难题分析-万有引力定律

1、难题分析-万有引力定律我国史记宋会要记载：我国古代天文学家在公元1054年就观察到超新星爆炸。这 一爆炸后的超新星在公元1731年被英国一天文爱好者用望远镜观测到，是一团云雾 状的东西，外形象一个螃蟹，人们称为“蟹状星云”。它是超大行星爆炸后向四周 抛出的物体形成 的。在1920年它对地球上的观察者张开的角度为360 o由此推 断：“蟹状星云”对地球 上的观察者所张开角度每年约增大0. 24 ，合2.0 X 10- rad, 它到地球距离约为5000光年。请你估算出此超新星爆炸发生于在公元前年， 爆炸抛射物的速度大约为m/s63946 ±10 年，1.5 X 106海洋占地球面积的7

2、1。0,它接受来自太阳的辐射能比陆地要大得多。根据联合国 教科文组织提供的材料，全世界海洋能的可再生量，从理论上说近800亿千瓦。 其中海洋潮汐能含量巨大.海洋潮汐是由于月球和太阳引力的作用而引起的海水周 期性涨落现象。理论证明：月球对海水的引潮力F潮月与m月成正比，与H月地成反比，即F潮月K 3。同理可证F潮日K 3。3地月r 3地日潮汐能的大小随潮汐差而变，潮汐差越大则潮汐能越大。加拿大的芬迪湾，法 国的塞纳 河口，我国的钱塘江，印度和孟加拉国的恒河口等等，都是世界上潮汐差大 的地区。1980年我国建成的浙江温岭江厦潮汐电子工业站，其装机容量为3000kW,规模居世界第二，仅次于法国的浪斯

3、潮汐电站。已知地球的半径为6.4 X 106nl.月球绕地球可近似看着圆 周运动。通过估算再根据有关数据解释为什么月球对潮汐现象起主要作用？m 月 7. 35 10: kg, m 日 1. 99 1030 kg, r 日地 1. 50 10skm)答案：由以下两 F潮月 山匚F潮日33 3不难发现月球与地球的距离r月地未知，可以把月球绕地球的运转近似的看着圆 周运动，2月球的公转周峭 29d. 1则有G 月1r月地和mg G8地2 1得r月带出旭逅1R地'代入数据得r地月3. 84 10sm<§) 1再根据所给的理论模型 有：F潮日m B r月地2. 18 12. 18

4、倍，因此月球对潮汐起主要作用.-一1即月球的引力是太阳潮力的 来源： 题型：计算题，难度：综合10.浙江）宇宙飞船以周期为T绕地地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经 历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R,地球质量为M,引力 常量为G,地球自转2R电飞班绕地球运动的我堆槎为.Tsin < 2>B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/ToD,飞船周期为 T- sin （ 2） GM sin （ 2） 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探 寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家 观测河外星系大麦哲伦云时，发现了 LMCX-3双星系统，它由可见星A和

5、不 可见的暗星B构成。两星视为质点，/:不考虑其它天体的影响，B围绕两者连线上的0点做匀速、% j;圆周运动，它们之间的距离保持 ° / ；不变，如图所示。引力常量为G,由观测能够得到可见星A的速'率v'、和运行周期To、（1）可见星A所受暗星B的引力Fa可等效为位于。点处质量为m'的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为im、m2,试求m'（用皿、m2表 示）；（2）求暗星B的质量3与可见星A的速率V、运行周期T和质量im之间的关 系式；（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有 可能成为黑洞。若答案:1）设A、B的圆轨

6、道半径分别为丁2 ,由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动定律，有Fa m1匕 Fb m2匕 4 ，b设A、B之间的距离为r ,又r n无，由上述各式得r - n m2由万有引力定律，有二2",将代入得m普g 22（mi m?） ri令 Fa G "V比较 口J 得 m （mi m2）3®ri2）由牛顿第二定律，有又可见星A的轨道半径V口口742由式解得2 2G（mi m2） 233)将m 6nls代入式，得相.去 (6ms m2)23代入姗得2 3. 5ms (§) fAnie mA 2"他 nms(n 0),将其代入

7、式，得2ms 3. 5ms (te nrv)6S /( 1)n 3 2可见 /、2的值随n的增大而增大，试令n 2 ,得(6ms m2 )2(6 ) 111 0. 1 2m5s 3. 5ms n若使式成立，则n必大于2,即暗星B的质量nh必大于2侬,由此得出结 论：暗星B有可能是黑洞。来源：2006年高考天津题型：计算题，难度：应用经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对 它们的研 究，使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻的认识。双星 系统由两个星体构 成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星 系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。

8、现根据对某一双星系统的光度学 测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M ,两者相距L o他们正绕两者连 线的中点作圆周运动。(1)试计算该双星系统的运动周期Ti ；(2)若实验上观测到的运动周期为?2,且T2：Ti=1: N (N>1) o为了解释T2与Ti 的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗 物质。作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着 这种暗物质，而不考虑其它暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该 星系间这种暗物质的密度。答案：221)双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，则有g/J l得T尸L 2LW1 G

9、M1(2)根据观测结果，星体的运动周期T2= 1 TiL21这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其他指向中心的作 用力，按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系 统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量M位于中点处的质量点相同.考虑暗物 质作用后双星22的速度即为观察到的速度V ,则有GM2 G 2 M 4 2 L观 L （L/2） =T22 23(N 1)M将解得的Ti、T2代入T2：Ti=1: N设所求暗物质的密度为，则有来源:题型:计算题,难度：应用1 .若近似认为月球绕地公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同

10、 向，如图所示，月相变化的周期为29. 5天（图示是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图）。求：月球绕地球转一周所用 的时间T （因月球总是一面朝向地球，故T恰是月球自转周期）。（提 示：可借鉴恒星 日、太阳日的解释方法）。解析】用物理角速度、线速度原理解答,（取回归年365天）。从上次满月地球绕太阳公转每天的角速度3 =2 n/365到下次满月地球公转了。角，用了 29. 5天。所以，。=3 29 . 5=2 n/365 X29. 5 (天)。月球在两满月之间转2兀+。），用了 29.5天，所以月球每天的角速度川29 5根据周期公式T=2 n/o （即月球360。除以每天角速度所花的时

11、间）得：T = 2n/=,因为 0=2 Ji/365 X29 . 5 所以 T=27.3 天29 5 3 2365 29 52 .地球赤道上的N城市想实施一个“人造月亮”计戈人在地球同步卫星上用一面 平面镜将太阳光射到地球上，使这座城市在午夜时分有“日出”时的效果，若此时的 N城市正值盛夏季节，地球的半径为R,自转周期为T ,地球表面重力加速度为g, 太阳在非常遥远的地方.求（1）地球同步卫星离地心的距离（2）悬挂平面镜的同步卫星所在经度平面的经度与N城的经度差a o(3)此时平面镜与卫星所在经度平面的夹角e3.指出（即:解析：（1）设地球及同步卫星的质量分别为M,m,则G V2 m r 又：

12、g=GM/R 2,可得：r 3 R-2（2）过赤道平面的截面图如图所示，水平入射光线MA经反射 后的反射光线AN与地球相切，故N MAN =90。卫星所在经线在平面内的投影为0A,N城市所在经线在平面内 的投影为0N,所以：q = arccos （ R/r）0 =45°+arcsin （R/r）早在19世纪,匈牙利物理学家厄缶就明确:“沿水平地面向东运动的物体、其重量列车的视重或列车对水平轨道的压力）一定要减轻”.后来，人们常把这类物理现 象称之为厄缶效应” .如图所示：我们设想，在地球赤道附近的地平线上，有一列质量是M 的列车，在此基础上，又考虑到这列火车相对地面又附加了一个线速度

13、v做更快的匀速圆周运动，并设此时火车对轨道的压力为 那么，单纯地由于该火车向东行驶而引起火车对轨道的压力减轻的数量HN'）为（BB.D.mJ 2（ 2 兀R y）v2 avmd KC. M231VT R T4.我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信 号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m,地球和月球的半径分别为R 和Ri,月球绕地球的轨道 半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和n,月球绕 地球转动的周期为To假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发

14、射 的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用 M、m、R、Ri、”口和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影）解：如图，。和0 '分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，A是地月连 心级00,与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月 球表面 和卫星圆轨道的交点，根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切 线，交卫星轨道于E点。卫星在BE上运动时发出的信号被遮挡。设探月卫星的质量为mo,万有引力常量为G ,根据万有引力定律有GM/ rmmo m 2 r* 0 T12T式中，Ti是探月卫星绕月球转动的周期。由语得丁 m r设卫星的微波信号被遮挡的时间

15、为t,则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有tTi式中，a =Z CO'欣h N CO ' Bo由几何关系得r cos R Ri n cos Riivi 3由式得ir 3 ac o sR R1 a rcos”mr评分参考：式各1分，式5分,式各2分，式3分。得到结果弋，R1 . R R1 的也同样给分。mr ar cos ar sin10.假设太阳系内某行星和地球的公转轨道均为圆形，且在同一平面内，如图所示，半径较小的轨道是某行星公转的轨道，半径较大的轨道是地球17rl 第10题公转的轨道。在地球上观测，发现该行星与太阳可呈现的视角（太 行星均看成质点，它们与眼睛连线的夹角）有最

16、大值，并且最大视 正弦值为16 O则该行星的公转周期为多少年？、25mo,地球轨道半径为r o,周期为To,该行星质量为m,轨道半径为r ,公普儿当眼睛 周期为和该行星的连线与行星公转轨道相切时，视 角最大，此时有0，16Mmo 22G;VlmG 20 mo ()铮，ro x联立解得T To64北打。0.512年o5.设A、B为地球赤道圆的一条直径的两端，利用地球同步 卫星将一电磁波信号由A传播到B,至少需要几颗同步卫星？这几颗同步卫星间 的最近距离是多少？用这几颗同步卫星把电磁波信号由A传播到B需要的时间是多少？已知地球半径R,地表面处的重力加 速度g,地球自转周期T o不考虑大气层对电磁波

17、的影响，且电磁波在空气中的传 播速度为Co【解析】由图可明显地看出，为实现上述目的，至少需要两颗同步卫星，其位置在Pi、P2；且这两颗同步卫星的最近距离期小 设同步卫星的轨道半径为r ,则看 m(Z/r又在地表面处，有G” mgR解得r 3竺1 .12由图可见，此时通过这两颗同步A到B传播电卫星由2 2 2而根据勾股定理，有P2BgrT升3r2电磁波信号由A传播到B需要的时间2 R (sr t2 ) 3 R:S,26.地球质量为M,半径为R,自转角速度为。万有引力恒量为G,如果规定物体在离地球无穷远处势能为0,则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的万有 引力势能可表示为Ep G '血

18、。国际空间站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大气层上空绕地r球飞行的一个巨大人造天体，可供宇航员在其上居住和科学实验。设空间站离地面高度为h,如果杂该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行，由该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？解析：由G 疝mv得，卫星在空间站上动能为r1 2 Mm mv GEk2(R h)卫星.在空间站上的引力势能为EP G Mm P (R h)机械能为Ei Ek EP GMm同步卫星在轨道上正常运行时有G他m :r故其轨道半径r3 MG32由上式可得同步卫星的机械能E2 GMm3阖2“，2（R h）卫星运动过程中机械

19、能守恒，故离开航天飞机的卫星的机械能E2设离开航天飞机 应为时卫星的动能为Ekx则Ekx=E2 Ep 加G*，G出Rh例4、（ 2004年广西物理试题）某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他,用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问， s /春分那"t阳光天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间（一工卜）该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R,地球表，面处的重一/一力加速度为g,地球自转周期为T,不考虑大气对光的 、，折射。图6分析与解：设所求的时间为t,用m、M分别表示卫 星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离.据此再考虑到对称性，有由以上各式可解得t=Iacsi

20、SH）；春分时，太阳光直射地球赤道，如图6所示，图中圆E表示赤道，S表示卫 星，A表示观察者，0表示地心.由图6可看出当卫星S绕地心0转到图示位 置以后（设地 球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它 7如图所示为宇宙中一恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星0 运行轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为Ro ,周期为To。（1）中央恒星0的质量是多大？（2）长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且周期性 的每隔to时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星 外侧还存在着一颗未知的行星B （假设其运行轨道与A在同

21、一平面内，且 与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离。根据上述现象和 假设，你能对未知行星B的运动得到哪些定量的预测？解：设中央恒星质量为M, A行星质量为m,则由万有引力定律和牛顿第二定律得八2）由题意可知，A、B相距最 B对A的影响最大，且每隔t o时间相距最近。设B行星周期为Tb,则有：q 1nto To设B行星的质量为niB ,运动的轨道半径为Rb,则有RbHIbRb Tb:由RR3，1t。、2得：8 .如图，B 0 j：（；一）p、Q为某地区Y。一 I。水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为；石油密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加