2020届高三数学一轮复习导学案教师讲义第9章解决解析几何问题的六种通法

1、解决解析几何问题的六种通法学生用书P173中点问题点差法例工I已知点A、B的坐标分别是(一1, 0)、(1, 0),直线AM、BM相交于点M,且它 们的斜率之积为一2.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若过点N, 1；的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N为线段CD的中点，求 直线l的方程.【解】 设M(x, y),因为 kAM , kBM = - 2,所以 xJ 1 x y 1 = 一 2(xw 土)，化简得 2x2+y2=2(xw ±)，即为动点M的轨迹方程.(2)设 c(x1，y1)，d(x2, y0当直线lx轴时，直线l的方程为x=；,则C(,乎, DCT) 此时CD的中点

2、不是N,不合题意.故设直线l的方程为y-1 = kx-2)将 C(x1，y1)，D(x2, y2)代入 2x2 + y2 = 2(xw ±1)得2x2+y2=2,2x2+y2=2,1一.、2X2X7整理得 k= y1。2 =-2-1一以=-2=- 1,x1一 x2y+ y22X1所以直线l的方程为y-1 = (-1)x jx_2即所求直线l的方程为2x+ 2y- 3= 0.点评直线y=kx+m与圆锥曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2, y2)两点，其中点为 M(xo, yo),这类 问题最常用的方法是“点差法”，即A, B在圆锥曲线上，坐标适合圆锥曲线方程，得两个方程作差，通过分

3、解因式，然后使用中点坐标公式、 两点连线的斜率公式建立求解目标方程， 解方程解决问题.对称问题几何意义法例互1已知椭圆C：亲+ y-=1,直线l: y=2x+b,在椭圆上是否存在两点关于直线 l 16 9对称，若存在，求出 b的取值范围.【解】设椭圆C：'+ '= 1上存在两点P（xn yi）, Q（X2, y2）关于直线l: y=2x+b对称，P, 16 9Q的中点为M（X0, y。）.因为PQ±l,所以可设直线 PQ的方程为y= 2x+a,代入C化简整理得13x216ax + 16a2144=0.由根与系数的关系得x1 + x2=16a, y1 + y2=18a,

4、故得“嘉 善；因为 A>0,所以（16a）24X 13（16a2144）>0,解得一VT3<a</T3.又因为M g|，骂,在直线l： y=2x+b上，所以碧=¥a+b，所以b=一占，131313因此b的取值范围是7位，7压”；1313故在椭圆c上存在两点关于直线l对称，且b的取值范围是坐，7毋1313圆锥曲线上存在两点， 关于某条直线对称，求参数的取值范围，这类问题常见的解法是：设P（x1，y1），Q（x2, y2）是圆锥曲线上关于直线 y=kx+b对称的两点，则 PQ的方程为y=-1 一 , 一 ，、，一rx+ m,代入圆锥曲线方程，得到关于x（或y）的一

5、元二次方程，其中 P, Q的横（或纵）坐标k即为方程的根，故 A>0,从而求得k（或b）的取值范围.©©©最彳1 （范围）问题不等式法例3已知抛物线C的顶点为0（0, 0）,焦点为F（0, 1）.（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作直线交抛物线 C于A, B两点.若直线 AO, B0分别交直线l: y = x2于M, N两点，求|MN|的最小值.【解】(1)由题意可设抛物线 C的方程为x2 = 2py(p>0),则2=1, p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)易知直线AB的斜率存在.设 A(xi, y1)，B(X2, 丫2),直线AB的方程

6、为y= kx+ 1.y=kx+ 1,、n 2消去y,整理得x2-4kx-4=0,x = 4y所以 x1 + x2=4k, x1x2=4.从而 |xi x2|= 4，k? + 1.yiy= x, 由$ x1解得点M的横坐标y= x-2,22xm=u,又所以2xixM=口.x1 4同理，点N的横坐标xN=-8.4-x2所以 |MN|= V2xm-xn|= V2=8 2x1 一 x2x1x24 （x+x2）+164 x1 4 x28 ：2 ,k2 1|4k-3|令 4k-3=t, tw0,贝U k=当 t>0 时，|MN|=272当 t<0 时，MN|=22+ 6+1>2 2.5;

7、+方甑.综上所述，当t= 25,即k= 3时，|MN|取得最小值8V2解析几何最值(范围)问题，有时需要使用双参数表达直线方程，解决方法：一是根据直 线满足的条件，建立双参数之间的关系， 把问题化为单参数问题； 二是直接使用双参数表达 问题，结合求解目标确定解题方案.©©®定点问题参数法一.x21 例4已知椭圆C： z+y2=1,过椭圆C的右顶点A的两条斜率之积为一4的直线分别与椭圆交于点 M, N,问：直线 MN是否过定点 D?若过定点 D,求出点D的坐标；若不过定点，请说明理由.点拨法一，以双参数表达直线 MN的方程，求解双参数满足的关系.法二，以直线AM的斜

8、率为参数表达直线 MN的方程.【解】 法一：直线MN过定点D.当直线MN的斜率存在时,设 MN ： y= kx+ m,代入椭圆方程得(1+4k2)x2+8kmx+ 4m2 4= 0.设 M%, y1), N(x2, y2),则 Xi + X2=8km4m2 4xx2=21 + 4k ' 1x2 1 + 4k .根据已知可知x;1,即 4y1y2+ (x1 一 2)(x2 2) = 0,即(1 + 4k2)x1x2 + (4 km 2)(x + x2) + 4m2+4= 0,，一 c、8 km2 ,-+ (4km- 2)1 + 4k24m +4=0,即(4km 2)( 8km) + 8m

9、2(1 + 4k2) = 0, 即 m2+2km = 0,得 m=0或 m= 2k.当m=0时，直线y=kx经过定点D(0, 0).由于AM, AN的斜率之积为负值，故点 M, N在椭圆上位于x轴两侧，直线 MN与x轴的交点一定在椭圆内部，而当m= 2k时，直线y=kx2k过定点(2, 0),故不可能.11当MN的斜率不存在时，点 M, N关于x轴对称，此时 AM, AN的斜率分别为彳，一；此时M, N恰为椭圆的上下顶点，直线 MN也过定点(0, 0).综上可知，直线 MN过定点D(0, 0).法二：直线MN恒过定点D.根据已知直线 AM, AN的斜率存在且不为零，A(2, 0).设 AM :

10、 y= k(x-2),代入椭圆方程，得(1+ 4k2)x216k2x+ 16k24=0,设 M(xn y1),则 2xi =16k241 + 4k2 '-4ky1 = k(x1 2) = 2,1 + 4k18k22-4k、即 ME K.设直线AN的斜率为k',则kk'= ,即k'=；, 44k2把点M坐标中的k替换为一-1,得N2弓普，-47 :2k1 -4k24k 4k + 1 4k + 1当M , N的横坐标不相等，即k w,kMN=-2kN,直线MN的方程为y工1-4k24k2 + 122-8k、口 2kx- .2, d I；即 y= ；TTX,<

11、4k + 1 /1 -4k该直线恒过定点(0, 0).当k=9时，M, N的横坐标为零，直线 MN也过定点(0, 0).综上可知，直线 MN过定点D(0, 0).点评证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出x, y的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.定值问题变量无关法例5】已知点M是椭圆C：表+y2= 1(a>b>0)上一点，F1, F2分别为C的左、右焦点， a b且 |F1F2|=4, / FMF2 = 60° , F1MF2 的面积为 33(1)求椭圆C的方程；(2)设N(0, 2),过点P(1, 2)作直线

12、1,交椭圆C异于N的A, B两点，直线NA,NB的斜率分别为k1，卜2,证明：k1 + k2为定值.【解】在F1MF2中，由 2|MF1|MF2|sin 60° =坐,得 |MF1|MF2|=竽由余弦定理，得 |FF2|2= |MF|2+|MF2|22|MF“ . |MF2| cos 60° = (|MF1|+|MF2|)2 2|MF1| |MF2|(1 + cos 60° ),解得 |MFi|+ |MF2|=4 .2.从而 2a= |MFi|+|MF2| = 4亚，即 a=2我.由1F1F2|=4得c= 2,从而 b= 2,故椭圆C的方程为x+y=1.84(2)

13、证明：当直线l的斜率存在时，设斜率为k,则其方程为y+2 = k(x+ 1),得(1 + 2k2)x2 + 4k(k- 2)x+ 2k2 8k = 0.设 A(x1，y1)，B(x2, y2),则 xi+x2= 一4k (k 2)2k2 8k2 , x1X2=2 .1 + 2k1 + 2k从而小绿V(2)=2k-(k-4)4 = 4.当直线l的斜率不存在时，可得 A(1,44),.14B(1, - 得 ki + k2=4.综上,ki + k2为定值.点评定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等， 这类问题的一般解法是使用变化的量表达

14、求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关.探索问题直推法2例为 已知曲线t： X2+y2= i(yw。)，点M他,0), N(0, 1),是否存在经过点(0,且斜率为k的直线l与曲线T有两个不同的交点 P和Q,使得向量OP+OQ与MN共线？若 存在，求出k值；若不存在，请说明理由.【解】 假设存在，则l: y=kx+42,代入椭圆方程得(1 + 2k2)x2+4V2kx + 2=0.因为l与椭圆有两个不同的交点，所以= (42k)2-8(1 + 2k2)>0,解得k2>2,由题意知直线l不经过椭圆的左、右顶点，即 kw 土，亦即k2>2且k2w1.设 P（x1，y1），Q（x2, y2）,x1+x2= 一42kr-2.1+2k得 y1 + y2= k（x + x2） +2亚=12+272 = 122;2. 1十2k1十2k所以 OP+OQ = （x1 + x2,