立体几何大题练习(文科)

1、立体几何大题练习(文科)1 .如图，在四棱锥 SABCD中，底面 ABCD是梯形，AB/ DC / ABC=90° AD=SR BC=CD= 侧面SAD/底面ABCD.(1)求证：平面SBD/平面SAD;(2)若/SDA=120,且三棱锥 S- BCD的体积为，求侧面 /SAB勺面积.【分析】 ( 1 ) 由梯形ABCD， 设 BC=a， 则 CD=a， AB=2a， 运用勾股定理和余弦定理， 可得 AD，由线面垂直的判定定理可得BD/平面SAD,运用面面垂直的判定定理即可得证；(2)运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1,运用勾股定理和余弦定理，可得SA, SB

2、,运用三角形的面积公式，即可得到所求值.【解答】(1)证明：在梯形 ABCD中，AB/ DC / ABC=90, BC=CD=设 BC=a,贝U CD=a, AB=2a,在直角三角形 BCD中，/BCD=9Q可得 BD=a, / CBD=45 / ABD=45,由余弦定理可得AD=a，贝U BD/ AQ由面SAD/底面 ABCD,可得BD/平面SAD,又BD/平面SBD,可得平面 SBD/平面SAD;(2)解：/SDA=120,且三棱锥 S- BCD的体积为，由 AD=SD=a，在/SADK 可得 SA=2SDsin60 =a/ SADJ边 AD上的高 SH=SDsin60 产a由SH/平面B

3、CD,可得x a x x ,a2=解得 a=1，由BD/平面SAD,可得 BD/ SDSB=2a，又 AB=2a，在等腰三角形SBA 中，边SA上的高为二a, 贝U / SAB勺面积为x SAX a=a=【点评】 本题考查面面垂直的判定定理的运用， 注意运用转化思想， 考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题2.如图，在三棱锥 ABCD中，AB/ AD BC/ BD平面 ABD/平面BCD,点E、F （E与A、D不重合）分别在棱 AD, BD上，且 EF/ AD求证：（1） EF/狂面ABC;（2） AD/ AC【分析】（1）利用AB/ E极线面平行判定定理可得结论；

4、（2）通过取线段 CD上点G,连结FG EG使得FG/ BC则EG/ AC利用线面垂直的性质定 理可知FG/ AD结合线面垂直的判定定理可知AD/平面EFG从而可得结论.【解答】证明：（1）因为AB/ AQ EF/ AD）且A、B、E、F四点共面，所以AB/ EF又因为EF/平面ABC, AB/平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：EF/平面ABC;（2）在线段 CD上取点G,连结FG EG使得FG/ BC则EG/ AC因为 BC/ BD FG/ BC所以FG/ BD又因为平面 ABD/平面BCD,所以FG/平面ABD,所以FG/ AD又因为 AD/ EF 且 EFA FG=F所以AD/平面

5、EFG 所以AD/ EG故 AD/ AC【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题3 .如图，在三棱柱 ABC- A1B1C1中，CC1/底面ABC, AC/ CB点M和N分别是B1C1和BC 的中点(1)求证：MB/平面AC1N;(2)求证：AC/ MB.【分析】（1）证明MC1NB为平行四边形，所以 C1N MB,即可证明 MB/平面AC1N;（2）证明AC/平面BCC1B1,即可证明 AC/ MB【解答】证明：（1）证明：在三棱柱 ABC- A1B1C1中，因为点M, N分别是B

6、1C1, BC的中点，所以 C1M/ BN, C1M=BN.所以 MC1NB 为平行四边形所以 C1N/ MB.因为C1N/平面 AC1N, MB/平面 AC1N,所以MB/平面AC1N;（2）因为CC1/底面ABC,所以 AC/ CC1因为 AC/ BC B6 CC1=C所以AC/平面BCC1B1.因为 MB/平面BCC1B1所以 AC/ MB.【点评】 本题考查线面平行的判定， 考查线面垂直的判定与性质， 考查学生分析解决问题的能力，属于中档题4 .如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为直角梯形，AD|BC , PD/底面ABCQ/ ADC=90° AD=2BC, Q为

7、AD的中点，M为棱PC的中点.（/）证明：PA/平面 BMQ;3 已知PD=DC=AD=2求点P到平面BMQ的距离.【分析】（1）连结AC交BQ于N,连结MN,只要证明MIN/ PA,利用线面平行的判定定理可证；（2）由（1）可知，PA/平面BMQ,所以点P到平面BMQ的距离等于点 A到平面BMQ的距离【解答】解：（1）连结AC交BQ于N,连结MN,因为/ADC=9Q Q为AD的中点，所以N 为AC的中点.（2分）当M为PC的中点，即 PM=MC时，MN为/PAC勺中位线，故MM PA,又MM平面BMQ,所以PA/平面BMQ .（5分）（2）由（1）可知，PA/平面BMQ,所以点P到平面BMQ

8、的距离等于点 A到平面BMQ的距离，所以 VP- BMQ=VA- BMQ=VM - ABQ,取CD的中点 K,连结MK,所以 MK/ PD,（7分）又PD/底面ABCD,所以 MKI底面ABCD.又，PD=CD=Z 所以 AQ=1, BQ=2,（他 分）所以 VP BMQ=VA - BMQ=VM - ABQ=.,（W分）则点P到平面BMQ的距离d= - （12分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离5 .如图，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，BC/ A CD, E分别是 AB, AC的中点.（1）求证：B1C1/平面 AIDE;（2）求证：平面

9、A1DE/平面 ACC1A1.【分析】（1）证明B1C1/ DE即可证明B1C1/平面A1DE;（2）证明DE/平面ACC1A1,即可证明平面 A1DE/平面ACC1A1.【解答】证明：（1）因为D, E分别是AB, AC的中点，所以DE/ BC（2分）又因为在三棱柱 ABC- A1B1C1中，B1C1/ BC所以B1C1/ DE-（4分）又 B1C1/平面 A1DE, DE/平面 A1DE,所以 B1C1/平面 A1DE-（ 6 分）（2）在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，CC1/底面ABC,又 DE/底面 ABC,所以 CC1/ DE-（8 分）又 BC/ AC DE/ BC 所以 D

10、E/ AC （10 分）又 CC1, AC/平面 ACC1A1,且 CC1A AC=C 所以 DE/平面 ACC1A1 （12 分）又DE/平面A1DE,所以平面 A1DE/平面ACC1A1 （14分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题第4 页（共9页）6 .在四棱锥 P- ABCD中，PC/底面 ABCD M , N 分另是 PD,PA的中点，AC/ AQ/ ACD=/ ACB=60°PC=AC(1)求证：PA/平面CMN;(2)求证：AM/平面PBC【分析】（1）推导出MIN/ AD,PC/ ADAD/ AC从而AD/平面P

11、AC；进而AD/ PAMIN/ PA,再由CN/ PA能证明PA/平面CMN.（2）取CD的中点为 Q,连结 MQ、AQ,推导出 MQ PC,从而 MQ平面PBC,再求出 AQ/ 平面，从而平面 AMQ 平面PCB,由此能证明 AM/平面PBC.【解答】证明：（1） /M, N分别为PD、PA的中点，/ MNK/ / PAD1 中位线，/ MN/ AD/ PCt面 ABCD, AD/平面 ABCD, / PC/ AD又/AD/A CP6 AC=C /AD 辟面 PAC；/ AD/ PA/ MN/ PA又 / PC=AC N 为 PA的中点，/ CN/ "A/ MNP CN=N MN/

12、 平面 CMN, CM/平面 CMN,/ PAF面 CMN.解（2）取CD的中点为Q,连结MQ、AQ,/ MQ / PCD）中位线，/ MQ P,C又 / PC平面 PBC, MQ 平面 PBC, / MQ平面 PBC,/ AD/ AC/ ACD=60° / / ADC=30°/ / DAQ=/ ADC=307/ / QAC=/ ACQ=60°/ / ACB=60°/ AQ/ BC/ AQT面 PBC, BC/平面 PBC, / AQF面 PBC,/ MOD AQ=Q /平面 AMQ/ 平面 PCB,/ AM呼面 AMQ, / AM辟面 PBC【点评】本

13、题考查线面垂直、 线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、第5页（共9页）函数与方程思想，是中档题7 .如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面 PAD/底面ABCD,且PA=PD=AQ E、F分别为PC BD的中点.(1)求证：EF/狂面PAD;(2)求证：面 PAB/平面PDC.【分析】(1)连接AC,则F是AC的中点，E为PC的中点，证明EF/ PA利用直线与平面 平行的判定定理证明 EF/平面PAD;(2)先证明CD/ PA然后证明PA/ PD利用直线与平面垂直的

14、判定定理证明PA/平面PCD,最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB/面PDC.【解答】证明：(1)连接AC,由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F, F也为AC中点， E 为 PC 中点所以在/CP序,EF/ PA又 PA/平面 PAD, EF/平面 PAD,所以EF/平面PAD;(2)平面 PAD/平面 ABCD平面 PACT 面 ABCD=ADCD/ 平面 PAD/ CD/ PA正方形 ABCD中CD/ ADP4平面PADCD平面ABCD又，所以 PA2+PD2=AD2所以/PAD1等腰直角三角形，且，即PA/ PD因为 CDH PD=D,且 CD PD/面 PDC所以PA/

15、面PDC又 PA/画 PAB, 所以面PAB/面PDC.【点评】 本题考查直线与平面垂直的判定， 直线与平面平行的判定的应用， 考查逻辑推理能 力8 .如图，在四棱锥 P- ABCD中，PA/狂面 ABCD，底面 ABCD为菱形，且 PA=AD=Z BD=2, 第6页(共9页)E、 F 分别为AD、 PC 中点（ 1 ）求点 F 到平面 PAB 的距离；（2）求证：平面 PCE/平面PBC.【分析】（1）取PB的中点G,连接FG AG,证得底面ABCD为正方形.再由中位线定理可得FG/ AE1 FG=AE四边形AEFG是平行四边形，则 AG FE运用线面平行的判定定理可得EF/平面PAB点F与

16、点E到平面PAB的距离相等，运用线面垂直的判定和性质，证得 AD/平面PAB,即可得到所求距离；（2）运用线面垂直的判定和性质，证得BC/平面PAB, EF/平面PBC,再由面面垂直的判定定理，即可得证【解答】解：如图，取 PB的中点G,连接FG AG,因为底面ABCD为菱形，且PA=AD=2,所以底面ABCD为正方形./E F分别为AD、PC中点，/ FG/ B（AE/ BC,/ FG/ AE FG=AE/四边形AEFG是平行四边形，/ AG/ FE/ AGT面 PAB, EF /平面 PAB / EFf 面 PAB,/点F与点E到平面PAB的距离相等，由PA/平面 ABCD,可得PA/ A

17、D又 AD/ AR PAH AB=AAD/平面 PAR则点 F 到平面PAB 的距离为EA=1 （2）证明：由（1）知 AG/ PB AG/ EF/ PAF面 ABCD, / BC/ PA/ BC/ ABABH BC=B / BCf 面 PAB,由AG/平面PAB,/ BC/ A仅 / PBA BC=B/ AGT面 PBC, / E既面 PBC,/ EFf 面 PCE第8 页（共9页）/平面PCE/狂面PBC.【点评】 本题考查空间点到平面的距离， 注意运用转化思想， 考查线面平行和垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定，熟练掌握定理的条件和结论是解题的关键，属于中档题9 .在四棱锥 P- AB

18、CD中，底面 ABCD为直角梯形，/ BAD=/ ADC=90DC=2AB=2AD, BC/I PDE, F分别是PB, BC的中点.求证：（1） PC/平面DEF;（2）平面 PBC/平面PBD.【分析】（1）由中位线定理可得 PC/ EF故而PC/平面DEF;（2）由直角梯形可得 BC/ BD结合BC/ PD导出BC/平面PBD,于是平面 PBC/平面PBD.【解答】证明：（1） /耳F分别是PB, BC的中点，/ PC/ EF又 PC/平面 DEF, EF/平面 DEF,/ PCF面 DEF.（2）取CD的中点M,连结BM,则 ABDM,又 AD/ AB, AB=AD,/四边形ABMD是正方形，/ BM/ CDB