人教版高中数学必修三第一章算法初步第3节《算法案例(精)

1、算法案例 辗转相除法与更相减损术 课前自学 1 回顾算法的三种表述：自然语言，程序框图，程序语言. 程序框图有三种逻辑结构:顺序结构，条件结构，循环结构. 程序语言有五种基本算法语句： 输入语句,输出语句，赋值语句，条件语句，循环语句. 2 回顾求两个数的最大公约数的法. 先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商 是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 3求 24 与 30 的最大公约数. 求 210 与 462 的最大公约数. ( (1) )2 24 30 (2) 2 210 462 3 12 15 3 105 231 4 5 7 35 77 5 11 所以，24和30的最大公约数为

2、6 210和462的最大公约数为42 问题提出：当两个数公有的质因数较大时, 用原来的显然困难，须改进算法，用什么方 法好？ 点拨： 辗转相除法是解决上述问题的有效 方法之一，此算法是欧几里得 在因而, 又叫如何求 8251 和 6105 的最大公约数? 新知探究 公元前 300 左右首先提出的,例 1：用辗转相除法求 8251 与 6105 的最大公约数 观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程: 第一步：用两数中较大的数除以较小的数求得商和余数 8251=6105X1+2146 结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数, 求8251和6105的最大公约数

3、，只要求出6105和2146的 若m是6105与2146的公约数，贝！8251必能被m整除。 第二步：对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146X2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最 大公约数。 公约为什么呢？ 完整的过程 8251=610探究用辗6105=2142146=181225=135X1+90 壯躺邂榊翔了他？ 90=45X2 显然45是90和45的最大公约数, 也就是225和135的最大公约数 148=37X4+0 显然37是148和37的最大 公约数，也就是8251和 6105的最大公约数333=148IsJ 探究2：辗转相除法

4、的解题步骤 如何？其蕴含的数学原理是什 么？ 辗转相除法算法步骤: 第一步：输入两个正整数冬 b(ab); 第二步：求a 除以 b 的余数 T； 赋于 b,转到第二步；否则转到第四步; 数学原理是：在展转相除的过程中的 b与 1的 公约数始终和勿与 b 的公约数相等，且相除的 步骤是有第三第四步: 输出最大公约数 b 程序框图: 程序: 限的。 问题提出：除了用上述算法求两个数的最大公 约数之外还有没有别的算法？ 点拨：用“更相减损术”:更相减损术，是 我国数学家刘徽的专著九章算术中记 载的.更相减损术求最大公约数的步骤如 下：可半者半之，不可半者，副置分母分 子之数，以少减 多，更相减损，求

5、其等也, 翻译出来为: 第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶 数.若是，用2约简；若不是，执行第二步. 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的 数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作 ,直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所 求的最大公约数. 以等数约之. 例 2：用更相减损术求 91 与 49 的最大公约数, 并用辗转相除法检验结果. 解法1：（更相减损术）由于49不是偶数，把91和49以 大数减小数，并辗转相减， 即：9149=42 4942=7 42-7=35 357=28 91与49的最大公约数是7。 解法2 （辗转相除法） 91 =49 X1+42 49=

6、42 X1+7 42=7X6 方法：由于182与98都是偶数，故将它们同除以2,得91与 49,再用上面的方法求得91与49的最大公约数为7,则 7 X 2= 14为丄82与98的最大公约数. 探究4：用更相减损术求80与36的最大公约数，并用 287=21 217 = 14 147=7 探究3:怎样用更相减损术求182与98的最大公约数? 12-8=4 8-4=4 亍36的最大公约数是4辗转相除法检验结果. 用更相减损术： 用辗转相除法检验: 80与36的最大公约数 请设计用“更相减损术”求两个数的最大大公约数的程序. 程序： INPUT a, b WHILE ab r=a-b IF br

7、THEN a=b b=r ELSE 探究5:“更相减损术”蕴 含的数学原理是什么？ 数学原理： 由a-b=r, 得a=b+r, a与b和b与r有相同的公约 数，辗转相减的步骤是有 限的。 END IF 思考：“辗转相除法”与“更相减损术”的 区别是什么？ 都是求最大公约数的方法，辗转相除法以 除法为主，更相减损术以减法为主，计算次 数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当 两个数字大小区别较大时计算次数的区别较 明显. 结果上，辗转相除法体现结果是以相除余 数为 0 得到，而更相减损术则以减数与差相等 例 3：求三个数 175、100、75 的最大公约数 解：而得到. WEND 先求 175 与

8、 100 的最大公约数： 175=100 X 1+75, 100=75 X1+25, 75=25X3, 175 与 100 的最大公约数是 25. 再求 75与 25 的最大公约数:由 75=25X3, 或 75 25 = 50, 5025=25, 得 75 与 25 的最大公约数是 25, 三个数 175、100、75 的最大公约数是 25 探究6：如何求4个正整数的最大公约数? 方法 1 ：可以先求其中两个数的最大公约数 a, 再求 a 与第三个数的公约数 b,再求 b 与第四 个数的公约数 6 贝!jc 为这 4 个数的最大公约数。 方法 2:将 4 个数分两组，每组两个数，先求 每组两个数的最大公约数 a与 b,再求 a 与 b 的最大公约数 c,贝!Jc就是这 4 个数的最大公约 数。 课堂总结 躺輙計 E 术”都是求最大 2.计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以 减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对 较少