中考培优竞赛专题经典讲义第28讲存在性问题之平行四边形

1、第28讲存在性问题之平行四边形此类问题一般从平行四边形的性质着手对边平行且相等构造全等；对角线互相平分利用中点公式【例题讲解】1例题1做口图,一次函数y= x+2分别交y轴、x轴于A、B两点 抛物线y= x解：(1) Ty= x+2分别交y轴、x轴于A、B两点， ? A B 点的坐标为：A(0,2),B(4,0), 将 x=0,y=2 代 y= x2+bx+c 得 c=2. 将 x=4,y=0 代 y= x2+ bx+c 得 0= 16+4b+2,解得 b =- 2+bx+c过A、B两地， 2(1)求这个抛物线的解析式；(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线 AB于M,交这个抛物线于

2、N,求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？(3)在(2)的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点 D的坐标？?抛物线解析式为:y= - x2+ 7 x+2;2如答图1,设MN交x轴于点E,则 E(t,0),BE=4 t,tan/ABO= A -OB 42/ 1 1ME = BE tan / ABO=(4 t) X =2 t22又N点在抛物线上,且XN=t,yN= - t2+ t+222 712MN=yN ME = t2+t+2 (2 t)= t2+4t 22当t=2时,MN有最大值4.由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5)以A、M、N、D为顶点作平行四边

3、形D点的可能位置有三种情形如答图2所示:(i)当D在y轴上时，设D的坐标为(0,a)由 AD=MN, 得 | a 1| =4, 解得 a 1 =6,a 2 =2,从而 D 为(0,6) 或 D(0, 2),(i i)当D不在y轴上时，由图可知 D3为DiN与D2M的交点，易得DiN的方程为y= 1 X+6Q 2M的方程为y= 3 x 22 2由两方程联立解得D为(4,4)故所求的D点坐标为(0,6),(0, 2)或(4,4).【单动点】例题2?在直角坐标系中，已知A( 2,4),B(2,2),C(1, 1),当A、B、C、D四点组成的四边形为平行四边形时求点D的坐标.y A* B A O .x

4、C【分析】我们知道，平行四边形的对角线互相平分 ，所以我们可以利用这个性质几何中点公式来解决这类问 题.中点公式：若A(Xi,yi),B(X2,y2),则AB的中点坐标为(Xl竺，上 纠.2 2【解析】如下图，当BD与AC为对角线时，BD与AC互相平分 所以AB的中点即为BD的中点根据A、C坐1 31 3标可计算出M点的坐标为(1 ,-),再根据BD的中点也为M(-,-),即可算出D1( 3,1),同理可计算出2 22 2D2( 1,7),D3(5, 3).【总结】我们可以把过程再简单化一点，我们发现，在算D1时利用中点公式均需要除 2,所以为了方便快捷直接省略这一步，所以就是A点、C点的横坐

5、标相加=B点、Di点的横坐标相加(即Xa+Xc=Xb+Xdi),记住这个 方法, 连图都不用画了！【双动点】 例题3寸直角坐标系中，已知有一条直线y= - x+3,A(0,1),B(1,0),在直线上y= 3 x+3找一点C,x轴上有一占八、44D,当以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时,求点D的坐标？【分析】本题中有两个不确定的点，点C和点D,根据上一例题，我们只需将双动点转化为单动点 ，这个问题就 可以解决了 ？m+3),根据上一例题讲述的中点法,即可把三个点D都用m表示出来，分别为Di(1 一33 2), D2( m 1, 一 m+4) , D3(m+l, - m+2),因为点D

6、在x轴上，所以纵坐标为 0,即可算出m. 44【巩固训练】1?如图，已知 AABC的三个顶点坐标为 A( 2,3)、B( 6,0)、C( 1,0).(1) 将AABC绕坐标原点。逆时针旋转90 直接写出点A的对应点 A的坐标请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.-1A l/J乙I1 1 BC02.如图，已知抛物线y=x2 4x+3与x轴交于A、B,顶点为C.(1)对于任意实数 m,点M(m, 2)是否在该抛物线上？请说明理由；(2)求证: ABC是等腰直角三角形；(3)已知点D在x轴上，那么抛物线上是否存在点P,使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在,

7、求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.3及口图,二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，且A点坐标为(一 3,0)，经过B点的直线交抛物线于点D( 2,- 3).求抛物线的函数关系式和直线 BD的函数关系式;过x轴上的点E(a,0)(E点在B点的右侧)作直线EF BD,交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDEF是平行 四边形？如果存在，求出满足条件的a;如果不存在，请说明理由。D2 .如图，已知抛物线y=x2 4x+3与x轴交于A、B,顶点为C?(1)对于任意实数 m,点M(m, 2)是否在该抛物线上？请说明理由；(2)求证: KBC是等腰直角三角形；3 3) 已知点 D 在

8、 x 轴上 , 那么抛物线上是否存在点 P, 使得以B 、 C 、 D 、 P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出点P 的坐标 ;若不存在 ,请说明理由 .OA3.如图)二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，且A点坐标为(一 3,0)，经过B点的直线交抛物线于点D( 2, 3).(1) 求抛物线的函数关系式和直线BD 的函数关系式；过x轴上的点E(a,O)(E点在B点的右侧)作直线EF BD,交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDEF是平 行四边形？如果存在，求出满足条件的a;如果不存在，请说明理由。AB2 .如图，已知抛物线y=x2 4x+3与x轴交于A、B,顶点为

9、C? y(1)对于任意实数 m,点M(m, 2)是否在该抛物线上？请说明理由；(2)求证: KBC是等腰直角三角形；3 3) 已知点 D 在 x 轴上 , 那么抛物线上是否存在点 P, 使得以 B 、 C 、 D 、 P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在 ,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 ?OA3领口图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，且A点坐标为(一 3,0)，经过B点的直线交抛物线于点D(2,3).(1) 求抛物线的函数关系式和直线BD 的函数关系式；(2)过x轴上的点E(a,0)(E点在B点的右侧)作直线EF BD,交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDEF是平行AB2 .如图，已知抛物线y=x2 4x+3与x轴交于A、B,顶点为C?， 求出满足条件的a; 如果不存在， 请说明理由。yO(1)对于任意实数 m,点M(m, 2)是否在该抛物线上？请说明理由；(2)求证: ABC是等腰直角三角形；3 3) 已知点 D 在 x 轴上 , 那么抛物线上是否存在点 P, 使得以 B 、 C 、 D 、 P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在 ,求出点 P 的坐标 ;若不存在 ,请说明理由 ?OA3领口图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，且A点坐标为(一 3,0)，经过B点的直线交抛物线于点D(2,3).