高中数学必修四第三章综合检测Word版

1、第三章三角恒等变形一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1sin 15°cos 75°cos 15°sin 75°等于()A0B.C.D1【解析】sin 15°cos 75°cos 15°sin 75°sin(15°75°)sin 90°1.【答案】D2在锐角ABC中，设xsin A·sin B，ycos A·cos B，则x、y的大小关系为() X|k |B| 1 . c|O |mAxyBxyCxy

2、Dxy【解析】yxcos(AB)cos(C)cos C，C为锐角，cos C0，yx0，即xy.【答案】B3若sin cos tan (0<<)，则的取值范围是()A(0，)B(，)C(，)D(，)【解析】因为sin cos sin()，当0<<时，此式的取值范围是(1，而tan 在(0，)上小于1，故可排除A，B；在(，)上sin cos 与tan 不可能相等，所以D不正确，故选C.【答案】C4在ABC中，若sin C2cos Asin B，则此三角形必是()A等腰三角形B正三角形C直角三角形D等腰直角三角形【解析】sin Csin(AB)sin(AB)，sin Ac

3、os Bcos Asin B2cos Asin B.sin(AB)0，AB，ABC为等腰三角形【答案】A5(2012·陕西高考)设向量a(1，cos )与b(1，2cos )垂直，则cos 2等于()A. B. C0D1【解析】a(1，cos )，b(1,2cos )ab，a·b12cos20，cos2，cos 22cos21110.【答案】C6当0<x<时，函数f(x)的最小值为()A2B2 C4D4【解析】f(x)cot x4tan x24.当且仅当cot x4tan x，即tan x时取得等号故选C.【答案】C7(2013·江西高考)若sin ，

4、则cos ()ABC. D.【解析】cos 12sin212×21.【答案】C8(2013·重庆高考)4cos 50°tan 40°()A. B.C.D21【解析】4cos 50°tan 40°4sin 40°·.【答案】C9已知f(x)sin2(x)，若af(lg 5)，bf(lg )，则()Aab0Bab0Cab1Dab1【解析】由题意知f(x)sin2(x)，令g(x)sin 2x，则g(x)为奇函数，且f(x)g(x)，af(lg 5)g(lg 5)，bf(lg )g(lg )，则abg(lg 5)g(lg

5、 )1g(lg 5)g(lg 5)11，故ab1.【答案】C10对于函数f(x)2sin xcos x，下列选项中正确的是()Af(x)在(，)上是递增的Bf(x)的图像关于原点对称Cf(x)的最小正周期为2Df(x)的最大值为2【解析】f(x)2sin xcos xsin 2x，f(x)为奇函数，f(x)图像关于原点对称【答案】B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)11(2012·江西高考)若，则tan 2_.【解析】由，等式左边分子、分母同除cos 得，解得tan 3，则tan 2.【答案】X| k | B| 1 . c |O |m12知，(

6、0，)，且3sin sin(2)，则_.【解析】由，得tan .由3sin sin(2)，得3sin()sin()，化简得tan()2tan 1.由于，(0，)，故(0，)，所以.【答案】13若是第二象限角，cos sin ，则角所在的象限是_【解析】 |sin cos |cos sin ，sin <cos .是第二象限角，2k<<2k，kZ.则k<<k.kZ.由上可得2k<<2k，kZ.所以是第三象限角【答案】第三象限角14函数f(x)sin2(2x)的最小正周期是_【解析】f(x)，最小正周期T.【答案】15(2012·江苏高考)设为锐角

7、，若cos()，则sin(2)的值为_【解析】为锐角且cos()，sin().sin(2)sin2()sin 2()cos cos 2()sin sin()cos()2cos2()1××2×()21.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)(2013·辽宁高考)设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)a·b，求f(x)的最大值【解】(1)由|a|2(sin x)2sin2 x4sin2x，|b|2c

8、os2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x，所以x.(2)f(x)a·bsin x·cos xsin2xsin 2xcos 2xsin，当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.17(本小题满分12分)若2sin()sin cos ，2sin2sin 2，求证：sin 2cos 20.【证明】由2sin()sin cos 得cos sin sin cos ，两边平方得2(1sin 2)1sin 2，即sin 2(sin 21)，由2sin2sin 2得，1cos 2sin 2.将代入得sin 2(1cos 2)1得sin 2cos 2

9、，即sin 2cos 20. bbb:/ aaaxkb1 aaa18(本小题满分12分)已知函数f(x)4cos x·sin(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性【解】(1)f(x)4cos x·sin2sin x·cos x2cos2x(sin 2xcos 2x)2sin.因为f(x)的最小正周期为，且0，从而有，故1.(2)由(1)知，f(x)2sin(2x).若0x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减19(本小题满分13分)已知函数f

10、(x)sin(x)sin(x)2cos2，xR(其中>0)(1)求函数f(x)的值域；(2)若对任意的aR，函数yf(x)，x(a，a的图像与直线y1有且仅有两个不同的交点，试确定的值(不必证明)，并求函数yf(x)，xR的单调增区间【解】(1)f(x)sin(x)sin(x)2cos22sin xcos cos x12sin(x)1，xR，f(x)的值域为3,1(2)由题意得函数f(x)的周期为.，2，f(x)2sin(2x)1.令2k2x2k，kZ.得kxk，kZ.函数f(x)的单调增区间为k，k，kZ.图120(本小题满分13分)如图1，以Ox为始边作角与(0<<<

11、;)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(，)(1)求的值；(2)若·0，求sin()【解】(1)由三角函数定义得cos ，sin ，则原式2cos22×()2.(2)·0，.sin sin()cos ，cos cos()sin .sin()sin cos cos sin ×()×.21(本小题满分13分)(2012·湖北高考)设函数f(x)sin2x2sin x·cos xcos2x(xR)的图像关于直线x对称，其中，为常数，且(，1)xKb 1. Com (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图像经过点(，0)，求函数f(x)的值域【解】(1)因为f(x)sin2xcos2x2sin x·cos xcos 2xsin 2x2sin(2x)，由直线x是yf(x)图像的一条对称轴，可得sin(2)±1，所以2k(kZ