2020年江西省南昌市高考数学三模试卷(理科)(含答案解析)

1、2020年江西省南昌市高考数学三模试卷（理科）题号一一三总分得分一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1 .设集合 A=x|x2-x>0, B=x|2x-2v 1,则(?rA) HB=()A. 1 , 2)B. (0, 1)C. (1, 2)D. 0, 12 .已知复数z = (_a 0(3 + 2i)(a 拒的实部为-1|,则其虚部为()A. 一1B. 一彳C. -5D.|-5t3 . 已知等差数列an的前9项和为45, a3=-1,则a7=()A. 11B. 10C. 9D. 84 .已知函数f (x) = sinx x,则不等式f(x+ 2) + f (1 2x) v 0的解

2、集是()A. (-4)B.(S + 8) C.$ + 8)D.lJgJ)5 . 若 tan ( a-；) =2,则 tan (2 等于()A. -2-/B. qC. 2+t?D. j6.已知非零向量'=（1, 1-x）,卜（0, x-4）,则“向量；，的夹角为锐角”是“ xC （2, 4） ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7 .设a=4b=g"g，c=log32,则a, b, c的大小关系是（）cv b< aA. avbvcB. avcvbC. cv av bD.8 .如图，长方体力B8 -力FiG。加尸AB = 2,BC

3、 = 3,点P在线段氏6上,师的方向为正K主D视方向，当ap最短时，棱锥P-/E8的B.左（侧）视图为（）C.D.9.如图所示框图，若输入 3个不同的实数x,输出的y值相同，则此输出结果 y可能是（第5页，共18页10.11.A. 'B. -1C. 4D. -2如图所示，玩具计数算盘的三档上各有 7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个 算珠表示数2,右侧的每个算珠表示数 1 （允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为 a, b, c.例如，图中上档的数字和 a=9.若a, b, c成等差数列，则不同的分珠计数法有（）op oooo60000000A. 12B. 24C.

4、 16D. 32设直线x-3y+m=0 (mw。与双曲线 H=1 (a>0, b>0)的两条渐近线分别交于点 A, B,若点 a e>P (m, 0)满足|PA|二|PB|,则该双曲线的离心率是()A. yB. CC. jD. k5+112 .已知数列an： I j，最，最，；，2 (其中第一项是 摄，接下来的22-1项是最，, 堤,再接下来的23-1项是授，提，条,堤，:，最,依此类推.)的前 n项1一、，八 _/-1. 一一._和为Sn,下列判断：或是an的第2036项；存在常数M,使彳导SnVM恒成立；S2036=10 1 8； 满足不等式 Sn>1019的正整数

5、n的最小值是2100.其中正确的序号是()A.B.C.D.二、填空题(本大题共 4小题，共20.0分)13 . x (x2-2x) 6的展开式中，x10的系数是.2K切十4,1”,则w = 2x + y的最小值为 . 年沪7$ 015 .如图，ABCD边长为4的正方形，APAD是一个正三角形，4PAD绕边AD转动，得到四棱锥P-ABCD.当这个四棱锥体积最大时，它的外接球的表面积为 .16 .已知函数 f(x) = x,g(x =- M,其中戊 >。.若予/ 1,2 *2 E 1口,使得=贝勺用(勺)成立，则以=.三、解答题(本大题共 7小题，共82.0分)17 .如图所示，在直角坐标系

6、xOy中，扇形OAB的半径为2,圆心角为等,点M是弧AB上异于A, B的点.(I )若点C (1, 0),且CM<2,求点M的横坐标；(n )求4MAB面积的最大值.18.如图，四边形 ABCD 是梯形，ABED, BA AAD, AB=AD = CD=1 , BDEF 是菱形，BD = DF,平面 BDEF，平面 ABCD .(I )求证：BC1DF；(II )求平面BCF与平面CDE所成角的余弦值.19.20.已知椭圆C:=1 (a>b>0)的左右焦点分别为 Fi, F2,点P是椭圆C上一点，以PF1为某企业产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布N (80, 0.25),从

7、当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如表.产品尺产/mm76, 78.5(78.5, 79)(79, 79.5(79.5, 80.5(80.5, 81(81, 81.5(81.5, 83件数427278036206根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在(的3仿科+3以外视为小概率事件.一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在(区-3%科+34以内为正品，以外为次品.P(：(rV XV 科 +万=0.6826, P(/o< XV 科+2 万=0.9544, P (四-3 o< XV 科+3 万=0.9974(I )判断生产线是否工作正常，并说明理由；

8、(n)用频率表示概率，若再随机从生产线上取 3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检测 费15元/件，记这3件产品检测费为随机变量X,求X的数学期望及方差.直径的圆E: x2+(y-1)2=；过点F2.(I )求椭圆C的方程；(n)过点P且斜率大于0的直线li与C的另一个交点为A,与直线x= 4的交点为B,过点(3, 您且与11垂直的直线12与直线x= 4交于点D,求那BD面积的最小值.21 .已知函数+。也工+取。6凡2为常数)|.(I )求函数y = f(x),x lRe的最大值、最小值；(11)若函数仪灯=颦作为自然对数的底)在区间1对上单调递减，求实数a的取值范围.父=2 + Zco

9、stt22 .在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1 + a(a为参数).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线1 ： p cos-'psin 0 +1=0(I )求曲线C的普通方程和直线1的直角坐标方程；(n )若点M的直角坐标为(-1, 0),直线1与曲线C相交于A, B两点，求|MA|+|MB|的值.23 .已知 f (x) =|2x-a|+|2x+1|, g (x) =|x+1|-|3x-2|.(I )若f (x) >2恒成立，求实数a的取值范围；(n )若存在实数Xi , x2,使得等式f (x1)=g (x2)成立，求实数 a的取值范围.第 6 页

10、，共 18 页 答案与解析1答案：D解析：解：A=x|x2-x>0= x|x> 1 或 x<0, B=x|2x-2v1= x|x-2v0= x|xv2,则(？rA) =x|0 炙W1,则(？rA) AB=x|0 买W1故选：D.根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合集合的补集，交集的定义进行计算即可.本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键.2答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部等于-1求得a值，则虚部可求.【分析】解：,.z= (a-i) (3+2i) = (3a+

11、2) + (2a-3) i 的实部为-1,即 3a+2=-1 , . a=-1 .则z的虚部为-5.故选：C.3答案：A解析：解：等差数列an的前9项和为45,见力L %)11-=45,解得 a1 + a9=10. a7=a1+a9-a3=10- (-1) =11.故选：A.利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出.本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.4答案：D解析：解：函数 f (x) =sinx-x,其定义域为 R,且 f (-x) =sin (-x) - (-x) =- (sinx-x),则函数f (x)是定义在R上的奇函数，导函数

12、是f (x) =cosx-1WQ所以f (x) =sinx-x是减函数，不等式 f (x+2) +f (1-2x) v 0? f (x+2) vf (2x-1),即 x+2>2x-1? xv3,故选：D.根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得函数f (x)是定义在R上的奇函数，对f (x)求导可得f(x) =cosx-1 < 0,即可得f (x) =sinx-x是减函数，则不等式 f (x+2) +f (1-2x) <0可以转化为x+2 >2x-1,解可得x的范围，即可得答案.本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数f (x)的奇偶性与单调性.5答案：B解析：

13、解：.tan ( "：) =2, . tan (2 屋；)=tan2 (町)故选：B.根据二倍角的正切公式即可求出.本题考查了二倍角的正切公式，属于基础题.6答案：B解析：解：当向量；共线时，满足x-4=0,此时x=4,此时两个向量分别为口= (1, -3) , ；= (0, 0) 犷力ab不满足条件.则向量，1I不共线，若向量口;的夹角为锐角，则丁;>0,得(1-x)(x-4) >0得(x-1) (x-4) <0,得 1vxv4,即 xC(1, 4),则xC (1, 4)是xC (2, 4)的必要不充分条件，故选：B.结合向量夹角与向量数量积的定义，求出x的范围，

14、结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量夹角与向量数量积的定义求出x的范围是解决本题的关键.7答案：B解析：解：.尸=以自当之=1, 3 = |0处31加方2【叫3 = 1,. a cvb.故选：B.容易得出4一' = ' 'oggxi，1 ,从而可得出a, b, c的大小关系. 22£J1考查分数指数哥的运算，对数函数的单调性，减函数和增函数的定义.8答案：B解析：【分析】本题考查了空间几何体的三视图，注意在三视图中看不到的线画成虚线.本题属于基础题.依题意，棱锥P-AA1B1B的左(侧)视图外部轮廓为正方形，

15、且侧棱 AP, BP被底面AAlBiB遮挡，显示为虚线，当 AP最短时，APIB1D1,因为AiBi=2, AiDi=3,所以BiPvDiP,所以两虚线的交点离点 Bi更近，即离右下角更近.【解答】解：依题意，棱锥 P-AA1B1B的左(侧)视图外部轮廓为正方形，且侧棱AP, BP被底面AA1B1B遮挡，显示为虚线，当AP最短时，APXBiDi,因为AiBi=2, AiDi=3,所以BiPvDiP,所以两虚线的交点离点Bi更近, 即离右下角更近.故选：B.9答案：A解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出y=二?尸:魂的值,作出函数的图象如下：由题意，输入3个不同的实数x,输出

16、的y值相同，可得-1vyv 3,比较各个选项可得输出结果y可能是: 故选：A.模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出y=； 二； ;工。的值，画出函数的图象即可得解.本题考查了程序框图的应用问题，考查了分段函数的图象，属于基础题.10 .答案：D 解析：解：根据题意，a, b, c的取值范围都是从 714共8个数字，故公差d范围是-3到3,当公差d=0时，有弓=8种，当公差d=土时，b不取7和14,有2 X=12种，当公差d=i2时，b不取7, 8, 13, 14,有2XC；=8种，当公差d=不时，b只能取10或11,有2x4=4种，综上共有8+12+8+4=32种，故选：D.a, b

17、, c的取值范围都是从 714,可以根据公差d的情况进行讨论.本题考查排列、组合的应用，要表示的有3项，做题时容易找不到切入点，本题应考虑等差中项的 选取方法，属于中档题.11 .答案：A 解析：【分析】先求出A, B的坐标，可得 AB中点坐标为(, 芈)，利用点P (m, 0)满足|PA|二|PB|,可 小 L' .： !121I得,耳二。=-3 ,从而可求双曲线的离心率. msr本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为y=±x,分别与x-3y+m=0 (mf 联立，解得A(-：、，片)，.

18、 AB中点坐标为点 P (m, 0)满足 |PA|=|PB|,M2' A s ."ttt.a=2b,. c=J1b,故选：A.12 .答案：C口二- 1 解析：解：二，是an的第 k项，贝u k=21-1+22-1+210-1= 2_ 1-10=2036；由题意可得：分母为 2k时，""广(kCN*),可得：Sn单调递增，且n-+8时，Sn一+8,因此不存在常数 M,使得SnVM恒成立，因此不正确； ,人- 1=-1 + 2+ .+ 210- 1 2(-11”7 派* 由可得：S2036=i+一+/=2+工+- = J =1018,因此正确.、一一 1C+

19、 . 2巩)一"S2036=10 1 8,设 S2036+=1018+ 胃 >1019,则 k (k+1) >212,解得 k>64.满足不等式 $>1019的正整数n的最小值=2036+64=2100,因此正确.其中正确的序号是.故选：C.,，'是an的第k项，则k=21-1+22-1+210-1,利用等比数列的求和公式求出即可判断出结论.工十工. 一十1 1flz工史片.由题意可得：分母为 2k时，= =，：=: (kCN*),可得：Sn单调递增，且n一+8时，Sn-+oo,即可判断出结论.由可得：$2036=(+1,+、' 利用等差数列的

20、求和公式求出即可判断出结论.$2036=10 1 8,设S2036+尹=1018+ V >1019,解得k即可判断出结论.本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题.13 .答案：-160 解析：解：依题意，x (x2-2x) 6的展开式的第k+1项为Tk+1=x* “尸(_对=)"或尸:由 13-k=10,得 k=3,所以x10的系数是(-2)3*或=(-8) X20=-160,故答案为：-160.x (x2-2x) 6的展开式的第k+1项为Tk+1=x凄1/产&(->1=(一幻-哈/T由13*=10,得k=

21、3,代入通项即可.本题考查了二项式定理，主要考查二项展开式的通项，属于基础题.14 .答案：4I x + y-*3 2 0解析：解：作出x, y满足约束条件。如图：由 z=2x+y 得 y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线 y=-2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由解得 A(1, 2),此时 z=2X1+2=4,故答案为：4.作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论.本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键.15 .答案:解析：解：如图，要使四棱锥P-ABCD体积最大，则平面 PAD,平面ABCD,设等边三角形 PAD的外心为

22、F,过F作平面PAD的垂线，过G作底面ABCD的垂线，两垂线相交 于。，则。为四棱锥P-ABCD的外接球的球心，连接 OP,则OP为四棱锥P-ABCD的外接球的半径，PF=，/E = *X 26=1,OF=：AH=2.= F / + OF* = y+ 4=y.四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为 S=4兀?= 苧.故答案为：竿.由题意，要使四棱锥 P-ABCD体积最大，则平面 PAD，平面ABCD,求出四棱锥外接球的半径，代 入球的表面积公式求解.本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题.16 .答案:解析：【分析】由 f(X1)f(X2) =g (

23、x1) g (x2)成立，可得位7=病成立；设 h (x) =&,u (x) =J,求解 h(x)的值域是u (x)值域的子集求解 a的值即可.本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值 以及单调性的应用.【解答】解：由题意,f(x)WQ 由 f(x1) f (x2) =g (x1) g (x2)成立，得 g (x1) WQ g (x2) WQ 可得祠 成立;u (x)设 h (x)那么h(X)二启，.x1q1, 2,当a> 1或a<；时，可得h (x)的值域为Jj,区u (x) =ax-1 x2 e 1 , 2,.可彳导u (x

24、)的值域为a-1, 2a-1;.?xiqi, 2, ?x2qi, 2,. h (x)的值域是u (x)值域的子集；在a1的情况下，可得：解得：1aw上 工Q v IA白02口一1,解得：a7；3 .a-在a的情况下，-H可得：解得：aW0(结合条件知 a无解)当;口1时，h(x)的值域为(一吗与U 白,+ 8),不可能是u(x)值域的子集;当a=:或1时，代入验证即可排除 -H综上可得：a=：-故答案为：17 .答案：解：（I ）连接OM,根据题意，在 AOCM中，OC=1, CM=J, OM=2,所以 cos/COM =；二号=g, 2x2x1 | 旷所以点M的横坐标为2乂=.（n）设/ao

25、m =。，旺明 眼,则/BOM=1-e,八八八八- r. .“2斤.1c 4为-3./ JI、 KSzmab = Saoam + Szobm-Szoab=e 汛 2 x 2sin 0+ Sin - 0）卜宠 X 2 X 2 X q =2、3sin （。才）-13 ,所以中?所以当时，4MAB面积最大，且最大值为 3 解析：(I )连接OM,根据题意在4OCM中，由余弦定理可求 cos/COM,进而可求点 M的横坐 标.()设"0" =。，0G (0,当，则/BOM-；-0,利用三角形的面积公式可得Szmiab=s sin (。才)-3 ,根据范围。土e（2茅,利用正弦函数的

26、性质可求其最大值.本题主要考查余弦定理，三角形的面积公式，正弦函数的性质的综合应用，考查转化思想和数形结 合思想，属于中档题.18 .答案：解：（I ）证明：如图，取 CD中点H,连结BH,则 BH _LCD,由已知得 BH=1, CH=1, BC, CD=2, . BC2+BD2=CD2, .CBIBD,平面BDEF "面 ABCD,且平面 BDEF 叶面 ABCD = BD, . CBN 面 BDEF,又 DF?平面 BDEF, BC1DF .（n）如图，取BD的中点O,BD=DF=BF, .foxbd,平面BDEF "面ABCD,且平面 BDEF 叶面 ABCD =

27、BD, . FO"面 ABCD,如图，以。为原点，过。作AB的平行线为x轴，过。作AD的平行线为y轴，OF为z轴，建立空 间直角坐标系，则 B © 一* °)，C (官 ”)，D0) , F (0, 0,郭，BC= （1,1, 0）,凰尸（下用），葭=（2 °，0），. DE/BF,且 DE = BF,设平面BCF的法向量,（x, v, z）,则，取 x=1 ,得:(1, -1, "),设平面CDE的法向量为；=（x, y, z）,平面BCF与平面CDE所成角的余弦值为 孚.解析：（I ）取CD中点H,连结BH ,则BH ±CD,推导

28、出CB1BD,从而CB1平面BDEF,由此能 证明BC1DF .（n）取BD的中点O,以。为原点，过。作AB的平行线为x轴，过O作AD的平行线为y轴， OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BCF与平面CDE所成角的余弦值.本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19 .答案：解：(I )依题意，有=80(7=0.5所以正常产品尺寸范围为(78.5, 81.5):200 X (1-0.9974) =0.52牛，超出正常范围以外的零件数为10件，故生产线不正常;(n)依题意，尺寸在78.5,

29、81.5以外就是次品，故次品率为： = ,记着3件产品中次品数为 Y,则Y服从二项分布B (3,焉)，X=10 (3-Y) +15Y=5Y+30,贝U E (Y) =3D(Y)=3>%JX 两=而尸所以X的数学期望是E (X) =5E (Y) +30=；(元)，方差是 D (X) =52?D (Y) =25嘿=g tUU Lu解析：(I)正常产品尺寸范围为(78.5, 81.5) , 200X (1-0.9974) =0.52件，超出正常范围以外的 零件数为10件，故生产线不正常；(n)记着3件产品中次品数为 Y,则Y服从二项分布B (3,卷),可以计算随机变量 丫的期望与考查基方差，又

30、X=10 (3-Y) +15Y=5Y+30,根据X, Y的线性关系即可得到 X的期望与方差， 本题主要考查了正态分布中3b原则，考查成线性相关的两个随机变量的期望与方差的关系,本分析应用的能力，属于中档题.20 .答案：解：(I )在圆E的方程中，令y=0,得到：x2=4,所以 F1 (-2, 0) , F2 (2, 0),又因为OE L ； Fi尸，所以P点坐标为(2,角,所以2口 =/片| + |P%| =4科，则口 = 2隹，b=2,因此椭圆的方程为M T(1+2k2) x2+ (痛 k-8k2) x+8k2-82k-4=0,(n)设直线 11： y闻至k (x-2) (k>0),

31、 所以点B的坐标为(4,四+ 2坦|,设A (XA, yA) , D (XD, yD),将直线11代入椭圆方程得:所以xpxA=；M 1,所以 xA= 一0第17页，共18页直线l2的方程为y-2=-. (x-3),所以点D坐标为或一鬼,所以 SAABD= ; ( 4-xA)I + 4隹* f 4 1yB-yD|= ?=2k+：+2*D>2j，+2 值, 当且仅当2k=1,即k时取等号,综上，AABD面积的最小值2"+2但.解析：(I )根据题意求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义求得 a和b的值，即可求得椭圆方程； (n)设直线li的方程，代入涂鸦方程，利用韦达定理求得 A的横

32、坐标，求得直线12方程，求得D 点坐标，利用三角形的面积公式及基本不等式即可求得AABD面积的最小值.本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及基本不等式的应用，考查转化思想， 属于中档题.21 .答案：解：(I)函数 f (x) = (1 + ：) 1nx+a (aCR, a为常数). ,1 ., 11T-fMi + 所以 f (x) =-r1nx+ (1+-) ,=-一, x 印，e令()(x) =x-1nx+1, xqi, e,贝U / ( x) =1-? >Q4 (x)在1, e上单调递增，所以()(x) >4(1) >0, 所以f' (x) &

33、gt;0,则f (x)在1, e上单调递增，所以f (x)的最大值为f (e) = +1 + a, f (x)的最小值为f (1) =a;(n) ( i)当 a>0时，f (x) >Q g (x)=；-Trt 4 + -(- + 1X nA (C g ' (x)=-依题意：x印，e时，g' (x) wo恒成立，令 u (x) =- (1+x+x2) 1nx-ax2+x+1, xqi, e, ， u (x) =- (1+2x) lnx-(2a+1) x< 0.即 u (x)在l, e上单倜递减，所以 umax (x) = u (1) =- a+2 w o) .

34、a R 211,/ 、 、r, lrti 口 + li r, 、， 、1 /Fi t * 口(ii)当 +1 + awo即 a< 时，f (x) <Q g (x)=-,4日| e1由(i)可知g' (x) =-jr,又g (x)在1, e上单调递减，因为 aW1-：,所以 u (x) > (1 + x+x2) lnx+ (1+)x2+x+1> ( x2+x+1) (1-lnx) >0成立，所以 u (x) =- (1+x+x2) lnx-ax2+x+1 RO对 xC1, e恒成立， 所以g (x)在l, e上单调递减；(iii)当 f 11) < 0, f ( e) >0,即v av。时，则存在 x0 C (1, e)使得 f ( xo) =0, ，一 m训一 一 网函_从而 x=xo时，函数 g (x) =0,而 g (e) =w >0,所以g (x)在区间1