t t 式中式中Wp称为称为扭转截面系数扭转截面系数，其单位为其单位为 m3。横截面周边上各点处横截面周边上各点处( = r)的的最大切应力为最大切应力

24、为44(1) 实心圆截面实心圆截面.圆截面的极惯性矩圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数和扭转截面系数Wp162/3ppddIW 32d24203dd AAId2p 45(2)空心圆截面空心圆截面 DdDdDAIDdA a aa a 其中其中44442232p13232 d2d 4344pp116162/a a DDdDDIW462 2. 强度条件强度条件maxt tt t 此处此处t t为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即pmaxt t WT 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面

25、上的拉截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。切应力和许用切应力来表达强度条件。47 图示阶梯状圆轴，图示阶梯状圆轴，AB段直径段直径d1=120 mm，BC段段直径直径d2=100 mm。扭转力偶矩。扭转力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的许用切应力材料的许用切应力 t t 80 MPa。试校核该轴的强度。试校核该轴的强度。例题例题 10-4481. 绘扭矩图绘扭矩图解：解：49AB段内段内 MPa8 .64Pa108 .64 m1

26、012016mN102263331p1max, 1 WTt t2. 分别求每段轴横截面上的最大切应力分别求每段轴横截面上的最大切应力50BC段内段内 MPa3 .71Pa103 .71 m1010016mN101463332p2max,2 WTt t2. 求每段轴的横截面上的最大切应力求每段轴的横截面上的最大切应力513. 校核强度校核强度 t t2,max t t1,max 且有且有t t2,maxt t = 80MPa，故故该轴满足强度条件。该轴满足强度条件。阶梯状圆轴，其阶梯状圆轴，其 ，必须综合，必须综合考虑扭矩和考虑扭矩和Wp两个因素，两个因素，AB段的扭矩大，直径段的扭矩大，直径d

27、1也大，也大，BC段的扭矩小，直径也小，必须分别段的扭矩小，直径也小，必须分别计算两段轴的计算两段轴的t tmax，经比较后才能确定，经比较后才能确定t tmax。maxpmax)(WT t t52注意：阶梯状圆轴在两段连接处有应力集注意：阶梯状圆轴在两段连接处有应力集中现象，在以上计算中对此并未考虑。中现象，在以上计算中对此并未考虑。5310-5 等直圆轴扭转时的变形等直圆轴扭转时的变形刚度条件刚度条件、扭转时的变形、扭转时的变形 两个横截面的两个横截面的相对扭转角相对扭转角扭转角沿杆长的变化率扭转角沿杆长的变化率pddGITxxGITddp相距相距d x 的微段两端截面间的微段两端截面间相

28、对扭转角为相对扭转角为Me Me dDTTO1O2ababdxDA54等直圆杆仅两端截面受外力偶矩等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时作用时pGITl称为等直圆杆的称为等直圆杆的扭转刚扭转刚度度相距相距l 的两横截面间相对扭转角为的两横截面间相对扭转角为llxGIT0pddMe Me peGIlM(单位：单位：rad)55 图示钢制实心圆截面轴，已知：图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 Nm，M2 = 955 Nm，M3 = 637 Nm，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm，d = 70 mm ，钢的切变模量钢的切变模量G = 80 GPa。试求横截面试求横截面C 相对于相对于B的扭转角的扭转角 BC 。(a)例题例题 10-5561. 用截面法求出用截面法求出I I、IIII两段轴内的扭矩分别为两段轴内的扭矩分别为mN637 ,mN95521 TT(a)解：解：57(a) rad1069. 1m107032Pa1080m10500mN63734393P2 GIlTACAC rad1052. 1m107032P