高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解

1、v1.0可编辑可修改对数与对数函数1.对数(1)对数的定义：如果ab=N (a>0, awl),那么b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b.(2)指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b(a>0,aw 1,N>0).两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化 .(3)对数运算性质： log a (MN =log aM+lOg aNI lOg a M =lOg aM- lOg aNI N log aM=nlog aM ( M> 0, N> 0, a>0, awl)对数换底公式：log bN= 10ga N (a>0, awl

2、, b>0, bwi, N>0). logab2.对数函数 (1)对数函数的定义函数y=log ax (a>0, aw 1)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是(0, +°0).注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应 b的值的。但是，根据对数定义：log aa=1;如果a=1或=0那么log aa就可以等于一切实数(比如 log 11也可以等于2, 3, 4, 5,等等)第二，根据定

3、义运算公式：log a MAn=nlog a M如果a<0,那么这个等式两边就不会成立(比如，10g(-2)4A(-2)就不等于(-2)*log (-2)4; 一个等于1/16 ,另一个等于-1/16 )(2)对数函数的图象11v1.0可编辑可修改Ox y=logax(0<a<l)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.（3）对数函数的性质：定义域：（0, +°0）.值域：R 过点（1, 0）,即当X=1时，y=0.22当a> 1时，在（0, +00）上是增函数；当0V a< 1时，在（0, +°°）上是减函数基础例题题型1 （

4、对数的计算）1.求下列各式的值.10g 2 X log 3 1 X log 5. 25891(2) lOg35 + 2log1 五一log50 10g54;2练习题1 .计算：lg 1lg 5 + log 8910g 278;28+ 2log：272 log 5 A log 514;25X log 3- X log 51 .89v1.0可编辑可修改14. log 3- log9 4 log9 3 .25.22 -lg 5 1g 2 lg41(6).1og 2 24 lg - log 3 ,27 1g2 1og23 27.21g 2 lg3111 51g0.36 -lg8例2.已知实数x、v、z

5、满足3x=4y=6z>1.(1)求证：2 + 1 = 2 ；x y z(2)试比较3x、4y、6z的大小.练习题.已知 log 1s9= a, 18b=5,用 a、b 表示 log 3645.题型二：(对数函数定义域值域问题)例1.已知函数f X log22-的定义域为集合 A,关于x的不等式2a 2 a x的解集为B ,若A x 1实数a的取值范围.2.设函数y 10g2(ax2 2x 2)定义域为 A.(1)若A R ,求实数a的取值范围；(2)若10g2(ax2 2x 2) 2在x 1,2上恒成立，求实数a的取值范围.34v1.0可编辑可修改练习题1.已知函数f X lg ax2

6、2x 1(1)若f x的定义域是 R,求实数a的取值范围及f x的值域;(2)若f x的值域是R,求实数a的取值范围及f x的定义域2求函数y=2lg (x2) lg (x3)的最小值.题型三(奇偶性及其单调性)例题1.已知定义域为 R的函数f(x)为奇函数，且满足 f(x +2)= f(x),当xC0,1时，f(x) =2x1.求f(x)在1,0)上的解析式；(2)求log124)的值. 22 .已知f (x) =log 1 3 (x1) 2,求f (x)的值域及单调区间33 .已知y=log a (3ax)在0, 2上是x的减函数，求 a的取值范围4 .已知函数 f(x) lg(2 x)

7、lg(2 x).(i)求函数y f (x)的定义域；(n)判断函数 y f(x)的奇偶性;44v1.0可编辑可修改(出)若f(m 2) f (m),求m的取值范围练习题 1.已知函数 f(x) = log a(x + 1) log a(1 x)(a >0, awl)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a>1时，求使f(x) >0的x的取值范围2.函数f(x)是定义在R上的偶函数,f (0) 0,当 x 0 时，f(x) 10gl x.2(1)求函数f(x)的解析式;(2)解不等式f(x2 1)2;3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x 0时

8、，f(x) log 1( x 1).2(I)求 f(0) , f ;(n)求函数f(x)的表达式；(出)若f (a 1)1 ,求a的取值范围.55v1.0可编辑可修改题型4 (函数图像问题)例题1.函数f (x) =|log 2x|的图象是2 .求函数y=log 2 | x |的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间D3 .设 f(x) = |lg x| , a, b 为实数，且 0vavb.求方程f(x) = 1的解；(2)若 a, b满足 f(a) =f(b) =2fa上,2求证：a - b= 1, a-b > 1.2练习题：11.已知 a 0且 a 1,函数 f(x) loga(

9、x 1), g(x) log a，记 F(x) 2f (x) g(x)1 x(1)求函数F(x)的定义域及其零点；(2)若关于x的方程F(x) 2m2 3m 5 0在区间0,1)内仅有一解，求实数 m的取值范围.2.已知函数 f(x) = log 4(4x + 1) + kx(k C R)是偶函数.(1)求k的值； 4(2)设g(x) = log 4 a ?2a ,右函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求头数 a的取值氾围.366v1.0可编辑可修改3.函数y= log 2 | ax1 I (aw0)的对称轴方程是 x=2,那么a等于题型五：函数方程1 方程 lg x+lg (x+3) =1 的解 x=.(l)xx 4一2 .已知函数f (x) = 2则f (2+log 23)的值为 f (x 1),x 4,4 .已知函数 f(x) loga(ax Jx)(a 0,a 1 为常数).(I)求函数f (x)的定义域；(n)若a 2, x 1,9,求函数f (x)的值域；(出)若函数y a f的图像恒在直线 y 2x 1的上方，求实数a的取值范围.1xx5 .已知函数 y log 2 log 2 (2 x 8