第3讲空间计算

1、第三讲空间计算教学目标1、异面直线之间的夹角；2、线面之间的夹角；3、线面之间的距离；4、面面之间的夹角；5、面面之间的距离；教学重点异面直线之间的夹角的求法。教学难点等价问题的相互转化、以及辅助线作法。教学方法建议1、师生的共同讨论与讲授法相结合；2、让学生在学习过程不断归纳整理所学知识，通过认识空间图形，培养和 发展学生的几何观察能力、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能 力与一定的推理论证能力；3、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出线、面位置关 系的概念；4、采用课件与实物演示的方法，加深学生的理解，让学生养成利用现有的 物品如笔，书等，对结论进行验证的习惯；5、进一步

2、培养学生空间问题平面化的思想。选材程度及数量课堂精讲例题课堂训练题课后作业A类（3 ）道（2 ）道（7 ）道B类（4 ）道（2 ）道（10 ）道C类（3 ）道（2 ）道（8 ）道一、知识梳理实用文案要点一、异面直线间的夹角1、 角的定义：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点 0作直线a/a,b/b，把a ,b所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）；2、 作法：a ,b所成的角的大小与点 0的选择无关，为了简便，点0通常取在异面直线的一条上；3、 夹角范围：异面直线所成的角的范围为（0,90 ;如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b;4、求解步骤：求两

3、条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点t平移t定角t计算。要点二、线面之间的夹角1、角的定义：已知直线 a与平面a相交，设a在平面内的射影为 b，那么与之间的夹角， 称之为线面角；2、 规定：如果一条直线与一个平面垂直，就说线面角为90°如果一条直线与平面平行或在这个平面内，就说线面角为0 °3、实质：线面角 t线线角；4、范围：0 ,-25、作法：找到斜线，再找射影，那么斜线与射影的夹角，就是线面角；6、图形表示为：nP要点三、线面之间的距离1、定义：如果一条直线与一个平面平行，那么这条线上的任意点到这个平面的距离均相等，这个距离也就是这条直线与其在平面上的射影之间的

4、距离；2、 问题转化：线面距离 T 线线距离 T点线距离；3、作法：a要点四、面面之间的夹角1、 定义：若两个平面 A、B相交于直线I,在直线l上任取一点P,过点P分别在两个平 面内引直线I的两条垂线分别是 丨1、I2，贝y |1与|2的夹角就是平面 A、B的平面角；2、范围：0,;3、求法：定义法；三垂线定理法；4、图形表示为：A要点五、面面之间的距离1、定义：如果两个平面A、B平行，那么有 A上的任意一点P到平面B的距离就是 A、B之间的距离;2、问题转化：面面距离t线面距离 t线线距离 t点线距离;3、图示表示为:、例题精讲【例题1】、【题目】：已知异面直线a和b所成的角为50 

5、6;,P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30 °的直线有且仅有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【难度分级】：A类【选题意图】(对应知识点)：异面直线的夹角【解题思路】：仔细阅读，展开空间想象【解法与答案】：B【解析】：过P作a /a, b /b，若P a,则取a为a，若P b，则取b为b 这时a , b相交于P点，它们的两组对顶角分别为 50 ° 和130 °。记a , b所确定的平面为B,那么在平面B内，不存在与a , b都成30 °的直线.过点P与a , b都成30 °角的直线必在平面B外，这直线在平面B的射影是 a

6、, b所 成对顶角的平分线其中射影是 50。对顶角平分线的直线有两条I和I，射影是130 对顶角平分线的直线不存在故答案选 B。【例题2】、【题目】：如图所示，正方体 ABCD AiBiCiDi, E、F分别是AD、AAi的中点.(1) 求直线ABi和CCi所成的角的大小；(2) 求直线ABi和EF所成的角的大小。【难度分级】：B类【选题意图】(对应知识点)：异面直线的夹角【解题思路】：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想 象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面 问题，运用化归思想将难化易。【解法与答案】：（1）如图，连结 DCi ,

7、DCi /ABi, DCi和CCi所成的锐角/ CCiD就是ABi和CCi所成的角。/ /CCiD=45 ° ABi和CCi所成的角是45 °（2）如图，连结 DAi、AiCi,/ EF/AiD , ABi /DCi, ZAiDCi是直线ABi和EF所成的角朋iDCi是等边三角形， ZAiDCi=60 o，即直线ABi和EF所成的角是60o.【解析】：解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路。【例题3】、【题目:正方体ABCD A'B'C'D'中，AB的中点为M , DD '的中点为

8、N，异面直线B'M与CN所成的角是（）A. 30 ° B. 90 ° C. 45D . 60【难度分级:A类【选题意图（对应知识点）：异面直线的夹角【解题思路:仔细阅读，平移成一面【解法与答案:B【解析:通过作平行线，使异面直线平移到一个平面内，然后利用解三角形的方 法。这种题型比较多见的是平移其中一条与另一条共面，或是同时平移两条向一个 平面内构成三角形。【例题4 、【题目】：设异面直线a与b所成角为50 °,0为空间一定点，试讨论，过点0与a、b所成的角都是0(090 )的直线I有且仅有几条？【难度分级】：C类【选题意图】(对应知识点)：异面直线的夹角

9、【解题思路】：仔细阅读，画空间图形【解法与答案】：过点0作ai /a, bi /b，则相交直线ai、bi确定一平面a . ai与bi夹角为50 °或130 °，设直线0A与ai、bi均为0角。故当0<25 °时，直线I不存在；当0=25 °时，直线I有且仅有i条；当25 ° 0<65 °时，直线I有且仅有2条；当0=65 °时，直线I有且仅有3条；当65 ° 0<90 °时，直线I有且仅有4条；当0=90。时，直线I有且仅有i条。【解析】：祥见【解法与答案】。【例题5】、【题目:如图，已

10、知P是平行四边形 ABCD所在平面外一点， M、N分别是(i)求证：MN / 平面 PAD ；AB、PC的中点。(2 )若 MN【难度分级:C类【选题意图】(对应知识点)：异面直线的夹角【解题思路】：仔细阅读，画空间图形【解法与答案】：(1 )取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点1 NH / 丄 DC2由M是AB的中点， NH /AM即AMNH为平行四边形。 MN / AH由MN 平面PAD, AH 平面PAD , MN/平面PAD(2 )连接AC并取其中点为 O,连接OM、ON1 1 OM 丄 BC, ON 丄 PA2 2所以 ONM就是异面直线 PA与MN所成的角，且 MO丄NO。由

11、 MN BC 4 , PA 4 3，得 OM =2 , ON = 2 . 3所以 ONM 300，即异面直线 PA与MN成30 °的角。【解析】：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平 行.求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相 交的线线角，通过解三角形而得。【例题6】、【题目:直四棱柱ABCD ABCP中，底面ABCD为正方形，边长为 2,侧棱AA 3 , M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点。(1 )求证：平面 AMN /平面EFDB;(2 )求平面 AMN与平面EFDB的距离。【难度分级

12、:B类【选题意图(对应知识点)：面面距离【解题思路:仔细阅读，等价转化思想的灵活运用【解法与答案】：(1 )连接AG，分别交MN、EF于P、Q.连接AC交BD于O,连接AP、OQ。由已知可得MN /EF , MN /平面EFDB由已知可得，PQ / AO且PQ AOAP / OQAP/平面 EFDB平面AMN /平面EFDB(2 )过A作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为 H、H易得AH AP 1HH ' PQ 2市 2 (242)2 今,根据 1 AMNVA A1MN ,则1113 19AiH3，解得AH 二9 .所以，平面 AMN与平面3 219EFDB的距离为6 19百。【解

13、析】：第(1 )问证面面平行，转化途径为“线线平行-线面平行-面面平行”。第(2)问求面面距离，巧妙将中间两个平面的距离，转化为平面另一侧某点到平 面距离的比例，然后利用等体积法求距离等价转化的思想在本题中十分突出，我们可以用同样的转化思维，将此例中的两个平面的距离，转化为求点B到平面AB1C的距离。【例题7】、【题目】：已知棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值。【难度分级】：B类【选题意图】（对应知识点）：线面夹角【解题思路】：仔细阅读，画空间图形【解法与答案】：取CD的中点F,连接EF交平面ABGDi于O,连AO。

14、由已知正方体，易知 EO 平面ABGDi，所以 EAO为所求。在 Rt EOA 中，EO 1EF 1 AiD 乎，AE （舟）2 12 耳，EO 10sin EAOAE 5所以直线AE与平面ABCiDi所成的角的正弦值为 二0 。5【解析】：线面夹角的一般思路应该是先作角。通常是找出这个面的法线，然后构 筑直角三角形，再通过三角函数进一步求解。【例题8】、【题目】：如图所示，设平面a/平面B, AB、CD是两异面直线，且 A、Ca,B、D p, AC 丄 BD, AC=6 , BD=8.M是AB的中点，过点 M作一个平面交CD与N，且 /，求线段【难度分级】：C类【选题意图】（对应知识点）：异

15、面直线的夹角【解题思路】：仔细阅读，画空间图形【解法与答案】：连接BC,与平面 交于点E,分别连接 ME、NE。易知平面 MEN /平面a,平面MEN /平面B。由于平面ABC、平面BDC分别与三个平行平面相交，所以， ME / AC, EN /BD。 M是AB的中点 E N分别是BC、CD的中点11 MEAC 3 , EN BD 422又/ AC 丄 BD, ME 丄 EN ,所以 MN 32425 o【解析】：将空间几何问题转化为平面几何问题是解决立体几何问题的最终归宿。本题很好的借助了中位线平行原理，既利用了已学过的平面几何的知识，又巧妙的 构筑了共面的条件。【例题9】、【题目】：正三棱

16、柱 ABC AiBiCi中，AAi=2 AB , D、E分别是侧棱 BBi、CCi 上的点，且 EC=BC=2BD,过A、D、E作一截面。求：(1 )截面与底面所成的角；(2 )截面将三棱柱分成两部分的体积之比。EB【难度分级】：B类【选题意图】(对应知识点)：面面夹角【解题思路】：仔细阅读，画空间图形【解法与答案】：(1 )延长ED交CB延长线于F,1Q DB / EC, BDEC, FB BC AB.又 ABF 120BAFBFA 30 , FAC 90 AAi AF,AC AF, / AF AE, EAC为截面与底面所成二面角的平面角在 Rt KEC 中，EC= AC，故得/ EAC=4

17、5 °(2)设 AB= a,贝UAA,2a,BD2a,ECa, VA BCED1h3SBCED83 a ,$3 2> 3 33 3 3VABCABCSABCAAa 2aa,VADEABdCda1 1 1421 1 18VADE A1B1C13SA BCDE【解析】：截面问题的研究，需注意结合截面的性质如何作出截面，是解决问题的关键，然后把截面的看成一个平面图形求二面角时，抓住二面角的平面角定义（两线垂棱），找出其平面角，解直角三角形。【例题10】、【题目】：直线a、b、c共点P,且两两成60 °角，求c与a、b所确定的平面a所成角的余弦值。【难度分级】：C类【选题意图

18、】（对应知识点）：线面夹角、面面夹角【解题思路】：仔细阅读，画空间图形【解法与答案】：解：在c上截PQ=1 , al b P确定平面a .过Q作QH丄a于H，过H作HA丄a于 A, HB丄b 于 B,连 QA、QB.HB PBQH PBPB 面 QBHPB QBPB ?QB易得 QPBzQPA QHB 也zQHAHB HA PH为ZAPB的角平分线PHHPA 30COS QPH于.即C与a、b所确定的平面a所成角的余弦值为实用文案三、课堂练习【练习1】、如图所示，正方体 ABCD ABiCQ中，直线AR与BG所成角为度。【解答】60【练习2】、已知空间四边形 ABCD各边长与对角线都相等，求

19、AB和CD所成的角的大【解答】分别取AC、AD、BC的中点P、M、N .连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN /AB, PM /CD，于是/ MPN就是异面直线 AB和CD成的角，如图所示。连结 MN、DN，设 AB=2 ,二 PM = PN=1.而 AN = DN = 3，贝U MN 丄AD ,AM=1 ,得 MN = 2 , MN2=MP2+NP2,.JMPN=90。，即异面直线 AB、CD 成 90。角。【练习3】、如图所示， ABCD是矩形，PA 平面ABCD , PA AD a, AB 2a , E是PE bf i线段PD上的点，F是线段AB上的点，且一一-.求直线EF与平面A

20、BCD所成角ED FA 2的正弦值【解答】Q PA 平面 ABCD，过E作EM AD于M，贝EM 平面ABCD，连FM，贝EFM为直线EF与平面ABCD所成的角。EM竺，FM3AM2 AF2在RtFEM 中,tan EFM 列 2FM 3/ sinEFM £13【练习4】、四面体ABCD 中，AC BD,E,F 分别为AD,BC的中点，且EF-Jac，2BDC 90°，求证:BD 平面ACD。【解答】取CD的中点G，连结EG,FG。E, F分别为 AD,BC的中点11EG AC , FG BD22又 AC BD,1FG EG AC ,222122在 EFG 中，EG FG

21、AC EF ,2 EG FG ,BD AC，又 BDC 90o，即 BD CD , AC I CD CBD 平面ACD【练习5】、给出下列说法: 直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行； 夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面； 直线m丄平面a,直线n丄m，则n /a； a、b是异面直线，则存在唯一的平面a,使它与a、b都平行且与a、b距离相等。其中正确的两个说法是（）.A.B.C.D.【解答】D。【练习6】、如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA BC, PBAC , PO 平面ABC，垂足为O。求证：O为底面AABC的垂心。B【解答】连接 OA、OB、OC,/

22、 PO 平面 ABC, PO BC, PO AC .又/ PA BC, PB AC , BC 平面 PAO, AC 平面 PBO，得 AO BC, BO AC , O为底面 ABC的垂心。四、课后自我检测题1、A是ABCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点,(1) 求证：直线EF与BD是异面直线；(2) 若 AC丄BD, AC=BD,求EF与BD所成的角.，过)的角,2、已知平面 /平面 ，P是，外一点，过点P的直线m与，分别交于点AC点P的直线n与，分别交于点B, D，且PA 6 , AC 9 , PD 8，则BD的长为(24A. 16B. 24或C. 14D. 2053、 已知Rt

23、 ABC，斜边BC/平面 ，A , AB , AC分别与平面成30 ° 和45 ° 已知BC=6，求BC到平面 的距离。4、在正方形 SGi G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使A. SG丄面 EFGGi、G2、G3重合为点G,则有（）C. GF丄面 SEFD. SG丄面 SEF5、把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）A. 90 °B. 60 °C. 45 °D.306、如图所示，在正方体ABCD

24、ABGU中，E是CG的中点。求证：平面ABD 平面BED。7、过正方形 ABCD的顶点A作线段AP丄平面ABCD，且AP= AB，则平面 ABP与平面CDP所成的二面角的度数是（）B. 45C. 60D. 90BD丄AD , ABCD是锐角三角形，那么()B.平面ABD丄平面 ABCD.平面ABC丄平面BCDP,过P分别在，平面内作与棱成45 °角的斜C . 120 °D . 60 ° 或120 °8、在三棱锥 A BCD中，如果 AD丄BC,A.平面ABD丄平面ADCC.平面BCD丄平面 ADC9、 在直二面角AB棱AB上取一点线PC、PD，则ZCPD

25、的大小是().A. 45 °B. 60 °10、下面四个说法： 如果一条直线垂直于个平面内的无数条直线，那么这条直线和这 个平面垂直；过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；垂直同一平面的两条 直线互相平行；经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直A.1B. 2C. 3D. 4其中正确的说法个数是().為B11、E是正方形 ABCD的AB边中点，将 ADE 与BCE沿DE、CE向上折起，使得 A、B重合为点P,那么二面角 D PE C的大小为 。12、空间四边形 ABCD中，AB=BC, CD= DA , E是AC的中点，则平面 BDE与平面ABC的位置关系是.13、如图

26、，正三角形 ABC的边长为3，过其中心 G 作BC边的平行线，分别交 AB、AC于B!、G .将AR G沿BQ!折起到 ARG的位置，使点 A在平面 BBQQ上的射影恰是线段 BC的中点M 试求二面角 A RG M的大小.14、如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱 PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点(1)求证:CD丄 PD;(2)求证：EF/ 平面 PAD;(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线 EF丄平面PCD ?15、把直角三角板 ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边 AC与桌面所在的平面垂直，a是 内一条直线，若斜边 AB与a垂直，则BC是否

27、与a垂直？16、如图所示，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA丄平面ABC.。(1) 求证：平面 PAC丄平面PBC;(2) 若D也是圆周上一点，且与 C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面17、三棱锥P ABC中，PA PB PC,PO 平面ABC，垂足为 0,求证：0为底面ABC的外心.18、三棱锥P ABC中，三个侧面与底面所成的二面角相等，P0 平面ABC，垂足为0，求证：0为底面 ABC的内心。19、如图所示，在正方体 ABCD-AiBiCiDi中.求证：(1 ) BiD丄平面 A1C1 B;(2)BiD与平面AiCiB的交点设为 0,则点0是AiCiB的垂心.DK

28、C,C20、如图所示，已知 AiBiCi ABC是正三棱柱，D是AC中点.(1) 证明：ABi /平面 DBCi;(2) 假设ABi丄BCi, BC= 2，求线段ABi在侧面Bi BCCi上的射影长.21、在斜三棱柱 AiBiCi ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BBiCiC丄底面ABC.(i )若D是BC的中点，求证：AD丄CCi ；(2)过侧面 BBiCiC的对角线 BCi的平面交侧棱于 M，若 AM = MA i，求证：截面MBCi 丄侧面 BBiCiC;(3 )如果截面 MBCi丄平面BBiCiC,那么AM = MA i吗？请你叙述判断理由22、如图所示，在棱长为 i的正方

29、体 ABCD ABiGU中,AiB、AC上运动，且 AiM = AN，求MN的最小值.M、N分别在其面的对角线23、如图所示，在正方体 ABCD ABiCP中，E是C。的中点，F是AC,BD的交点。求证：AF 平面BED .24、如图所示，在正方体 ABCD ABiCiDi中，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F 分别是B1C1、C1D1的中点.(1 )求证：E、F、B、D共面；(2 )求证：平面AMN /平面EFDB.25、已知正三棱锥P ABC的体积为72.3，侧面与底面所成的二面角的大小为60°。(1 )证明：PA BC ；(2 )求底面中心O到侧面的距离五、自我检测题

30、答案1、 解：(1 )证明：用反证法设EF与BD不是异面直线，则 EF与BD共面，从而 DF与 BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与 A是阳CD平面外的 一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线.(2)取CD的中点G，连结EG、FG,则EG/BD，所以相交直线 EF与EG所成的锐 角或直角即为异面直线 EF与BD所成的角.在Rt AEGF中，求得/ FEG=45。，即异面直线EF与BD所成的角为45 °2、B.3、 解：作BBi于Bi, CCi于Ci，则由BC ，得BBi CCi，且CCi就是BC到平面 的距离，设 CCi x，连结 ABi, ACi，贝U B

31、ABi 30°, CACi 45° , AC . 2x, AB 2x ,在 Rt ABC 中，BC 6, BAC 90°, 36 2x2 4x2, x 6，即 BC 到平面 的 距离为. 6 .4、A。5、C6、证明：连接AC,交BD于F,连接AF , EF, Ai E , AC.由正方体ABCD A B C i Di，易得A D A B , ED EB , F是BD的中点， 所以AF BD, EF BD，得到 A FE 是二面耳角ABDE的平面角.设正方体 ABCD A B Ci Di的棱长为2，则AF2 A A2 AF 222( 2)26 ,EF2CE2CF2

32、 i 2('一 2)23 ,AE2 A Ci 2 CE2(2 2)2 i 29.2 2 2 AF EFAE，即 AF EF，则AFE90 ,所以平面A BD 平面BED7、Bo8、C o9、D oi 0、Coi i、60 ° oi 2、垂直i 3、解：连接 AG、GM、Ai G. G是正 ABC的中心，M 是BC的中点， A、G、M 三点共线，且 AG:GM=2:1 , AM 丄 BC. BQ/BC, AM RG,即卩 AG BG, GM BG, AGM为二面角A BC M的的平面角/ M是点A在平面BBCQ上的射影，即 AM 平面BBCQ ,A M GM .Gm i在Rt

33、A MG中，由cos AGM，得 AGM 60 即二面角 A BG M的大AG 2小是60 °.14、解：(1)证明：T PA丄底面 ABCD , CD 平面 ABCD ,.PA丄CD.又 CD 丄 AD , CD 丄平面 PAD. .CD丄 PD.(2) 证明：取 CD中点 G，连EG、FG,F分别是 AB、PC的中点， EG/AD , FG /PD.平面 EFG/ 平面 PAD，故 EF/平面 PAD.(3) 当平面 PCD与平面ABCD成45 °角时，直线EF丄面PCD.证明：G为CD中点，贝U EG丄CD,由知FG丄CD，故/ EGF为平面 PCD与平面ABCD所成

34、二面角的平面角.即ZEGF=45 °，从而得ZADP =45 °,AD=AP.由 RtAERt:BE,得 PE= CE.又 F是 PC 的中点， EF丄 PC,由CD丄EG, CD丄FG,得CD丄平面EFG, CD丄EF即EF丄CD，故EF丄平面PCD.15、解：ACaACaaABa平面 ABCa BCACAB ABC平面 ABC16、解：(1)证明：T C是AB为直径的圆 O的圆周上一点，AB是圆O的直径， .BC 丄AC.又PA丄平面ABC, BC 平面ABC,BC丄PA，从而BC丄平面PAC.t BC 平面 PBC,平面PAC丄平面PBC.(2)平面 PAC丄平面 A

35、BCD ；平面 PAC丄平面 PBC；平面 PAD丄平面 PBD ；平面PAB丄平面 ABCD ;平面PAD丄平面 ABCD.17、证明：连接 OA、OB、0C, P0 平面 ABC, PO OA, PO OB, PO OC .在 BAO、BBO、BCO 中，POA POB POC 90 ,PA PB PC , PO 边公共.POA POB POC . OA OB OC,所以，O为底面AABC的外心.18、 【证】作 PD AB于 D， PE BC 于 E， PF AC 于 F，连接 OD、OE、OF. PO 平面 ABC, PO OD, PO OE, PO OF ,PO AB, PO BC,

36、 PO AC .又 T PD AB, PE BC, PF AC , AB 平面 PDO, BC 平面 PEO, AC 平面 PFO .得 OD AB, OE BC, OF AC , PDO, PEO, PFO为三个侧面与底面所成的二面角的平面角即得 PDO PEO PFO ,T PO 边公共， PDO PEO PDO，得 OD OE OF ,又/ OD AB, OE BC, OF AC . O为底面 ABC的内心.19、证明：(1)连接 Bi Di，则 AiCi 丄 BiDi.又有D Di丄AiCi,： AiCi丄平面Bi D Di，从而 AiCi丄BiD.同理可证：AiB丄BiD. BiD丄

37、平面 AiCiB.(2)连接 BO , AiO , CiO.由 B Bi 丄 AiCi, BiO 丄 AiCi，得到 AiCi 丄平面 B BiO. AiCi 丄 BO.同理，AiB丄CiO, BCi丄AiO.故点O是AiCiB的垂心.20、解：(1 )证明：由 AiBiCi ABC是正三棱柱， 四边形Bi BCCi是矩形.连BiC与BCi交于E,贝U E为BiC的中点，连 DE, D是AC的中点. ED/AB1, 又 ED 平面 BDCi, ABi 平面 BDCi, 所以 ABi /平面 BDCi.(2)解：作 AF丄BC,垂足为F. T面ABC丄面Bi BCCi, AF丄面Bi BCCi.

38、连BiF,则BiF是ABi在平面BiBCCi内的射影./ BCi 丄ABi , /.BCi± BiF. t四边形 Bi BCCi 是矩形，/zBiBF=ZBCCi = 90 ° ,又 ZFBiB=ZCiBC, ZBiBFsZBCCi. BB 匹 聖.BC CCi Bi B又F为正三角形 ABC的BC边的中点因而BiB2 = BFBC= 1 X2 = 2，于是BiF2 =B1B2 + BF2 = 3BiF=3 ,即线段ABi在平面Bi BCCi内的射影长为 3.21、解：(i)证明：T AB= AC, D 是 BC 的中点，二 AD 丄BC.底面 ABC丄平面 BBiCiC, /-AD 丄侧面 BBiCiC,/-AD 丄 CCi.(2)证明：延长 BiAi与BM交于N，连结CiN.'AM = MA i，/.NAi = AiBi。AiBi = A