二次函数与一元二次方程（1）（教学设计说明）

1、二次函数与一元二次方程（一）一、内容和内容解析1.内容学生的知识技能基础:学生在上学期已经学习过一元二次方程的知识，之前学习了二次函数的图象和代数表达式的三种表示方法，其中主要对一般式和顶点式做了大量的训练，因而从“数”的方面对二次函数有了比较全面的理解，但对交点式仍然停留在感性理解层面，特别是对于从数形结合的这个数学思想来理解二次函数，他们对整章各节知识的关系还没有真正完整的形成，通过从本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系开始，学生将会对二次函数的“数”和“形”真正开始实行全面、深刻的接触。学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中，学生已经经历了理解二次函数图象、求二次函数解析式、利用

2、建立二次函数的数学模型，通过转化为顶点式求出最值，解决了一些简单的实际问题，感受到了二次函数与生活的紧密联系，他们已经有了探索本节课的数学基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了一次函数图象应用的学习，对于一次函数和一元一次方程的关系有了较多的认识，所以教学中多采取联想、类比的启发式教学，相信他们会有水平完成好本节新课的学习任务。2.内容解析二、教学任务分析本课的具体学习任务:体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根

3、的情况，进一步培养学生使用数形结合思想解决问题的水平;学生的理解要上升到理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标是有困难的，教师必须在课堂上要通过由易到难的设问，巧妙的启发，肯定的评价，努力营造出让学生探索二次函数与一元二次方程关系的氛围，使他们体验到数学活动充满着探索与创造，从而感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，有意识的培养学生初步的创新精神和实践水平本节课的教学目标是:知识与技能:1理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根

4、；过程与方法:1通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想 2理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。情感态度与价值观:1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系；2通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性。教学重点:理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根教学难点:理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根

5、就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标三、教学过程分析本节课设计了八个教学环节:课前热身、耐心填一填；用心想一想、马到成功；合作议一议、取长补短；教材题变形、拓展提高；开拓创新、试一试；大胆尝试、练一练；课堂小结；课内外提高、布置作业。第一环节 课前热身、耐心填一填活动内容: 1. y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a0)，y叫做x的_。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线x=_, 顶点坐标是（ ， ）。2. 二次函数的解析式中的一般式是: y = ax2 + bx +c (a0)顶点式:y = a(x-h)2 + k交点式:y = a(x-x1)

6、(x-x2)3. 抛物线y = x2+2x- 4的对称轴是_, 开口方向是_, 顶点坐标是_.4. 抛物线y=2(x-2)(x-3) 与x轴的交点为_,与y轴的交点为_.5. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) ，并经过点M(0,1), 则此抛物线的解析式为_ 。活动目的:教学第一个环节课前热身练习，是利用3分钟时间让学生尽快进入到课堂角色中来。问题的设置从最简单的概念二次函数入手，紧接着从“形”的方面对抛物线图象的最基本性质:开口方向、对称轴的表达式、顶点坐标公式回顾，再从“数”的方面对二次函数解析式的三种表达形式回顾。目的一是巩固学生之前所学的基本知识，为本节课学习新知识做

7、好铺垫，二是有意识对班级内基础较差的同学提问，加强他们对后面学习新内容的信心。第3小题要求学生熟练掌握把一般式转化为顶点式的配方法，第4小题目的是让学生回顾求抛物线y= ax2bxc与x轴交点的问题，就是y=0，转化为二次方程ax2bxc=0的根就是抛物线与x轴交点的横坐标，教学中通过对这个问题的点评，让学生明确二次函数的学习应该从“数”与“形”两方面进行研究。第5小题的解答虽然可以有三种途径：一般式、顶点式、两根式都可以探索得到，但三种方法的简洁程度不相同，反映的思维深度也不一样，通过提问、启发在课堂中尽量让学生回答出三种解法，并对比三种方法的优劣。热身练习时，教师在课室中巡视，用肯定学生的

8、话语鼓励学生，用启发性的语言提示学生，努力营造出宽松、和谐的课堂气氛,为之后的新课学习作好准备。实际教学效果： 课前的热身训练中，由于这5个练习题设置基本，精巧简练，所以这个环节在知识上起到了承前启后的作用，在教与学的双边活动中也营造出了较为宽松的课堂气氛。特别是第5小题的一题多解，即活跃了学生的思维 ，也为本节新课“探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系”打好了铺垫。第二环节 用心想一想，马到功成活动内容：1我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是

9、抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t (s)的关系如图所示,那么(1) 图象上每个点的横、纵坐标含义是什么？ (2) h和t的关系式是什么？（3）小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.2分别求出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交点的坐标,并快速作出草图.思路点拨: 与x轴交点就是求当 y=0 时这个方程的解, 然后写成点的坐标.y=x-2x+2y=x-2x+1y=x+2x（1）观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个

10、交点？(2) 一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗?(3)说说二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?3归纳整理: a.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: 1、 有两个交点, 2、 有一个交点, 3、 没有交点.b.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.c.完成下列表格，观察二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+b

11、x+c=0的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式=b2-4ac有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac 0活动目的： 这一环节是本节课的重点内容，在教材提供的生活素材背景下，例题是由一个待定的二次函数解析式与对应图象一并给出的，目的很明显：为学生直接铺设一个数形结合的情境，有意识的引导学生从数形两方面结合起来考虑问题，由于学生已经有了一次函数图象应用的学习经历，具备了一定的数形结

12、合思想基础，为了求出v0和h0，只要教师引导学生分析清楚由于高度h与时间t成二次函数关系，故图象必然是呈现出抛物线的形式。教学中我特意增加了“图象上的每一个点的横坐标、纵坐标分别表示什么含义？”这一问题来启发学生，使他们认识到满足这个函数关系的点（h,t）一定在抛物线图象上，反之图象上的每一个点的横坐标、纵坐标分别是小球被抛出的时间与高度。当学生理解了这个关系后，再引导学生观察图象上是否有已知的点，他们的注意力自然会去观察图象与x轴的交点（0，0）和（8，0），至此求h、t就转化为求解方程组的问题。学生在此认识的基础上，教师再出示第3问，启发学生认识到物体落地表示高度h=0，对应图象上的点纵坐

13、标为零，研究图象与x轴的两个交点，第二个交点的横坐标就是落地时的时间。紧接着给出求出三个函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2与x轴的交点，再画出它们的草图，教学中我组织开展了“比一比”这个活动，看谁解方程速度快？看谁画图快？在激发学生的学习积极性的同时，来训练学生运算能力和巩固对二次函数图象抛物线的认识，。随后的三个问题给出从观察图象开始，再用代数方法求三个方程的根，逐步引导学生体会二次函数与一元二次方程的对应关系，这个关系虽然是从最简单的情形入手，即图象与x轴的交点就是一元二次方程根的问题，但只要突破了这一学习难点，学生就会对二次函数与一元二次方程的对应关系恍然大悟，随

14、后的学习他们就会更加有信心和兴趣了。为了更加完整、系统的使学生明确二次函数与一元二次方程的对应关系，随后教学中设计了一个表格，教师再次组织学习小组进行讨论、交流、发言，目的是让学生完整建立本节课的认知结构，理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；同时进一步培养学生合作交流、清晰表达的数学能力。实际教学效果：由于教学设计体现出步步为营的战术特点，学生在小组成员的相互讨论中，在教师的引导启发下，不知不觉中完成了对新知识的学习理解。第三环节 教材题变形，拓展延伸活动内容：【例】 一个足球被从地面向上踢出，它

15、距地面的高度h（m）可以用公式h=4.9t219.6t 来表示其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间（1）当t=1时，足球的高度是多少？（2）t为何值时，h最大？（3）经过多长时间球落地？（4）方程4.9t219.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?（5）方程14.7=4.9t219.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗? 解：（1）t=1时，h=14.7(2)h=4.9(t-2) 2+19.6 当t=2时，h最大（3）对于h=49t2196t 球落地表示h=0 即49t2196t=0， 解得t1=0（舍去），t2=4 即足球被踢出后经过4s后球落地. (4)方法一：解方

16、程 0=4.9t219.6t 得t=0, t=4 根t=0，t=4分别表示足球离开地面和落地的时刻 方法二：直接观察抛物线与直线x轴的交点（0，0），（4，0）即可 图形表示方程的根就是抛物线与x轴的两个交点(5)方法一：解方程 14.7=4.9t219.6t 得t=1, t=3 方法二：图象法，过点（0，14.7）作一条与y轴垂直的直线，找到它与抛物线的交点，再分别过交点作x轴的垂线，找出两个垂足的横坐标即可。 表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是14.7秒活动目的：再次设计一个与教材例题相似的问题情景，给出一个以问题串的形式引导学生逐步深入的思考二次函数与一元二次方程的对应关系。前三

17、问用提问的形式给出，经学生独立思考后答出。第四问引导学生观察到方程4.9t219.6t =0是函数h=4.9t219.6t 的函数值h取0的情况，其实际意义就是足球的高度为零时时间所满足的关系。当然该方程的一个根就是足球落地的时间，而另一个根的实际含义就是足球刚被踢出时离地的那一刻。这是本节课的又一个难点，为了突破这个难点，教学中教师要耐心启发、引导，不断的设问、鼓励，力争由学生自己来揭示出来，体现出学生的主体性、主动性。在认识了第三问基础上，第四问的给出，鼓励学生用类比的思想方法去考虑，问题就会迎刃而解了。在肯定学生的思考同时，此时教师再提出一个问题：我们用求一元二次方程的根来解决的问题，你

18、能再用图象法解决这个问题吗？启发学生用形的一面去考虑问题。目的是鼓励学生在学习上永不满足、勇于探索，同时再次强化学生认识到数学学习要有意识的养成从“数”“形”两方面去研究的思想方法。以上四个问题串的设计，由易到难，一环紧扣一环，从认识一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x轴交点的横坐标，到理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，这个体会感受的过程对于学生来说起初是模糊的，此时组织学生合作交流讨论，再由小组派代表发言，教师启发、引导学生将问题表达清楚。教学中引导学生用类比的方法来研

19、究，即分解了学生学习上思维难点，又把学生思维逐步引向深处。实际教学效果：学生经过前一环节对二次函数与一元二次方程关系有了初步认识后，他们明白了一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x轴交点的横坐标，本环节前4个问题，作为对函数式求值、认识二次函数顶点式、理解抛物线图象的形成、及之前内容的巩固训练，是一道很好的练习，课堂教学中学生踊跃回答，气氛热烈。第4问虽然有些特别，但学生有了前面问题的理解认识，他们也可以说出方程的根就是抛物线与x轴的交点。但第5问给出后，学生静了下来。我知道他们虽然明白一些，但却不知如何表达？特别是用图形来表示一元二次方程14.7= 4

20、.9t219.6t的根这个问题对于他们很陌生。此时正是教师发挥指点迷津的作用绝好时机，我马上指出前一问中h=0的几何意义是什么？学生回答h=0表示直线x轴。那么h=14.7的几何意义又是什么呢？他们恍然大悟，明白了方程14.7=4.9t219.6t 的根的实际意义是抛物线与直线h=14.7的交点。5个问题一步步逐渐揭示出方程14.7=4.9t219.6t 的根的实际意义，教师在这时再顺势提出更一般的问题：一元二次方程ax2+bx+c=h的根的几何意义又是什么呢？学生就不难理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标了。学生在

21、课堂上有时热烈，有时安静，有时欲说还羞，有时又很满足，他们完全沉浸在数学探索、发现的乐趣中了。第四环节 开拓创新，试一试活动内容：在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm?你是如何知道的?活动目的：此环节作为一个练习给出，此处留给学生充分的时间 ，让他们整理自己的认识，首先在学习小组内互相表达，然后在全班发言，虽然问题和前面的比较一样，但由学生自己独立思考，教师要作出及时的肯定评价，这一环节目的是巩固学生对前面知识讲解的理解、消化，并能够清晰、完整的回答出。实际教学效果：教学中老师让学习小组先互相讲解，然后再由小组成员推荐上讲台面向全班同学讲解，一个同学发言指出他们的做法，

22、把h=60带入函数式中，转化为求方程的根。全班同学用赞许的眼光肯定了他的解法。看到他只是从“数”的角度解决的，我知道学生要形成数形结合的思想意识是需要过程的。我向全班同学启发问到：其他小组还有没有另外的解法？另一位同学说：前面同学是从代数的角度解决的问题，我还可以用几何方法解决。画出直线h=60，找到它与抛物线的交点，两个交点的横坐标就是问题的结论。他的讲解赢得了同学热烈的掌声。我没有让他坐下，在肯定了他能够用数形结合的思想考虑问题的同时，又追问了他一个问题：如果你的抛物线图形没有画准，那么图象法得到的结论准确吗？你能比较一下两种解法的优劣吗？此刻所有同学都深刻体会到代数解法精确，而图象法快捷

23、。第五环节 放开手脚，做一做活动内容：例: 已知二次函数y=kx27x7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为什么?错解：由=（7）24×k×（7）=4928k0， 得k 正确解法：此函数为二次函数，k0，又与x轴有交点， =（7）24×k×（7）= 4928k0，得k ，故k 且k0 点拨：因为是二次函数，因而k0； 有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为0活动目的：对本节知识进行巩固练习，教师带领学生分析题目是描述几何关系的语言，即“形”作为条件，那么我们应该通过什么途径来研究呢？学生自然会想到应转化为代“数”的一面来考虑。使学生更加加深数形结

24、合的思想的运用，熟练对数与形进行转化。在学生高高兴兴作出解答后，教师应关注他们是否考虑学生对两个交点的理解，以及k的取值范围了没有？实际教学效果：学生基本都能把问题转化为根的判别式的值大于零，受到了较好的教学效果。但很多学生没有条件虽然说有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为0；另外二次函数的存在条件是二次项的系数不为零只有个别同学注意到。教学中先让有问题的学生板演出他的解法0，我故意打一个大大的半对号，请同学们说说原因，当有同学提出应为0，我仍然说道还不完整，再请同学们思考，直到给出完整的解法。同学们在问题的思考探索中培养了他们分析题目要全面、仔细的好习惯。第六环节 大胆尝试、练一练活动

25、内容：1抛物线y=-3（x2）（x5）与x轴的交点坐标为_2抛物线y=x22x3与两坐标轴交点的个数为 个3抛物线y=2x28xm与x轴只有一个交点，则m= _4二次函数y=kx23x4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围5若a0，b0，c0，0，那么抛物线y=ax2bxc 经过象限 活动目的：用课堂形成性评价方式检查学生本节课的学习效果，学生基本上都能够顺利完成前4个小题的解答，第5小题的综合性非常强。由于是限时训练，学生大多可以得到80分，让他们明白数学的学习是一环紧扣一环的，新旧知识的联系需要及时的复习总结。进一步巩固用“数”研究“形”，用“形”研究“数”是函数学习的两条主线和主要研究方法。实际教学效果：学生迅速的完成了前4个小题的解答，但被第5小题难住了。在第5分钟时我让同桌相互交换批改打分。大多同学得到80分，他们很不服气，我反问他们知道为什么答不出第5小题的原因吗？以此来强调在函数学习中，一要注意知识前后的联系，及时复习巩固，我鼓励同学们认真回顾二次函数系数a、b、c是如何决定抛物线的位置的，让学生结合本节课