沪科版-数学-九年级上册-二次函数的应用-如何获取更多的利润

1、初中-数学-打印版如何获取更多的利润例1某商场以每件45元的价钱购进一种服装，根据试销得知，这种服装每天的销量T （件）与每件的销售价x （元/件）可以看报是一次函数：7=-31+207 （45g69）（1）写出该商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每 天的销售利润是指卖出服装的销售价与购过价的差）。（2）通过对所得出函数关系式配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润，每件的 销售价定为多少最为合适？最大销售利润是多少？分析：每天总销售价为笈，即（-3x+207）x,每天销售的T件服装的进价为45T,即 45 （-3a + 207）,而总销售价与总进价的差值即为所获

2、得的利润，而对于第（2）小题应将 已得的二次函数配方，画出其函数图像，结合其自变量的取值范闱确定最佳售价。解：（1）由题意得：Y= （-3x4-207） x-45 （-3x+207）=(-3x4-207) (x-45) (45三在 69)(2)由(1)知y= (-3x+207) ( x-45)=-3 (x2-! 14x4-3105) =-3 (-57) 2+ 432 (45人69)由图像知开口向下，存在最大值，且45V57V69。当 x=57 时匕皿=432亲爱的同学，若请你帮该商场决策，你知道每件售价是多少最为合适吗？评述：本题显然是一道在实际生活中可以碰得到的实际问题，而且也确实可以使用我

3、们 学过的知识提供一定程度的参考，不过本题可以作一些延伸：1 .本题为什么每件商品的售价被限定在45元与69元之间呢?2 .该服装的售价可以超过69元吗？3 .该函数的图像还可以向两端延伸吗？例2共产品每件的成本价是120元，试销阶段中每件产品的销售价x （元）与产品的 月销售量y （件）之间的关系如下表：X （元）130150165>'（件）705035若月销售量），是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售应为多少 元？此时每日的销售利润是多少？（销售利润=销售价一成本价）分析：从传统的函数应用题拓展到有关营销决策、统计评估、生产、生活等时代气息浓 厚的应用问题

4、，形式多样，涉及的知识点比较广，且须注意知识的有机的融合，是近几年中 考函数类应用性试题出现的变化和特点。该题涉及一次函数、二次函数。建立二次函数需要 领会题意，并在此基础上求函数的最值。以销售为数学模型的函数应用题，既考查了学生的 知识，又考查了学生的能力。“销售利润=销售价一成本价''这是题目给出的式子，因此每件产品的销售利润与销售 价、成本价有关。每日的销售利润应是每日销售量y （件）与每件产品销售利润的积。这是 解决此题的关键，也是营销问题中的常识。以表格形式给出了 x（元）与），（件）的对应关系，并进而指出销售量），是销售价x 的一次函数，为用待定系数法求解析式提供了

5、可行性与新颖性。在分析与综合的基础上，每日的销售利润应是y G的一次函数）与每件产品销售利 润（x的一次函数）的积，实质为x的二次函数，于是求函数的最值，就是求日最大利润的 问题了。在实际问题中自变量的取值范闱必须符合题意。例如，销售价x元一般不能低于成本 价，否则要亏本，更无从谈利润：销售量只能是非负数等。130/?+Z? = 70解：设,，=履+，当x=130时，），=70：当x=150时，尸50,得方程组：50k+b = 50解得：b = 200,4 = 7/. y=-x+200设每日销售利润为z元，每件产品的销售利润是a 120）元，于是Z = y (x _ 120)- = (-X +

6、 200)(120) = -x2+320%-24000= (160)2+16007 + 12020X-1202 0120<x<200.当 x = 160时，Zinax = 1600即当每件产品的销售价定为160元时，每日的销售利润最大，最大利润为1600元。例3某剧院设有1000个座位，门票每张3元可达客满，据长期的营业进行市场估计, 若每张票价提高x元，将有20S张门票不能售出。(1)求提价后每场电影的票房收入y (元)与票价提高量x (元)之间的函数关系式和 自变量x的取值范用。(2)若你是经理，你认为电影院应该怎样决策(提价还是不提价)，若提价，提价多 少为宜？分析：若提价x

7、元后，则每张票价变为G+3)元，出售的门票总数为：(1000200x) 张，则票房的收入变为：(x+3) (1000-200a)。至于电影院到底应该怎样决策，显然票房的收入y是提高的价x的二次函数，可以对其 进行配方，进而求出最高的提价。解：(1)由题意知：y = (1000 - 200.x)(x-3)= -200x2 + 400x + 30001000-200x>0 fx<5又V200x>0-x>0.x的取值范围是：0Kx«5(2) y = -200(x2-2x +1 -1) + 3000= -200(x-l)2+200+3000= -200(x-1)2+3

8、200又 .当 X = 1 时，4ax = 3200 ° 电影院应每张门票提价1元为宜，接下来我们再来看一看河北省的一道中考题。亲爱的同学，你能试着顺利地完成它吗？例4某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、 B两种产品共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可 获利润700元：生产一件3种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200 兀。（1）按要求安排A、8两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你给设计出来。（2）设生产A、8两种产品获总利润为y （元），其中一种的生产件数为x,试写出）， 与x元间的函

9、数关系式，并利用函数的性质说出（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大 利润是多少？分析：本题是生产经营决策问题。在市场经济竞争十分激烈的今天，帮助学生学会比较， 学会挥优决策，是素质教育的要求，也是近年中考的热门题型。本题所涉及的知识点有：不 等式（组）、一次函数。解决这类问题的关键是，建立相应的数学模型。（1）A、B两种产品的生产件数，受总件数50和所需两种原料库存量的制约。所以可 由此得出不等组，从而确立A、B两种产品生产件数的范围，通过进一步讨论可选择其生产 方案。（2）列出总利润与产品生产数量之间的函数关系，根据函数的增减性质，就可以解决 本题。解:（1）设安排生产A种产品。件，则生产

10、B件产品（50-x）件。依题意，得'9x + 4（50-a）<3603x +10（50-x）< 290 .解之，得30<x<32 ”为整数，.x只能取30, 31, 32。相应的（507 的组为20 19, 18。°所以生产的方案有三种：第一种：生产A种产品30件，8种产品20件；。第二种：生产A种产品31件，B种产品19件；第三种：生产A种产品32件，8种产品18件。（2）设生产A种产品件数为x,则生产B种产品的件数为50人依题意，得 y = 700x +1200（50-X）= -500.v +60000其中x只能取30、31、32,/, -500%

11、 < 0 此一次函数中y随x的增大而减小。.当尸30时，y的值最大。故按第一种方案安排生产，获总利润最大，最大利润为：-500x30+ 60000 =45000元。例5某工厂计划出售一种产品，固定成本为2000000元，球台生产成本为3000元，销售收入为5000元，求总产量x对总成本。、单位成本P、销售收入R以及利润L的函数关系，并作出简要分析.初中-数学-打印版解：总成本与总产量的关系(?=2OOOOOO+3OOO.v.单位成本与总产量的关系2000000+ 3000销售收入与总产量的关系：R=5000x.利润与总产量的关系L = R - Q = 2000x-2000000 c分析：

12、从利润关系式可见，欲求较大的利润，应增加产量（在不考虑销售的情况下）， 若x<1000,则要亏损：若.*=1000,则利润为零；若Q1000,则可盈利。这一点也可以 从上面的图像中看出，两条直线的交点就是平衡点。从单位成本与总产量呈反比例的关系可见，为了降低成本，应增加产量，这样才能降 低成本，形成规模效益。例6今拟建一排4门的猪舍（如图），由于材料的限制，围墙和墙的总长度只能造 米，问X为多少时，猪舍面积最大？S = x.p-5x p 5 2=x x2225 f.oCs = 一二 A5 2l.当工=二米时，猪舍面积最大。10答：入=二米时，猪舍面积最大。10说明：本题列式的关键，在于找

13、出长方形的长匕工和宽工。对于求极值，是否采用 2配方法，则可以根据自己的习惯，本题所用的配方法是解决此类问题的通法。现代生活中，信息显得十分重要，而报纸作为大众传媒的一种，是一种传递信息的重要 载体。正因如此，我们很多人都有抽空着报纸的习惯。下面我们就来研究一下报摊卖报的问 题，请你帮助业主设计一下最佳办法。例7某市一家报摊从报社买进晚报的价格是每份0.12元，卖出的价格是每份0.20 元，卖不掉的以每份0.04元退回报社，在一个月(30天)里，有20天每天可销售400份， 其余的10天仅售250份。但每天从报社买的份数必须相同，他应每天从报社购多少份，才 能使每月所获利润最大？最大利润是多少

14、？分析：本题应通过“售报收入”减去"退报亏损''构造等式，从而解决问题。解:设每天从报社购进x份(250<x<400),每月售出(20.X-+10x250)份，退回10 (x-250)份，由于卖出获利，退回亏损均为0.08元，则y=0.08 (20+2500) - 0.08 (x-250) xl0=0.8+400这显然是一个k>0的一次函数，函数值y随着自变量x的增大而增大的,所以当x=400 时，ymax = 720 (元)。答：应每天从报社购400份，才能使每月获利润最大，最大利润是720元。说明：此题是一道十分典型的应用题。它适用于卖报、卖书、

15、卖书刊。随着数字的变化, 可编撰成一道道试题。但是解法却是不变的，应注意此题的解法。例8某房地产公司要在荒地48CDE (如图)上画出一块长方形地面(不改变方向)， 建造一幢8层楼公寓。问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到 1m2)。分析：在线段A8上任取一点P,分别向CD、OE作垂线，即可保持原来方位，画得一 块长方形上地。显然，土地面积决定于P在AB上的位置。解：建立如图所示的坐标系，则AB的方程为过A (0, 20)、B (30, 0)则的一条直线。设直线A3的方程为产 履+则又因为A、8两点在直线上， 尸230攵 + = 0-k=二32 2.)，= 二x + 20。

16、由于尸点在直线上，故可得P点的坐标为(x,20 二幻+ 20 (，产 点坐标满足函数的解析式)，则长方形的面积为：S = (100x) 80-20-1x(0<x<3)化简得：5= x2 + x + 6000(0<x<3)3 3对函数的解析式进行配方得2S = -二，-10x + 52 -52) + 6000 3=-(x-5)2 + + 6000332/18050=一一(%-5)- +33, u ” 250 1c 18050、当 x = 5, y = 20 - qX =彳时，S max = -(m )。说明：由此题可见，公寓占地面积与楼房层数无关，并非所有信息都是有用的，

17、这也是 应用题与通常题目的一个重要区别。例9某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000平方米的楼 房，楼房的总建筑费用与建筑高度有关，楼房升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用平均提高5%,已知建筑5层楼时，每平方米的建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的平均综合费用最省（建筑费用与购地费用之和），公司应把楼建成几层？解：设该楼建成x层，则根据题意得每平方米的购地费用为：1000000+100x = UW x（元）每平方米的建筑费用为：4004-400 （*-5）5% （元），所以每平方米的平均综合费用为：)，=400+400(x - 5) 5% +x吗 20X + 30X

18、= 20|x + + 15 x+ 15 + 10 梃+ 30 + 200x/2 > 200a + 300即得含费用最少为（200、历+ 300）,可见公司应该把楼房建成7层。上面的例子是关于建造楼房的问题，在生活中，安居工程确实是老百姓比较关心的问题 之一。这一点就是生活在校园内的同学们也有所耳闻。有多少家梦想住人宽广静适的套房啊! 下面我们就来研究一下一道关于单位职工住房公积金的问题。例10某单位决定位公房的职工必须按基本工资高低交纳建房公积金，办法如下：每月工资数公积金100元以下不交纳100200 元交纳超过100元部分的5%200300元100-200元部分交纳5%, 20030

19、0元部分交10%300以上100-200元部分交纳5%,200300元部分交10%300元以上部分交纳15%设职工每月工资为X元，交纳公积金后实得数为），元，求y与人之间的关系式，并画出 图像。解：当OVxVIOO时，y=x当100夕<200时y=100+ (x-100) (1-5%) =0.95x+5当200刀(300时(1-10%) =0.9x+15y= 100+100 (1-5%) + (x-200)当工之300时y= 100+100 (1-5%) +100 (1-10%) + (x-300)=0.85x4-30x0.95x + 5.y = 50.95x + 150.85x + 30(0<x<100) (100<x<200) (200<x<3) (x>3)说明：此题系分段函数,其对人的取值范围的讨论具有典型性，即应本着既不重复，也不遗漏的原则。凡关于一些保险费的交纳等问题也可仿上类似地求解.某生产队有60米长的一段篱笆，现用来围一