医药数理统计—3

1、概率的运算法则概率的运算法则2. 条件概率条件概率3. 乘法公式乘法公式5. 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式内容提要内容提要4. 事件的独立性事件的独立性 1. 概率的加法概率的加法。)()()()(ABPBPAPBAPSAB返回主目录对任意的两个事件对任意的两个事件A，B概率的加法公式概率的加法公式()( )( )( )P ABCP AP BP C推论2）若）若A,B,C为两两互不相容的事件，则为两两互不相容的事件，则1）当事件）当事件A，B互不相容时互不相容时()( )( )P ABP AP B3）若）若A1，A2,An为两两互不相容的事件，则为两两互不相容的事件，则1212

2、(.)()().()nnP AAAP AP AP A4）事件）事件 为互相对立事件为互相对立事件( )1( )P AP A 3）若）若A1，A2,An为完备事件组，则为完备事件组，则1212()().()(.)1nnP AP AP AP AAA,A A5) 若事件若事件A B,则则P(A-B)=P(A)-P(B) 例例1n盒中有盒中有32只红球只红球, 4只白球只白球,从中任取从中任取2支支,求求: 至少有至少有1只白球的概率只白球的概率.n解：解：P(恰好恰好1只白球只白球)=P(A) =2032. 0/23613214CCC0095. 023624CCP(恰好恰好2只白球只白球)=P(B)

3、 =P(至少至少1只白球只白球)=P(A+B) =P(A)+P(B) =0.2032+0.0095 =0.2127解法解法2:2:2127.01)(1)(236232CCDPDP例例2 2 小王参加小王参加“智力大冲浪智力大冲浪”游戏游戏, , 他能答他能答出甲、乙二类问题的概率分别为出甲、乙二类问题的概率分别为0.70.7和和0.2,0.2, 两类问题都能答出的概率为两类问题都能答出的概率为0.1. 0.1. 求小王求小王解解 事件事件A,BA,B分别表示分别表示“能答出甲能答出甲, ,乙类问题乙类问题”(1)6 . 01 . 07 . 0)()()(ABPAPBAP(1) (1) 答出甲类

4、而答不出乙类问题的概率答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) (2) 至少有一类问题能答出的概率至少有一类问题能答出的概率 (3) (3) 两类问题都答不出的概率两类问题都答不出的概率(2)8 . 0)()()()(ABPBPAPBAP(3)2 . 0)()(BAPBAP 在解决许多概率问题时，往往需要在在解决许多概率问题时，往往需要在某些附加信息某些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.如在事件如在事件发生的条件下求事件发生的条件下求事件发发生的概率，将此概率记作生的概率，将此概率记作P(|). 一般一般 P(|) P() ， 那么那么 P(|) ？ 条件概率条件概率 光明玩具厂

5、光明玩具厂-有职工有职工500人，男女各半，人，男女各半，男女职工中非熟练工人分别为男女职工中非熟练工人分别为40人与人与10人，现人，现从该厂任取一人，问：从该厂任取一人，问：1）改职工时非熟练工人的概率是多少？）改职工时非熟练工人的概率是多少？2）若已知选出的是女职工，）若已知选出的是女职工， 她是非熟练工人她是非熟练工人的概率是多少？的概率是多少？ A B=设选出的工人是非熟练工人选出的工人是女职工例例 1501) ( )0.1,500102(|0.04250P AP A B）解：解： 将一枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次 ,观察其正反面发生观察其正反面发生情况。情况。设设 A= “至少

6、有一次为正面至少有一次为正面”, B=“两次掷出同一面两次掷出同一面”. 现在来求已知事件现在来求已知事件A 已经发生的条件下事已经发生的条件下事件件 B 发生的概率发生的概率.分析分析 , , , .HH HT TH TT( )21( ).( )42N BP BN. , 为反面为反面为正面为正面设设TH例例 2,TTHHBTHHTHHA ( )3( ),( )4N AP AN易知易知,)(？考考虑虑 ABP )(ABP).(BP )()(ANABN 在已知在已知发生的条件下考虑发生的条件下考虑，样本空间减缩为，样本空间减缩为,AHH HT TH 而而 中只有一个样本点中只有一个样本点,BHH

7、 故故()()N ABN31 ()( )(|)( )( )N ABNP B AN A N.)()(APABP . 1)( ABN即即易知易知)()()(BPABPBAP 同理可得同理可得为事件为事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率发生的条件概率.)()()(, 0)(,条件概率条件概率发生的发生的发生的条件下事件发生的条件下事件为在事件为在事件称称且且是两个事件是两个事件设设BAAPABPABPAPBA (2) 定义定义,0)(时时 BP例例 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率为岁以上的概率为0.8, 活到活到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.

8、4, 如果现在有一个如果现在有一个20岁的这种动物岁的这种动物, 问它能活到问它能活到25岁以上的概率是岁以上的概率是多少多少? 设设 A =“ 能活能活 20 岁以上岁以上 ” 的事件，的事件， B= “ 能活能活 25 岁以上岁以上”的事件的事件,则所求概率为则所求概率为, 8 . 0)( AP因因为为.)()()(APABPABP , 4 . 0)( BP),()(BPABP .218 . 04 . 0 )()()(APABPABP 所所以以解解).()(.)()()()(12122112112121 nnnnnAAAAPAAAAPAAAPAAPAPAAAP则则有有且且, 0)(121

9、nAAAP, 2,:221 nnAAAn个个事事件件为为设设推推广广则则有有且且为为事事件件设设推推广广, 0)(,:121321 AAPAAA).()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP ).()()(, 0)(BPBAPABPBP 则有则有设设乘法公式乘法公式例例3 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时第一次落下时打破的概率为打破的概率为1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 第二次落第二次落下打破的概率为下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破若前两次落下未打破, 第三第三次落下打破的概率为次落下打破的概率为9/10.试求透镜落

10、下三次而未试求透镜落下三次而未打破的概率打破的概率.解解以以B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”.,321AAAB 因因为为)()(321AAAPBP 所所以以)()()(213121AAAPAAPAP )1091)(1071)(211( .2003 ,)3 , 2 , 1(次次落落下下打打破破透透镜镜第第表表示示事事件件以以iiAi n引例：华夏保安公司有行政管理人员引例：华夏保安公司有行政管理人员100名，其中年轻名，其中年轻人人40名，该公司规定每天从所有行政人员中随机挑选名，该公司规定每天从所有行政人员中随机挑选一人为当天值班人员，且不论其是否前一天刚好值过

11、一人为当天值班人员，且不论其是否前一天刚好值过班，现计算下列两个事件的概率。班，现计算下列两个事件的概率。n1）已知第一天选出的是年轻人，）已知第一天选出的是年轻人， 第二天选出的也是第二天选出的也是年轻人的概率；年轻人的概率；n2）第二天选出的是年轻人的概率。）第二天选出的是年轻人的概率。解解: 设设A=第一天选出的是年轻人第一天选出的是年轻人 B=第二天选出的是年轻人第二天选出的是年轻人事件的相互独立性事件的相互独立性4040(|), ( ) (|)( )100100P A BP BP A BP B.,)()()(,独立独立简称简称相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是

12、两事件是两事件设设BABABPAPABPBA 事件事件 A 与与 事件事件 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的的发生与事件发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.说明说明 （2）定义定义事件的相互独立性事件的相互独立性两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 AB,21)(AP若例如例如两事件相互独立与两事件互斥的关系两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考请同学们思考二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系A两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 ABAB例如例如两事件相互独立与两事件互斥的关系

13、两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考请同学们思考二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系,21)(,21)( BPAP若若两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 ABA,21)(,21)( BPAP若若B).()()(BPAPABP 则则例如例如由此可见由此可见两事件两事件相互独立，相互独立，但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件相互独立与两事件互斥的关系两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考请同学们思考二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系ABAB21)(,21)( BPAP若若. )()()(BPAPABP 故故由此可见由此可见两事件

14、两事件互斥互斥但但不独立不独立., 0)( ABP则则,41)()( BPAPA，B互斥互斥（3）三事件两两相互独立的概念）三事件两两相互独立的概念.,),()()(),()()(),()()(,两两相互独立两两相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设定义定义CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 注意注意三个事件相互独立三个事件相互独立三个事件两两相互独立三个事件两两相互独立（4）三事件相互独立的概念）三事件相互独立的概念.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是

15、三个事件是三个事件设设定义定义CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA ),()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP .,21为为相相互互独独立立的的事事件件则则称称nAAAn 个事件相互独立个事件相互独立n个事件两两相互独立个事件两两相互独立具有等式具有等式任意任意如果对于任意如果对于任意个事件个事件是是设设,1),1(,2121niiinkknAAAkn 推广推广12,(2),(2).nA AAnkkn注意： 若事件相互独立 则其中任意个事件也是相互独立证明证明)()()(APABPABP )()()()(BPAPBPAP ).()(BP

16、ABP .).()(,. 0)(,反反之之亦亦然然则则互互独独立立相相若若且且是是两两事事件件设设BPABPBAAPBA 定理定理必要性必要性充分性充分性)()()(BPAPABP 由由).()(BPABP 由由)()()|()(BPAPABPAP )()()(BPAPABP .,也相互独立也相互独立与与与与与与则下列各对事件则下列各对事件相互独立相互独立若若BABABABA 定理定理例例 观察表明，观察表明， 一家医院的挂号处，新到者是一一家医院的挂号处，新到者是一急诊病人的概率是急诊病人的概率是1/6.求第求第 r 个到达的病人为首个到达的病人为首例急诊病人的概率例急诊病人的概率.设各到达

17、的病人是否为急诊设各到达的病人是否为急诊病人相互独立病人相互独立. 1,2, irDiiAr解记为“第 个到达者为急诊病人”，为“第 个到达者为首例急诊病人”，rrrDDDDA121 则则.61)611()()()()()(1121 rrrrDPDPDPDPAP例题讲解例题讲解例例 某一治疗方法对一个病人有效的概率为某一治疗方法对一个病人有效的概率为0.9 ，今对今对3个病人进行了治疗，求对个病人进行了治疗，求对3个病人的治疗个病人的治疗中，至少有一人是有效的概率中，至少有一人是有效的概率.设对各个病人的设对各个病人的治疗效果是相互独立的治疗效果是相互独立的.“3,1,iAAi解设对 个病人治

18、疗中 至少 人有效的“对第 个人有效”则)(1)(APAP 31 (1 0.9)0.999 )(1321AAAP )(1)(1)(1(1321APAPAP )(321AAAP ,(1 2),.p p 甲、乙两人进行乒乓球比赛 每局甲胜的概率为问对甲而言 采用三局二胜制有利 还是采用五局三胜制有利 设各局胜负相互独立例例解解,甲最终获胜甲最终获胜采用三局二胜制采用三局二胜制:胜局情况可能是胜局情况可能是“甲甲甲甲”, “乙乙甲甲甲甲”,“甲甲乙乙甲甲”;,容容由于这三种情况互不相由于这三种情况互不相:获胜的概率为获胜的概率为于是由独立性得甲最终于是由独立性得甲最终).1(2221pppp ,3,

19、局局至至少少需需比比赛赛甲甲最最终终获获胜胜采采用用五五局局三三胜胜制制.,局局而而前前面面甲甲需需胜胜二二且且最最后后一一局局必必需需是是甲甲胜胜,比比赛赛四四局局例例如如:则则甲甲的的胜胜局局情情况况可可能能是是“甲甲乙乙甲甲甲甲”,“乙乙甲甲甲甲甲甲”,“甲甲甲甲乙乙甲甲”;,容容由于这三种情况互不相由于这三种情况互不相:,甲甲最最终终获获胜胜的的概概率率为为在在五五局局三三胜胜制制下下.)1(24)1(2323332pppppp :且由独立性得)312156(23212 pppppp由由于于).12()1(322 ppp;,2112ppp 时时当当.21,2112 ppp时时当当. ,

20、21制制有有利利对对甲甲来来说说采采用用五五局局三三胜胜时时故故当当 p. 21,21都都是是相相同同的的概概率率是是两两种种赛赛制制甲甲最最终终获获胜胜的的时时当当 p121212,(i), ,1,2, ;(ii).,.nijnnEB BBEB Bij i jnBBBB BB 定义设为试验 的样本空间为的一组事件 若则称为样本空间的一个划分(1) 完备事件组（完备事件组（样本空间的划分）样本空间的划分）1B2B3B1 nBnB全概率公式全概率公式21 有三个罐子有三个罐子,1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球 , 2号装有号装有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装有号装有 2 红红 2 黑球

21、黑球. 某人从中随机取某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率求取得红球的概率.3引例：引例： 如何求取得红球的概率？如何求取得红球的概率？(2) 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式121122,()0(1, 2, ),( )() ()() ()() ()ninnEAEB BBP BinP AP A B P BP A BP BP A BP B定理设试验的样本空间为为的事件为的一个划分 且则 jiBB由由 )(jiABAB)()()()(21nABPABPABPAP 图示图示A1B2B3B1 nBnB证明证明12()nAAABBB .21nABAB

22、AB ).()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAP 化整为零各个击破它可以将一个复杂它可以将一个复杂事件的概率计算问事件的概率计算问题题,分解为若干个分解为若干个简单事件的概率计简单事件的概率计算问题算问题,最后应用最后应用概率的可加性求出概率的可加性求出最终结果最终结果.21解解 记记 Bi = 球取自球取自 i 号罐号罐 i=1, 2, 3; A = 取得红球取得红球 有三个罐子有三个罐子,1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球 , 2号装有号装有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装有号装有 2 红红 2 黑球黑球. 某人从中随某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，

23、机取一罐，再从中任意取出一球，求取得求取得红球红球的概率的概率.31)|()()(yiiiBAPBPAP由全概率公式得代入数据计算得：代入数据计算得：P( (A) ) 0.639 . 3再看引例再看引例 依题意依题意: P(A|B1)=2/3, P(A|B2 )=3/4,P(A|B3 )=1/2,3/1)(iBP例： 甲、乙、丙三车间的次品率分别为甲、乙、丙三车间的次品率分别为1%，1.5%，2%，且全厂各车间产品所占比例为，且全厂各车间产品所占比例为25%，35%，40%，求全厂的次品率？，求全厂的次品率？解：设设Ai (I=1,2,3):分别为抽得甲、乙、丙三车间的产品分别为抽得甲、乙、丙

24、三车间的产品 B：表示抽到次品。：表示抽到次品。则：P（B）niiiABPAP1)()(%2%40%5 . 1%35%1%25%6 . 1引例：引例：某人从任一罐中任意摸出一球，发现某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自是红球，求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率.213这是这是“已知结果求原已知结果求原因因”的问题是求一个条的问题是求一个条件概率件概率.下面就介绍为解决这类问题而引出的下面就介绍为解决这类问题而引出的 Bayes( (贝叶斯贝叶斯) )公式公式Bayes(贝叶斯贝叶斯)公式公式称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式.121.,( )0,()0,(1,2, ),() (

25、)(),1,2, .() ()niiiinjjjEAEBBBP AP BinP A B P BP B AinP A BP B定理设试验的样本空间为为的事件为的一个划分 且则 (3) 贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯资料贝叶斯资料证明证明)()()(APABPABPii ,)()()()(1 njjjiiBPBAPBPBAP., 2 , 1ni 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出. 它是在观察到事件它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导已发生的条件下，寻找导致致B发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率.某人从任一罐中任意摸出一球，发现某人从任一罐中任意摸出一球，发现

26、是红球，求该球是取自是红球，求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率.再看引例再看引例 21解解 记记 Bi = 球取自球取自 i 号罐号罐 i=1, 2, 3; A = 取得红球取得红球 B1,B2,B3是样本空间的一个划分是样本空间的一个划分 31)|()()()|()|(iiiBAPBPBPBAPABP由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得代入数据计算得：代入数据计算得：3其中其中P(A|B1)=2/3, P(A|B2 )=3/4,P(A|B3 )=1/2,P(Bi)=1/3,i=1,2,3， )|(ABP0.3478;,)1.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概概率率求求它它是是次次品品的的元元件件在在仓仓库库中中随随机机地地取取一一只只无无区区别别的的标标志志且且仓仓库库中中是是均均匀匀混混合合的的设设这这三三家家工工厂厂的的产产品品在在提提供供元元件件的的份份额额次次品品率率元元件件制制造造厂厂的的数数据据根根据据以以往往的的记记录录有有以以下下件件制制造造厂厂提提供供的的的的元元件件是是由由三三家家元元某某电电子子设设备备制制造造厂厂所所用用例例.