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1、第 1 页一元二次方程1 北京模拟关于x的一元二次方程x2pxq10 有一个实数根为 21用含p的代数式表示q;2求证:抛物线y1x2pxq及x轴有两个交点;3设抛物线y1x2pxq的顶点为M,及y轴的交点为E,抛物线y2x2pxq1 的顶点为N,及y轴的交点为F,假设四边形FEMN的面积等于 2,求p的值2设关于x的方程x25xm210 的两个实数根分别为、,试确定实数m的取值范围,使|6 成立3 湖南怀化x1,x2是一元二次方程(a6)x22axa0 的两个实数根1是否存在实数a,使x1x1x24x2成立?假设存在,求出a的值;假设不存在,请你说明理由;2求使(x11)(x21)为负整数的
2、实数a的整数值4 江苏模拟关于x的方程x2(ab1)xa0b0有两个实数根x1、x2,且x1x21求证:x11x22假设点A1,2 ,B ,1 ,C1,1 ,点Px1,x212在ABC的三条边上运动,问是否存在这样的点P,使ab ?假设存在,求出点P的坐标;假设不存在,请说明理54由第 2 页5 福建模拟方程组有两个实数解和,且x1x20,x1x21求b的取值范围;2否存在实数b,使得1?假设存在,求出b的值;1x11x2假设不存在,请说明理由6 成都某校自主招生a,b,c为实数,且满足abc0,abc8,求c的取值范围7 四川某校自主招生实数x、y满足,求xy的取值范围8 福建某校自主招生方
3、程(ax1)2a2(1x2)a1的两个实数根x1、x2满足x1x2,求证:1x10 x21答案1 北京模拟关于x的一元二次方程x2pxq10 有一个实数根为 21用含p的代数式表示q;2求证:抛物线y1x2pxq及x轴有两个交点;3设抛物线y1x2pxq的顶点为M,及y轴的交点为E,抛物线y2x2pxq1 的顶点为N,及y轴的交点为F,假设四边形FEMN的面积等于 2,求p的值解:1关于x的一元二次方程x2pxq10 有一个实数根为 2第 3 页222pq10,整理得:q2p52p24qp24(2p5)p28p20(p4)24无论p取任何实数,都有(p4)20无论p取任何实数,都有(p4)24
4、0,0抛物线y1x2pxq及x轴有两个交点3抛物线y1x2pxq及抛物线y2x2pxq1 的对称轴一样,都为直线x ,且开口大小一样,抛物线p2y2x2pxq1 可由抛物线y1x2pxq沿y轴方向向上平移一个单位得到EFMN,EFMN1四边形FEMN是平行四边形由题意得S四边形FEMNEF| |2,即| |2p2p2p42 安徽某校自主招生设关于x的方程x25xm210 的两个实数根分别为、,试确定实数m的取值范围,使|6 成立解:524(m21)4m221不管m取何值,方程x25xm210 都有两个不相等的实根NEFM第 4 页x25xm210,5,1m2|6,222|36,即()222|3
5、6252(1m2)2|1m2|36当 1m20,即1m1 时,2536 成立1m1 当 1m20,即m1 或m1 时,得 254(1m2)36解得mm1 或 1m综合、得:m3 湖南怀化x1,x2是一元二次方程(a6)x22axa0 的两个实数根1是否存在实数a,使x1x1x24x2成立?假设存在,求出a的值;假设不存在,请你说明理由;2求使(x11)(x21)为负整数的实数a的整数值解:1x1,x2是一元二次方程(a6)x22axa0 的两个实数根 即假设存在实数a使x1x1x24x2成立,那么 4(x1x2)x1x2040,得a242aa6aa6a24 满足a0 且a6第 5 页存在实数a
6、24,使x1x1x24x2成立2(x11)(x21)(x1x2)x1x2112aa6aa6aa6要使(x11)(x21)为负整数,那么只需a为 7,8,9,124 江苏模拟关于x的方程x2(ab1)xa0b0有两个实数根x1、x2,且x1x21求证:x11x22假设点A1,2 ,B ,1 ,C1,1 ,点Px1,x212在ABC的三条边上运动,问是否存在这样的点P,使ab ?假设存在,求出点P的坐标;假设不存在,请说明理54由解:1由根及系数的关系得:x1x2ab1,x1x2aax1x2,bx1x2x1x21b0,x1x2x1x2101x1x2x1x20(1x1)(1x2)0又x1x2,1x1
7、0,1x20即x11,x21x11x22x1x2ab1,ab ,x1x25494当点Px1,x2在BC边上运动时Oxy112CAB第 6 页那么 x11,x2112x1 x2 1 1949454故在BC边上不存在满足条件的点P当点Px1,x2在AC边上运动时那么x11,1x22取x2 ,那么x1x2 ,即ab549454故在AC边上存在满足条件的点P1,54当点Px1,x2在AB边上运动时那么 x11,1x22,易知x22x112x1x2 ,x1 ,x2943432又 1,1 2123432故在AB边上存在满足条件的点 ,3432综上所述,当点Px1,x2在ABC的三条边上运动时,在BC边上没
8、有满足条件的点,而在AC、AB边上存在满足条件的点,它们分别是1,和 ,5434325 福建模拟方程组有两个实数解和,且x1x20,x1x21求b的取值范围;第 7 页2否存在实数b,使得1?假设存在,求出b的值;1x11x2假设不存在,请说明理由解:1由得 4x(2xb)2,整理得 4x2(4b4)xb20 x1x2,0,即(4b4)216b20,解得b12又x1x20,0,b0b24综上所述,b 且b0122x1x21b,x1x2,1 得b241x11x2x1x2x1x24(1b)b2b24b40,解得b222222(1) ,b22不合题意,舍去22122b2226 成都某校自主招生a,b
9、,c为实数,且满足abc0,abc8,求c的取值范围解:abc0,abc8,a,b,c都不为零,且abc,ab8ca,b是方程x2cx 0 的两个实数根8cc24 08c第 8 页当c0 时,c24 0 恒成立8c当c0 时,得c332,c342故c的取值范围是c0 或c3427 四川某校自主招生实数x、y满足,求xy的取值范围解:(xy)20,x2y22xy2(x2y2)(xy)22(4a22a2)(3a1)2即a22a30,解得1a3xy (xy)2(x2y2)12 (3a1)2(4a22a2)12 (5a24a1)12 (a )25225910当a 时,xy有最小值;当a3 时有最大值 1625910 xy169108 福建某校自主招生方程(ax1)2a2(1x2)a1的两个实数根x1、x2满足x1x2,求证:1x10 x21证明:将原方程整理,得 2a2
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