2004年高考.广东卷.数学试题及答案

1、2004 年普通咼等学校招生全国统一考试数学(广东卷)考试时间：120 分钟 日期：2004 年 6 月 8 日星期二满分 150 分第 I 卷参考公式：三角函数的积化和差公式1sin 篇 cos 加=2 sin (寫 + : ) + sin (義一：)1cos 工 sin 加=2 sin (寫 + : ) sin (:)1cos cos : = 2 cos (: + !：;) + cos(、朴)1sin jsin : = = ? ? cos ( (一匚一匚 + + : : ) ) cos( (- - : :)锥体体积公式函数求导公式(u V) = u土 v(uv) = uv + uvuu v

2、 uv(J=v(v丰0)f(：(x) = f (u) (x),其中 u =:(x)球的体积公式的值为n 1 n 1V锥体3 3R R71714 4- - 3 3其中 S 表示底面积，h 表示咼其中 R 表示球的半径.选择题(共 12(1)已知平面向量4r a3 3z/lx171 1Jrb计 60 分)=(x,),且a丄b，贝 U x=(A)H3(B)-1(C)(2) 已知 A = x|2x + 1| 3,2B=x|x+xw6,(A)-3,2)U(1,2(B)(C)(-3, -2U1,2)(D)(D)(3)设函数3x 22f (x) Tx2-4 x - 2【a(x 2)(x 乞2)在 x=2 处

3、连续，则 a=(A)-2(B)1(C)-41(D)-3(A) -1(B)0(D)1(4) limnF I n +1函数f(八办 j齐卜 7(A )周期为二的偶函数(B)周期为二的奇函数(C)周期为 2 二的偶函数(D)周期为 2 二的奇函数(6)一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2 台机床需要工人照看的概率是(A) 0.1536(B) 0.1808( C) 0.5632(D)0.9728(7) 在棱长为 1 的正方体上， 分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体， 则截去 个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积

4、是(A)23(8 )若双曲线(A)2x2 y2= k(B)745(B) (C) (D)-656(k0)的焦点到它相对应的准线的距离是2,贝 U k=8(C)1(D)(9 )当3T0vxv时，函数4cos2xcosx sin x -sin2x的最小值是(A)(C) 2(D)(10)变量 x、y 满足下列条件:(A)(4.5, 3)(B) (3,6)2x + y 兰 122x + 9y 色 36，则使 z=3x+2y 的值最小的(x, y )是2x 3y = 24x _0,y 一 0(C) (9, 2)(D) (6,4)(11)若f (x) =tan x +=:则(A)f(-1)f(0)f(1)(

5、B)f (0)f(1)f(-1)(C)f (1)f(0)f(-1)(D)f(0)f(-1)f (1)(12)交点在(A)(B) :(C) :(D)如右下图，定圆半径为a,圆心为(b , c),则直线 ax+by+c=0 与直线 x -+1=0 的第四象限第三象限第二象限第一象限二.填空题(共 4 小题，每题 4 分，计 16 分)(13)某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成，现从中选出2 人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是 _(用分数作答)(14 )已知复数 z 与(z +2)2 8i 均是纯虚数，则 z = _ .(16)函数f (x) = In(-、x 1 -1)(x0)的

6、反函数f (X)=_三.解答题(共 6小题，74 分)(17) (12 分)已知a, 3, 丫成公比为 2 的等比数列(a0 , 2n),且 sina, sin3, sinY也成等比数列.求a,3,Y的值(18) (12 分)如右下图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，已知 AB= 4 , AD =3 , AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB= FB=1.(I)求二面角 C DE C1的正切值；(n)求直线 EC1与 FD1所成的余弦值轴的正向所围成的三角形面积表达式(用X。表达).(20) (12 分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、

7、正北两个观 测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是 1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s ,相关各点均在同一平面上)(15)由图(1)有面积关系：SIA=PA_PBPA PB(19) (12 分)设函数f (x)=(x0).(I)证明：当 0vavb，且f(a) = f (b)时,ab 1;(n)点 P(x,y) (0vxv1 )在曲线y二f(x)上，求曲线在点 P 处的切线与x 轴和 yA，则由图(2)有体积关系：VPL(21) (12 分)设函数f (x) = x _ In( x m)，其中常数

8、 m 为整数.(I)当 m 为何值时，f (x) 0;(n)定理：若函数 g (x)在a, b上连续，且 g (a)与 g (b)异号，则至少存在一点 x( a，b)，使 g (x) =0.试用上述定理证明：当整数m 1 时，方程 f(x) = 0，在e_m m , e2m- m 内有两个实根2 2(22) (14 分)设直线 I 与椭圆-y1相交于 A、B 两点，I 又与双曲线 X2 y2=1 相交2516于 C、D 两点，C、D 三等分线段 AB.求直线 I 的方程参考答案、选择题CACAB DDAABDB三、解答题17.解：T a,3，丫成公比为 2 的等比数列，3=2a, 丫 =4a/

9、 sina,sin3,sin 丫 成等比数列sin：sin sin2：sin42二-=- =- =-n cos。=2cos a -1sin二sin：sinsin2二即2cos2：-cos：-1=0解得cos：=1,或cos-当cos：二一丄z2兀亠4兀，二三0,2二时,或，233所以=2：,B -4兀Y -8兀或a -4兀P -8H33 33 3，3:、填空题：5PA PBPC2x ,(13)-(14) 2i (15)-(16)e2e7PA PBPC(X R)cosa=1 应舍去,则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、0(4,3,2)于是，DE =(3,

10、-3,0),EG =(1,3,2),FD1=(-4,2,2)当 cosa=1 时，sina=0,与等比数列的首项不为零，故18.解：(I)以 A 为原点，AB, AD,AA分别为 x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系,设向量 n =(x, y,z)与平面 CiDE 垂直，则有n 丄 DE | 3x -3y = 0、n _ EC；x 3y 2z=0n =(-?,-Z,z)上(-1,-1,2),其中 z 0 2 2 2取 no(_1, _1,2),则 n。是一个与平面 C；DE 垂直的向量，-向量 AA1=(0,0,2)与平面 CDE 垂直,.n0与 AA1所成的角7为二面角 C -DE

11、的平面角n0 AA_ 1 x 0 _1 x 0 十 2 x 2J6亠 cos 令=_ = = | n0| 旳 AA |+1 + 4 況J0 +0 +43.tan22(II)设 EC1与 FD1所成角为3，贝UREC1*FD11x(-4)+3 汇 2+2 江 2V21cos| EC1产 I FD1| 訥2+32+22汇 j(4)2+22+221419证明：(I).-1,(0,1f(x)叩-I 二xx11 ，X (1,：)x故 f(x)在(0, 1上是减函数，而在(1, + 上是增函数，由 0ab 且 f(a)=f(b)得 0a1b11111和一一 1=1 ,即卩一+ = 2 二 2ab = a

12、+ b a 2 Jab ab a b故.ab 1,即 ab -1心)1|=丄1, f(x) =x x曲线 y=f(x)在点 P (x, y0)处的切线方程为:故所求三角形面积的表达式为:(II)0 x|PA|,.x =80 5, y =680 5,即 P(-680.5,680 一 5),故 PO =680 10答：巨响发生在接报中心的西偏北45,距中心68 10m处.21. (I )解：函数 f(x)=x_ln(X+m),X (-m,+g)连续，且f (x) =1 -,令 f (x) = 0,得 x = 1 - mx +m当 x (-m,1-m)时,f (x) f(1-m) 当 x (1-m,

13、 +g)时,f (x) 0,f(x)为增函数,f(x)f(1-m) 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且 对 x (-m, +g)都有 f(x) f(1-m)=1-m故当整数 m 1-m 0(II)证明：由(I)知，当整数 m1 时，f(1-m)=1-m1 时，2m2m2m2m(2m -1)f (e -m) = e -3m - (11)-3m -1 2m3m - 02(；m1= 2m -11,上述不等式也可用数学 归纳法证明)类似地，当整数 m1 时，函数 f(x)=x-ln(x+m),在1_m,eR _m上为连续增函数且f(1-m)与f (e2m-m)异号，由所给定理知

14、，存在唯一的X2 1 - m,e_m- m,使f(X2)=0故当 m1 时，方程 f(x)=0 在em, e2 - m内有两个实根。22.解：首先讨论 I 不与 x 轴垂直时的情况，设直线 I 的方程为 y=kx+b，如图所示，I 与椭圆、双曲线的交点为：50bk216 25k若k = _1，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k =二1x3x4=2bk1 -k2y 二 kx bx2y2得(1625k2)x2125162-2bkx (25b2- 400) = 0(1)由y = kx 十 b22.x -y=1得(1-k2)x2-2bkx-(b21) = 0.(2)依题意有AC二DB, AB二50bk=-216 25k21-k2=_5一 16-b2,由(2)得 X34二一 b214由 AB = 3CD = X2- Xi10 -= 3(X4-X3),即一 16-b4216=6 b21= b =13故 I 的方程为yr，1613(ii)当 b=0 时，由(1)得20./口X1,22，由得X3,4J16 +25k2故 I 的方程为y = _16x25I 与 X 轴垂直的情况.I 的方程为 x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得,4乜 25_34= Vc2-15，由 |