全国硕士研究生入学统一考试数学一试题分析及答案

1、2007年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案一、选择题(本题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当X-0时，与、反等价的无穷小量是/ x,1 x(A)1 e .(B) ln 1 . xI-=,-(C),1 X 1.(D) 1 cos、. X.【分析】1e、x(e"x1)<x (x0 )11<1&1 (1G 1jx (x0 )21 211 cosC一(五)-x (x 0 )2 2因此选(B) 1x、(2)曲线y ln(1 e)渐进线的条数为 x(A)0 .(B)1 .(C)2

2、.(D)3 .【分析】只有间断点x 0 .由于1lim lim ( ln(1 e );故x 0为垂直渐进线x x x一1V又 lim lim ( ln(1 e) 0 ln1 0,x x x故x时有水平渐进线 y 0.limx lim 工 x xxln(1 ex)limxxexe1,limx(y x) pm1(一xln(1ex) ln ex)limx1 ln0,故x 时有渐进线y x.因此选(D).(3)如图，连续函数y f (x)在区间3, 2, 2, 3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间2, 0 , 0 , 2的图形分别是直径为 2的上、下半圆周。设 F (x)f (t )dt ,

3、则下列结论正确的是_3 _ _(A) F(3)3F( 2)45(B) F(3) -F(2).43(C) F( 3) -F(2).4(D) F( 3)5F( 2)4【分析】注意，大、小半圆的面积分别为按定积分的几何意义知，当x 0,2时f(x) 0,当x 2,3时f(x) 0。32311 3F(3)0 f(t)dt 0 f(t)dt 2 f(t)dt -( R 万4，21F(2)0 f 出 2 .x因为f(x)为奇函数 F (x)0 f(t)dt为偶函数。1 31F( 3) F(3) 24 ,F( 2) F(2) 2 .因此 F( 3) 3F(2).选(C)4(4)设函数f (x)在x=0处连续

4、，下列命题错误的是(A)若 limf(x存在，则 f(0) 0X 0 x(B)若 lim f(x) f( x)存在，则 f(0)0X 0 x(C)若limf(x存在，则f'(0) 0存在x 0 x(D)若 lim f(x) f( x)存在，则 f '(0) 0 存.x 0【分析】设f (x) x ,则limf(x) f( x)x 0 xxm00存在，但f (0)不存在因此(D)是错误的。选(D)。(5)设函数f(x)在(0, +8)上具有二阶的导数，且 f (0) 0令unf(n)(n 1,2 ),则下列结论正确的是(A)若u1u2，则un必收敛。(B)若u1 u2，则un必发

5、散。(C)若U1U2,则Un必收敛。(D)若UiU2,则Un必发散。B 【分析】 由f (x) 0(x 0)f(X/(0,+ )单调上升。f(x)只有以下三种情况：0,0 xx0,(1)x0(0,), f (x0) 0 f (x)0, x x0(O) x x。f (x)在(0, x°)、，在x0,)/,又 x xix0 时f (x)f(xi)f (xi)(x xi),lim f (x).x(2)对所有x (0,),f (x) 0"*)在(0,)/且 lim f(x)x对 x (0,), f (x) 0, f(x)在(0,)、，则或 Jim f (x)或 Jim f (x)如

6、,i3一一f(x)-f(x)-30(x0).xxunf(n),limf(n)0.n又如,f(x) i x xr iUnf(n)一n3f (x)月 0(x 0),xn,但 lim un .n(A),(B)不正确由(i), (2)(C)不正确，而(D)正确。因此，选(D)。(6)设曲线 L： f (x, y)i(f(x,y)具有一阶的连续偏导数)，过第n象限内的点 M和IV象限内的点N, 为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分小于零的是(A) f (x, y)dx.(B) f (x, y)dy.(C)f(x, y)ds.(D)fx(x,y)dx fy(x, y)dy.【分析】记点M与N的坐标分别为

7、xM , yM将f (x, y) 1.代入被积表达式得(P) f (x,y)dy dy yNVm0因为将 f (x,y) 1.求全微分得fx(x, y)dx fy(x, y)dy 0因此选(B)xn , Vn(7)设向量组ai,a2,a3线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) aia2,a2 a3,a3 ai,(B)aia2,a2a3,a3 ai,(Q) ai2a2,a22a3, a3 2ai , .(D)ai2a2,a22a3,a32ai , A 【分析】因为(ai a?) (a2 a3) (a3 ai) 0至于(B)、(C)、(D)的线性无关性可以用(i, 2, 3) (ai,a2,a3

8、)C的方法来处理。例如(aia2, a2a3,a3 ai)(ai,a2,a3) i所以向量组ai a2,a2 a3,a3 ai,线性相关，故选(A).i 0 i由于i i 0 2 0 ,故知ai aza a3,a3 a1，线性相关。0 i i2 i(8)设矩阵A i 2i i 0 0i , B 0 i 0，则 a与 Bi i 20 0 0(A)合同，且相似(C)不和同，但相似(B)合同但不相似(D)既不合同，也不相似B 【分析】 根据迹相等是两矩阵相似的必要条件，易见A和B肯定不相似。由此可以排除(A)与(C)。而合同的充分有相同的正、负惯性指数。为此可以用特征值来加以判断。由211E A 1

9、21121(3)2，112112矩阵A的特征值为3,3, 0。故二次型xT Ax的正惯性指数 p 2,负惯性指数q 0,而二次型的正惯性指数也为 p 2,负惯性指数q 0,所以A、B合同。故应选(B)。(9)某人向同一目标独立的重复射击，每次射击命中目标的概率为p (0 p 1),则此人第4次射击恰好第2次命中的概率为22(A) 3P(1 p)(B) 6p(1 p)2222(C) 3p (1 p) .(D) 6P (1 p) . C 【分析】 设事件A= "第4次射击恰好第2次命中目标”，则A表示共射击4次，其中前3次只有 1次击中目标，且 4次击中目标，因此_ 12_22P(A)

10、C3P(1 p) p 3p (1 p)应选(C)。(10)设随机变量(X, Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x), fy(y)分别表示X, Y的概率密度，则在Y= y的条件下，X的条件概率密度fX|Y(X |Y)为(A) fx(x)(B) fy(y)(C) fx(x)fy(y).(D). fX A fY(y)【分析】 由于(X,Y)服从二维正态分布，因此从X与Y不相关可知X与Y相互独立，于是有fX|Y(x y)fX(x)应选(A)若仔细分析,由于 X与丫不相关，即0 ,因此(X,Y)的联合密度为f (x, y)y 2 2(2)221x1212(一)2e 121 2而X , Y的边缘

11、密度分别为1J)2f(x) 一e 1, f(y)J)22fXy(x y)f(x,y)fY(y)2"J)2- e 1= f X ( x) °1也可知选(A)二、填空题(本题共6小题，每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(11)【分析】原式22 111ed(x)1ex(12)设f (u, v)为二元可微函数，zf(xy,yx),则 x【分析】由多元复合函数求导法，有-(xy) x u xyxlny-. v(13)二阶常系数非齐次线性方程y4y 3y2e2x的通解为y=【分析】特征方程 2 430的根为 1,3.非齐次项eax,a2不是特征根，非齐次方程有特解*2x、一

12、 一y Ae .代入方程得4A 8A 3A e2x 2e2xA 2.因此，通解为x3x 2xgec2e2e .(14)设曲面y z 1,则！ (x |y)ds关于yz平面对称,X对X为奇函数xds 0.由变量的轮换对称性曲面 的面积ydsxdszds.x y dsyds - 3Id记在第一卦限部分的面积为1,则cos 1,即 i 22- 13,因此(15)设矩阵因为(16) 在区间(0,这是1)则A3的秩为，可以知秩r(A3) 1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于个几何型概率的计算题。设所取的两个数分别为1，-的概率为2x和y ,则以x为横坐标以y纵坐标的点(x, y)随机地落在边长

13、为1的正方形内(如图所示),设事件A表示“所取两数之差的绝对值小于,则样本空间(x, y) ：01.0；事件A的样本点集合为区域G中所有的点，而因此、解答题:明的过程或演算的步骤。(17)(本题满分11分)求函数f(x, y)22x 2y2 2 .x y在区域D(x,y)2.- 一 -y 4,y 0上的最大值和最小值.【分析与求解】(1)求D内的驻点及相应的函数值。2x2xy24y2x2y1,2.是 f(x,y)在 D 内的 4 个驻点：M1(J2,1),M2(J2,相应的 f(Mj 2 (i 1,2,3,4).(2)求f(x,y)在D的边界的最大值与最小值。D的边界由两部分组成。一是直线段

14、1 : y 0, 2 x 2,在1上f(x,y) x 为曲面z 1 x2 (0 z 1)的上侧. 【分析与求解】利用高斯公式转化为求三重积分与辅助面上的曲面积分。1 O曲面 不封闭，添加辅助面1 :z 0(x2 - y2 1),法向量朝下， 与1围成区域 ，取外1'4法向。因为 1垂直yz平面与zx平面，所以 xzdydz 2zydzdx 0.又根据对称性13xydxdy 3xydxdy 0.1D1 o其中区域D：x - y 1关于x,y轴对称。由图斯公式得4( 2 x 2),最小值为0,最大值为4。另一是上半圆周2 : y2 4 x2( 2 x 2),在2上22、2 224f(x,y

15、) x 2(4 x ) x (4 x ) 8 5x x25 27 记(x -)-=h(x) (2x2),242 525h (x) 2(x2 -) 2x,由h(x) 04x 0,x2 -.又 h(0) 8,h(岛 4,h( 2) 4,于是f (x, y)在D的边界上的最大值为 8,最小值为0。(3)通过比较知，f(x, y)在D上的最大值为8,最小值贼为0。(18)(本题满分10分)计算曲面积分其中I xzdydz 2zydzdx 3xydxdyxzdydz 2zydzdx 3xydxdyxzdydz 2zydzdx 3xydxdy11(z 2z 0)dv 3zdvdz 3zdxdy,D(z)2

16、 1 2.其中D : x2 y2 1 z,面积为2 (1 z).因此41 1 1I 03z2(1 z) dz 6 (-).2 3(19)(本题满分11分)设函数f(x),g(x)在a,b上连续，在a,b内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a) g(a), f (b) g(b),证明：存在(a,b),使得 f ( ) g ().【分析与证明】 令F(x) f (x) g(x)F(x)在a,b连续，在(a,b)可导，在题设条件下，要证存在(a,b), F ( ) 0.已知F(a) F(b) 0,只须由题设再证c (a,b),F(c) 0.(1) 由题设 x1 (a, b), M max f (x

17、) f (x1), x2 (a,b),M maxg(x) g(x2).若 x1x2，取a,ba,bc x1x2, F (c) 0.若x1 x2,不妨设x1 x2,则F(Xi)f(x1) g(x1) 0, F(x2)f(x2) g(x2) 0.c (Xi,X2), F(c) 0.(2)由 F(a) F(b) F(c) 0,对 F(x)分别在a,c, c,b用罗尔定理(a,c), 2 (c,b)使得F ( 1) 0,F ( 2) 0再对F (x)用罗尔定理(1, 2)(a, b),使得F ( ) 0，即f ( ) g ().(20)(本题满分10分)设备级数anxn在(，)内收敛淇和函数y(x)满

18、足y 2xy 4y 0, y(0) 0, y (0) 1(i)证明an 2；an，n n 11,2,l|;(n )求y(x)的表达式【证明与求解】(I)哥级数y(x)anxn在收敛区间(n 0)内可逐项求导任意次,n 1ynanx ,n 1y n(n 1)anxn 2 (n 2)(n 1居 2xn, n 2n 02xy 4y (n 2)(n 1狂 2xn n 02nanxn4anxn,n 1n 02a2 4ao(n 2)(n 1m2 2(n 2)1xn 0n 1由 y(0) a。0 a2 0,( n 2)(n 1)% 2 2(n 2间 0 (n 1,2,3,|)cc2, 、a0 0,a20an

19、 2-an(n 1,2,3,).n 1, 、 一2 一 一一、(n)由a2 0,及 an 2 -an(n 1,2,3,).n 1a2 a4 a6 J" a2n 0(n 1,2,3, |).，、一2由初值 y(0) a 1及 an 2 an(n 1,2,3,).n 1一 22一 1一 1一 1_1a§cii- 19 015a§- > a-；a > a§24233!4!易归纳证得a2n 1 1 (n 0,1,2,3,|)(0! 1).2n 1y(x)a2n 1xn 01 2n 1xn 0 n!2、n(x )x2xe(21)(本题满分11分) 设线

20、性方程组x1 x2 x3 0x1 2x2 ax3 02x1 4x2 a x3 0与方程X 2x2 x3 a 1111：0111，01111，0_12a 001a 1，001a 1，0A21214a0103a 1 ， t000(a1)(a 2) , 10121 a 1010，1a 1001 a，*a 11 11 1 p0如果0 10 10a1,则A.从而方程组的通解为k(1,0,1)T.即是方程组与的公有公共的解，求a的值及所有的公共解将与联立，加减消元有【解】00000000共解。如果2,则A0 .从而方程组的通解为1(0,1,1)T.即是方程组与的公共解。(22)(本题满分11分).设三阶实

21、又称矩阵A的特征值1, 22, 32,a1(1, 1,1)T 是 A 的属于1的一个特征向量.记B A5 4A3 E淇中E为3阶单位矩阵.(I )验证a1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值的特征向量；(n )求矩阵B.【解】(I)由Aa a知Anana那么B&(A54A3E)a1A5a14A3a1a1( 15 4131)a12a1,所以a1是矩阵B属于特征值 12的特征向量。类似地,A Aa22a2, Aa?3a3,有Ba?( 24 21)a2 a2,Ba3 (34 3 1)a3 a3,因此，矩阵B的特征值为 12, 23 1.I ,23由A是对称矩阵知矩阵B也是对称矩阵，设矩阵B

22、属于特征值1的特征向量(为？2,*3),， 那么所以矩阵B属于特征值因而，矩阵B属于特征值矩阵B属于特征值(n)由 Ba12a2, BB(ai, a2, a3)(那么B ( 2a1,(23)(本题满分Ta1x1x2 x30.1的线性无关的特征向量是12的特征向量是k1(1,1的特征向量是k2(1,1,0)T22, B2a1，2, 3).3)(a1,a2, a3)11分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, y)y,(I )求 P X>2Y ;(n)求z X Y的概率密度fz(z)【解】(I) P X 2Yx 2y 0 x 1,0 y2 30(2 5y2(1,1,0)T, 3( 1,0,1)T.1,1)T.其中K是不为0的任意常数