五年级奥数题：因数与倍数

1、学习必备欢迎下载因数与倍数相关习题（1）一、填空题1 28 的所有因数之和是_ .2.用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_ 中不同的拼法3.一个两位数，十位数字减个位数字的差是 28 的因数,十位数字与个位数字的积是 24.这个两位数是_ .4.李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组，总共种树667 棵，如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生 _ 人.5.两个自然数的和是 50,它们的最大公因数是 5,则这两个数的差是_ .6.现有梨 36 个,桔 108 个,分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数，桔数相等,最多可分给_小朋友,每个小朋友得梨 _ 个,桔_

2、个.7.一块长 48 厘米、宽 42 厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_块.8.长 180 厘米,宽 45 厘米,高 18 厘米的木料，能锯成尽可能大的正方体木块（不余料）_ 块.9.张师傅以 1 元钱 3 个苹果的价格买苹果若干个，又以 2 元钱 5 个苹果的价格将这些苹果卖出，如果他要赚得 10 元钱利润，那么他必须卖出苹果 _ 个.10.含有 6 个因数的两位数有_个.11写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公因数是1,但两两均不互质，请问有多少组这种解？12和为 1111 的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？13.狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4

3、丄米，黄鼠狼每次跳 2-米,24它们每秒钟都只跳一次.比赛途中，从起点开始每隔 12-米设有一个陷井，当它们8之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？14.已知 a 与 b 的最大公因数是 12, a 与 c 的最小公倍数是 300,b 与 c 的最 小公倍数也是 300,那么满足上述条件的自然数 a, b, c 共有多少组？（例如：a=12、b=300、c=300,与 a=300、b=12、c=300 是不同的两个自然数- 答 案-答案：1.56学习必备欢迎下载28 的因数有 1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2.4因为 105 的因数有 1,3,5,7

4、,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105 和 1,35 和 3,21 与 5,15 与 7.所以能拼成 4 种不同的长方形3. 64因为 28=2 2 7,所以 28 的因数有 6 个:1,2,4,7,14,28. 在数字 0,1,2，9 中，只有 6 与 4 之积，或者 8 与 3 之积是 24,又 6-4=2 , 8-3=5.故符合题目要求的两位数仅有 64.4. 28因为 667=2329,所以这班师生每人种的棵数只能是 667 的因数:1,23,29,667.显然，每人种 667 棵是不可能的.当每人种 29 棵树时,全班人数应是 23-1=22，但 22 不能被

5、4 整除,不可能.当每人种 23 棵树时，全班人数应是 29-1=28,且 28 恰好是 4 的倍数，符合题 目要求.当每人种 1 棵树时，全班人数应是 667-仁 666，但 666 不能被 4 整除，不可能. 所以，一班共有 28 名学生.5. 40 或 20两个自然数的和是 50,最大公因数是 5,这两个自然数可能是 5 和 45,15 和35,它们的差分别为（45-5=）40,（35-15=）20, 所以应填 40 或 20.注这里的关键是依最大公因数是5 的条件，将 50 分拆为两数之和：50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨 36 个、桔子 108 个分给若干个小朋

6、友，要求每人所得的梨数、桔子 相等，小朋友的人数一定是 36 的因数，又要是 108 的因数，即一定是 36 和 108 的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友，可知小朋友的人数是 36 和 108 的 最大公因数.36和 108 的最大公因数是 36,也就是可分给 36 个小朋友.每个小朋友可分得梨：36 -36=1（只）每个小朋友可分得桔子：108 36=3（只）所以,最多可分得 36 个小朋友,每个小朋友可分得梨 1 只,桔子 3 只.7. 56剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长 48 厘米及宽 42 厘米,所以 它是48 与 42 的公因数，题目又要求剪出的正方形最大，故正方

7、形的边长是 48 与 42 的最大公因数.因为 48=2 2 2 2 3,42=2 3 7,所以 48 与 42 的最大公因数是 6.这样，最 大正方形的边长是 6 厘米.由此可按如下方法来剪：长边每排剪 8 块,宽边可剪 7 块，共可剪（48“ 6）（42 亠 6）=8 7=56（块）正方形布片.8. 200根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除，即正方体的棱长是 180,45 和 18 的公因数.为了使正方体木块尽可能大，正方体的棱长应是 180、45 和 18 的最大公因数.180,45 和 18 的最大公因数是 9,所以正方体的棱长 是 9 厘米.这样,长 180 厘

8、米可公成 20 段,宽 45 厘米可分成 5 段,高 18 厘米可分 成 2 段.这根木料共分割成（180 亠 9） （45 9） （18 “ 9）=200 块棱长是 9 厘米的正 方体.学习必备欢迎下载9. 150根据 3 与 5 的最小公倍数是 15,张老师傅以 5 元钱买进 15 个苹果,又以 6 元 钱卖出 15 个苹果,这样,他 15 个苹果进与出获利 1 元.所以他获利 10 元必须卖出 150 个苹果.10. 16含有 6 个因数的数，它的质因数有以下两种情况：一是有 5 个相同的质因数连 乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用 M 表示含有 6 个因 数的数，用

9、a 和 b 表示 M 的质因数，那么M =a5或M =a2b因为M是两位数，所以M=a5只有一种可能 M=25，而M= a2b 就有以下 15 种情况：2 2 2M=23,M=25,M=27，M =2211,M =2213, M =2217，M = 2219, M = 2223, M = 322，M =325,M =327,M =3211，2 2 2M =52,M =53,M =72.所以,含有 6 个因数的两位数共有15+1=16（个）11.三个数都不是质数，至少是两个质数的乘积，两两之间的最大公因数只 能分别是 2,3 和 5,这种自然数有 6,10,15 和 12,10,15 及 18,

10、10,15 三组.12.四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和，也就是说它们的最大 公因数应该是 1111 的因数.将 1111 作质因数分解，得1111=11汇 101最大公因数不可能是 1111,其次最大可能数是 101.若为 101,则将这四个数分别 除以101,所得商的和应为 11.现有1+2+3+5=11,即存在着下面四个数101,1012,101 3,101 5,它们的和恰好是101 兀（1+2+3+5）=101 仁 1111,它们的最大公因数为 101.所以 101 为所求.13.黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是 23与 123的“最小公倍数”99，48499 1113即跳了

11、一 - =9 次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是 4-和 12-的4428学习必备欢迎下载“最小公倍数”99，即跳了99 - =11 次掉进陷井.2 2 2经过比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是 14-9=40.5（米）.14.先将 12、300 分别进行质因数分解：212=232 2300=23 5确定 a 的值.依题意 a 只能取 12 或 12 5(=60)或 12 25(=300).确定 b 的值.当 a=12 时，b 可取 12,或 12 5,或 12 25;当 a=60,300 时，b 都只能取 12.所以,满足条件的 a、b 共有 5 组：a=12- a=1

12、2- a=12a=60- a=300b=12,b=60,b=300, I b=12, b=12.确定 a, b, c 的组数.对于上面 a、b 的每种取值，依题意，c 均有 6 个不同的值：2 2 2 2 2 2 2 25，5 2, 5 2，5 3, 5 2 3, 5 2 3, 即卩 25, 50, 100, 75, 150, 300. 所以满足条件的自然数 a、b、c 共有 5 6=30 (组)学习必备欢迎下载因数与倍数相关习题(2)一、填空题1 .把 20 个梨和 25 个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下 2 个，而苹果还 缺 2 个，一共有_ 个小朋友.2.幼儿园有糖 115 颗、饼干

13、148 块、桔子 74 个，平均分给大班小朋友；结 果糖多出 7 颗，饼干多出 4 块，桔子多出 2 个.这个大班的小朋友最多有 _人.3.用长 16 厘米、宽 14 厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板_ 块.4.用长是 9 厘米、宽是 6 厘米、高是 7 厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块_ 块.5.一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔 3、5、9、15、10 分钟发一次，第一次同时发车以后， _ 钟又同时发第二次车.6.动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如只分给

14、第三群，则每只猴子 可得20 粒.那么平均给三群猴子,每只可得_ 粒.7.这样的自然数是有的：它加 1 是 2 的倍数，加 2 是 3 的倍数，加 3 是 4 的倍数，加 4 是 5 的倍数，加 5 是 6 的倍数，加 6 是 7 的倍数，在这种自然数中除了 1 以外最小的是_ .8._ 能被3、 7、 & 11四个数同时整除的最大六位数是 _.9.把 26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公因数是 1,那么至少要分成_ 组.10. 210 与 330 的最小公倍数是最大公因数的_ 倍.二、解答题11.公共汽车总站有三条线路，第一条每8 分钟发

15、一辆车，第二条每 10 分 钟发一辆车，第三条每 16 分钟发一辆车，早上 6: 00 三条路线同时发出第一辆 车.该总站发出最后一辆车是 20:00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数，商是 12.如果甲乙两数 的差是 18,则甲数是多少？乙数是多少？515113.用-、些、1 丄分别去除某一个分数，所得的商都是整数.这个分数28 5620最小是几？14. 有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 1 号到 15 号,1 号同学写了一 个自然数,2 号说：“这个数能被 2 整除”，3 号说：“这个数能被他的编号数整除.1 号作了检验：只有

16、编号连续的二位同学说得不对，其余同学都对，问：(1) 说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？(2) 如果告诉你,1 号写的数是五位数，请找出这个数.学习必备欢迎下载-答 案-答案：1. 9若梨减少 2 个,则有 20-2=18（个）;若将苹果增加 2 个,则有 25+2=27（个）,这 样都被小朋友刚巧分完由此可知小朋友人数是 18 与 27 的最大公因数.所以最多 有 9 个小朋友.2. 36根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是 115-7=108,148-4=144,74-2=72 的最大公因数.所以,这个大班的小朋友最多有 36 人.3. 56所铺成正方形的木板它的边长必

17、定是长方形木板长和宽的倍数，也就是长方形木板的长和宽的公倍数，又要求最少需要多少块，所以正方形木板的边长应是 14与 16 的最小公倍数.先求 14 与 16 的最小公倍数.2 161487故 14 与 16 的最小公倍数是 2 8 7=112.因为正方形的边长最小为 112 厘米,所以最少需要用这样的木板112 112 =7 8=56（块）16 144. 5292与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9, 6, 7 的最小公倍数，9, 6, 7的最小公倍数是 126.所以,至少需要这种长方体木块126 126 126 “ =14 21 18=5292（块）9 6 7注上述两题都是利用最小公倍数

18、的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一希望引起小朋友们注意5. 90学习必备欢迎下载依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15 和 10 的最小公倍数.因为 3,5,9,15 和 10 的最小公倍数是 90,所以从第一次同时发车后 90 分钟 又同时发第二次车6. 5依题意得花生总粒数=12 第一群猴子只数=15第二群猴子只数=20第三群猴子只数由此可知，花生总粒数是 12,15,20 的公倍数，其最小公倍数是 60.花生总粒 数是 60,120,180,

19、，那么第一群猴子只数是 5, 10, 15,第二群猴子只数是 4, 8, 12,第三群猴子只数是 3, 6, 9,所以，三群猴子的总只数是 12, 24, 36,.因此，平均分给三群猴子，每 只猴子所得花生粒数总是 5 粒.7. 421依题意知，这个数比 2、3、4、5、6、7 的最小公倍数大 1,2、3、4、5、& 7 的最小公倍数是 420,所以这个数是 421.8. 999768由题意知，最大的六位数是 3,7,8,11 的公倍数,而 3,7,8,11 的最小公倍数是 1848.因为 999999 1848=541231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数 是1848 的 541 倍，

20、 或者是 999999 与 231 的差.所以，符合条件的六位数是 999999-23 仁999768.9. 3根据题目要求，有相同质因数的数不能分在一 组,26=2 13,91=7 13,143=11 13,所以，所分组数不会小于 3.下面给出一种分 组方案：(1)26 , 33, 35; (2)34 , 91; (3)63 , 85, 143.因此，至少要分成 3 组.学习必备欢迎下载注所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=3 5, 2 仁 3 7,35=5 7，3，5，7 各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组除了上述分法之外，还有多种分组法,下面再给出三种：

21、(1) 26,35 ； 33，85，91； 34，63，143.(2) 85,143,63 ； 26，33，35； 34，91.(3) 26,85,63 ； 91，34，33； 143，35.10. 77根据“甲乙的最小公倍数x甲乙的最大公因数=甲数x乙数”， 将210汶330分 解质因数，再进行组合有210 330=2 3 5 7 2 3 5 112 2 2=23 5 7 11=(2 3 5)( 2 3 5 7 11)因此，它们的最小公倍数是最大公因数的7 1 仁 77(倍).11.根据题意,先求出 8,10,16 的最小公倍数是 80,即从第一次三车同时发 出后,每隔 80 分钟又同时发车.从早上 6:00 至 20:00 共 14 小时，求出其中包含多少个 80 分钟.6014：80=1040 分钟由此可知,20:00 前 40 分钟，即 19:20 为最后一次三车同时发车的时刻.12.甲乙两数分别除以它们的最大公因数，所得的两个商是互质数.而这两 个互质数的乘积，恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数所得的商 12.这一结论的根据是：(我们以“约”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数)甲数乙数=倍约甲数乙数倍约比 约约 约约，所学习必备