一元二次方程的应用—知识讲解提高

1、一元二次方程的应用一知识讲解提升【学习目标】1 .通过分析具体问题中的数量关系,建立方程模型并解决实际问题,总结运用方程解决实际问题的一 般步骤；2 .通过列方程解应用题,进一步提升逻辑思维水平、分析问题和解决问题的水平【要点梳理】要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1 .利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系 2 .解决应用题的一般步骤：审审题目,分清量、未知量、等量关系等 ；设设未知数,有时会用未知数表示相关的量；歹U 根据题目中的等量关系,列出方程；解解方程,注意分式方程需检验,将所求量表示清楚；验检验方程的解能否保证实际问题有意义答写出答案,切忌答非所问.要点诠释：列方程解实际问

2、题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.要点二、一元二次方程应用题的主要类型1 .数字问题1任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位,它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、,数位上的数字只能是0、1、2、9之中的数,而最高位上的数不能为0.因此,任何一个多位数,都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示,这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数,个位上数为a,十位上数为b,百位上数为c,那么这个三位数可表示为：100c+10b+a.2

3、几个连续整数中,相邻两个整数相差1.如：三个连续整数,设中间一个数为x,那么另两个数分别为 x-1 , x+1.几个连续偶数或奇数中,相邻两个偶数或奇数相差2.如：三个连续偶数奇数,设中间一个数为 x,那么另两个数分别为 x-2, x+2.2 .平均变化率问题列一元二次方程解决增长降低率问题时,要理清原来数、后来数、增长率或降低率,以及增长或 降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程,那么应在原数的根底上增长或降低两次 1增长率问题：平均增长率公式为a1 xn b a为原来数,x为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量.2降低率问题：平均降低率公式为a1 xn b a为原来数,

4、x为平均降低率,n为降低次数,b为降低后的量.3 .利息问题1概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金 .利息：银行付给顾客的酬金叫利息 .本息和：本金和利息的和叫本息和 .期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率2公式：利息=本金x利率x期数利息税=利息X税率本金X 1 +利率X期数尸本息和本金X 1+利率X期数X 1-税率产本息和收利息税时4 .利润销售问题利润销售问题中常用的等量关系:利润=售价-进彳-本钱总利润=每件的利润X总件数利润把进盘而,阳标价乂曙二售价 进价乂1+不忖率标价乂曹臀5 .形积问题此类问题属于几何图形的应用问题,解决问题的关键是将不规那么图形分割

5、或组合成规那么图形,根据图形的面积或体积公式,找出未知量与量的内在关系并列出方程要点诠释：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题列方程,然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想一方程思想【典型例题】类型一、数字问题11.两个连续负奇数的积是143,求这两个数.【答案与解析】解：设这两个连续奇数为 x, x+2 ,根据题意x x+2 =143,解得x1=11 不合题意舍去,x2= - 13,贝U 当 x=- 13 时,x+2= 11.答：这两个数是-13, - 11.故答案为：-13, - 11.【总结升华】得到两个奇数的代数式是解决此题的突破点

6、；根据两个数的积得到等量关系是解决此题的 关键.类型二、平均变化率问题W2.随着居民经济收入的不断提升以及汽车业的快速开展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,抽样调查显示,截止2021年底某市汽车拥有量为16.9万辆.己知2021年底该市汽车拥有量为 10万辆,设2021年底至2021年底该市汽车拥有量的平均增长率为x,根据题意列方程得()A. 10 (1+x) 2=16.9 B, 10 (1+2x) =16.9 C, 10 (1-x) 2=16.9 D, 10(1-2x) =16.9【思路点拨】 根据题意可得：2021年底该市汽车拥有量X ( 1+增长率)2=2021年底某市汽车拥有量,根

7、据等量关系列出方程即可.【答案】A.【解析】解：设2021年底至2021年底该市汽车拥有量的平均增长率为x,根据题意,可列方程：10 (1+x) 2=16.9,应选：A.【总结升华】 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,关键是掌握平均变化率的方法,假设设变 化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,那么经过两次变化后的数量关系为a (1±x) 2=b.举一反三：【变式】有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,根据这样的速度,第三轮传染后,患流感的人数是()A . 1331 B . 1210 C . 1100 D , 1000【答案】设每人每轮传染 x人,那么(

8、1+x) 2=121, x1=10, x2= -12舍去,第三轮传染后患流感人数为121(1 + 10) = 1331人.类型三、利润(销售)问题剑士证的日匕石田、屿小工1H_3.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养最多只能存活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也会有一定数量的螃蟹死去,假设放养期间内螃蟹的个体重量根本保持不变.现有一经销商,按市场价收购了这种活螃蟹1000kg放养在塘内,此时市场价为30元/kg .据测算此后每千克的活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一天各种费用支出400元,且平均每天还有 10 kg的蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是20元/kg ,如果经

9、销商将这批蟹出售后能获利6250元,那么他应放养多少天后再一次性售出 【答案与解析】解：设经销商放养的活蟹时间定为x天较为适宜.根据题意,得 20X 10x+(30+x)(1000-10x)-(400x+30 X 1000) =6250,整理,得x2-50x+625 = 0,x i = X2=25.答：经销商放养 25天后,再一次性售出可获利6250元.【总结升华】 此题牵涉到的量比拟多,找等量关系列方程有一定难度.我们可以把复杂问题转化成假设干 个简单问题分别解决,最后用一根主线连在一起.这里放养的天数x与死蟹销售资金、x天后活蟹的价格、x天后活蟹的剩余量及 x天的开支情况等问题都有关系,通

10、过这个“ X把上述几 个量联系在一起,列出了方程,使问题得以突破.举一反三：【变式】商场某种商品平均每天可销售30件,每彳盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价举措.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.据此规律计算：每件商品降价多少元时,商场日盈利可到达2100元.【答案】解：二降价1元,可多售出2件,降价x元,可多售出2x件,盈利的钱数=50-x,由题意得：(50-x) (30+2x) =2100,化简彳导:x2 - 35x+300=0 ,解得：x1=15, x2=20,该商场为了尽快减少库存,.降的越多,越吸引顾客,选 x=20,答:每件商品降价20元时

11、,商场日盈利可到达 2100元.类型四、行程问题©4. 一辆汽车以20ms的速度行驶,司机发现前方路面有情况,紧急刹车后又滑行25m后停车.(1)从刹车到停车用了多少时间(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少(3)刹车后汽车滑行到 15m时约用了多少时间(精确到 0.1s) ?【答案与解析】解：(1)刹车后滑行路程为 25m,如果知道滑行的平均速度,那么根据路程、速度、时间三者的关系,可求出滑行时间.为使问题简化,不妨设车速从20m/s到0m/s是随时间均匀变化的.这段时间内的平均车速等于最大速度与最小速度的平均值,即 "d 10(m / s),于是刹车到停车的时间为“行驶路程平均车速,即25 10 2.5(s) .(2)从刹车到停车平均每秒车速减少值为“(初速度 末速度)车速变化时间,即空0 8(m/s2).2.5(3)设刹车后汽车行驶到 15m用了 x s,由(2)可知,这时车速为(20 8x)m/s.这段路程内