2020高考数学一轮复习第八单元数列学案文

1、2019 年【2019最新】精选高考数学一轮复习第八单元数列学案文X教材复习课“数列”相关基础知识一课过Z数列的有关概念过双基若数列an的前n项和为Sn,贝U an =n2.1 .数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的窜-个数数列的通项数列an的第n项an通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式前n项和数列an中，Sn= a1 + a2+ an叫做数列的前n项和2. an与Sn的关系S1, n=1,Sn Sn 1)1 .数歹!Jan满足an + an+1 = (n6N*), a2 = 2, Sn是数歹Ua

2、n的前 n 项和，贝US21的值为()A. 5B.7C.D.y解析：选 Ban+ an+ 1 = , a2=2,3.-2, n为奇数，2, n为偶数.S21=11X + 10X2=.2.数列an满足 a1=3, an+1 = (n6N*),贝 U a2 018 = ()A.B. 32C. D.23解析：选 D 由 a1 = 3, an+1 = ,得 a2= = , a3= = , a4= = 3,由上可得，数列an是以3为周期的周期数列,故 a2 018 =a672x3+2 = a2=.3 .已知数列an满足an = (n 6 N*),前n项的和为Sn,则关于an, Sn的叙述 正确的是()A

3、. an, Sn都有最小值B. an, Sn都没有最小值C. an, Sn都有最大值D. an, Sn都没有最大值解析：选 A :2门=,.,.当n5时，an6时，an0, 且单调递减.故当n=5时，a5= - 3为an的最小值；由的分析可知：当nW5时，an0.故可得S5为Sn的最 小值.综上可知，an, Sn都有最小值.4 .已知数列an中，a1=1, an+1 =an +2n+ 1(n 6 N*),贝U a5=.解析：依题意得 an+1 an=2n+1, a5=a1+ (a2 a1)+(a3 a2) + (a4 a3) 十 (a5-a4) = 1 + 3+ 5 + 7+9=25.答案：2

4、5清易错“一-1：鼠油疏后蕨一宣布瓦而而雨标不：一薮司前顼豆蒋薮时小窠二福茶1勺薮：一j |而项数是指数列的项对应的位置序号.|I 2.在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出 a1,而是直接把数列I !|的通项公式写成an = Sn-Sn-1的形式，但它只适用于n2的情形.| 一言如冠司而河公氐方，n n2二8n工彳5：TC)A. 3不是数列an中的项B. 3只是数列an中的第2项C. 3只是数列an中的第6项D. 3是数歹U an中的第2项或第6项解析：选D 令an=3,即n2 8n+15= 3,解得n = 2或6,故3是数列an中的第2项或第6项.2.已知数列an的前n项和为Sn

5、= 3+2n,则数列an的通项公式为.解析:当 n=1 时，a1 = S1 = 3+2= 5;当 nA2 时，an=Sn-Sn- 1 = 3 + 2n (3+ 2n- 1) = 2n2n 1 =2n 1.因为当n=1时，不符合an=2n1,所以数列an的通项公式为an =5, n= 1, 2n- 1, n2.答案:an=5, n=1,2n 1, n2等差数列过双基1 .等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1-an=d(n 6 N*, d为常数).(2)等差中项：数列a, A, b成等差数列的充

6、要条件是 A=,其中A叫做a, b的等差中项.2 .等差数列的有关公式(1)通项公式：an=a1 + (n 1)d.(2)前n项和公式：Sn= na1 + d =.3 .等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an = amn+ (nm)d(n, mW N*). 若an为等差数列，且 k + l =m n(k , l , m, nW N*),则 ak + al =amn+ an.(3)若an是等差数列，公差为d,则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an , bn是等差数列,则pan+qbn也是等差数列.若an是等差数列，公差为d,则ak, ak+m ak + 2m (k , mn N*)

7、是公差为md的等差数列.1.在等差数列an中，已知a2与a4是方程x2 6x+8= 0的两个根，若a4a2,贝U a2 018=()B. 2 017A. 2 018D. 2 015C. 2 016解析：选A 因为a2与a4是方程x26x+8 = 0的两个根，且a4a2,所以a2=2, a4= 4,贝U公差 d=1,所以 a1=1,贝U a2 018=2 018.2.在等差数列an中，a2+a3 + a4 = 3, Sn为等差数列an的前n项和，贝U S5=()B. 4A. 3D. 6C. 5解析：选C :等差数列an中，a2+a3+ a4= 3, Sn为等差数列an的前n项和，.a2+a3+

8、a4= 3a3= 3,解得a3=1,S5= (a1 + a5) = 5a3= 5.3.正项等差数列an的前n项和为Sn,已知a4+a10 a+15=0,则S13=()B. 5A. 39D. 65C. 39解析：选D 正项等差数列an的前n项和为Sn,a4+a10- a+15= 0, a 2a715=0,解得a7=5或a7= 3(舍去)，.S13= (a1 +a7) = 13a7= 13X5=65.4.已知等差数列an的前n项和为Sn,且3a3=a6+ 4.若S510,则a2的取值范围是()B.(，0)A.(，2)D. (0,2)C. (1 , +s)解析：选A 设等差数列an的公差为d, 3a

9、3= a6+4,3(a2+d) =a2 + 4d + 4,可得 d = 2a24. S510, . = = = 5（3a24）10,解得 a22.a2的取值范围是（一s, 2）.5.在等差数列an中，a1 = 7,公差为d,前n项和为Sn ,当且仅当n=8时 Sn取得最大值，则d的取值范围为.解析：由当且仅当n = 8时Sn有最大值，可得,d0即解得1d0,a90,且a5 a7= 4a, a2=1,贝Ua1 = （）B.芋A.D. 2C.解析：选B因为an是等比数列,所以 a5a7= a= 4a,所以 a6 = 2a4, q2= = 2,又 q0,所以 q= , al =.清易错一一二S1S2

10、n二5n；S3n二2n7宓版举正雨灯（丽1公一仁q二二THn7彳蕨 时，Sn, S2n- Sn, S3n-S2n不成等比数列；当q# 1或q= 1且n为奇数时，Sn,|S2n- Sn, S3n- S2n成等比数歹U ）,但等式（S2n Sn）2 = Sn （S3nS2n）总成立.11|2.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q?l分类讨论，防|止因忽略q= 1这一特殊情形而导致解题失误.|,彳:展薮可面唇画司前不适而浮 Sni巨拓-S3281S64: 一员ija7+ asTa9等于（）A.B. - 8C.D.55解析：选A 因为a7 + a8+a9=S9S6,且S3, S6-S3

11、, S9- S6也成等比数列，即 8, 1, S9-S6成等比数列，所以 8（S9 S6）=1,即 S9 S6=.所以 a7+a8 + a9.2.设数列an是等比数列，前n项和为Sn,若S3= 3a3,则公比q=. 解析：当q*l时，由题意，=3a1q2,即 1-q3=3q2-3q3,整理得 2q3 3q2+1 = 0,解得 q=.当q=1时，S3= 3a3,显然成立.故q=一或1.答案：或1一、选择题1. （2017 全国卷I ）记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+ a5= 24, S6=48,则an的公差为（）B. 2A. 1D. 8C. 4解析：选C设等差数列an的公差为d,由得a

12、1 +3da 1 +4d=24, 6a 1 +6d = 48,即解得d = 4.2. (2018 江西六校联考)在等比数列an中，若a3a5a7= 3,则a2a8=()A. 3B. 17C. 9D. 13解析：选 A 由 a3a5a7= 3,得 a= 3,即 a5= 一,故 a2a8= a=3.3.在数列an中，已知a1 = 2, a2 = 7, an + 2等于anan+1(n 6 N*)的个位数， 贝U a2 018=()A. 8B. 6C. 4D. 2解析：选 D 由题意得 a3=4, a4= 8, a5=2, a6=6, a7 = 2, a8=2, a9= 4, a10=8.所以数列中

13、的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6,故a2 018= a335X6 + 8=a8= 2.4.已知数列an满足 a1 = 1, an= an 1 + 2n(n 2, n6N*),贝U a7=()A. 53B. 54C. 55D. 109解析：选 C a2=a1 + 2X2, a3=a2 + 2X3,，a7= a6+2X7,各式相加得 a7= a1 + 2(2 + 3+4 + 7) = 55.5.设数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1 = 1, an+1 =3Sn(n 6 N*),贝U S6=()A. 44B. 45C.X(46 1)D.X(45 1)解析：选 B 由 an+1=3Sn,彳

14、导 a2=3S1=3.当 n2 时，an=3Sn- 1,贝U an+ 1an = 3an, n2,即an+1=4an, n2,则数列an从第二项起构成等比数列， 所以 S6= = =45.6.等差数列an和bn的前n项和分别为Sn, Tn,对一切自然数n,都有=, 则等于()A.B.6C.球解析：选 C .S9= =9a5, T9= = 9b5,* .7.已知数列an是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，若5S2= S4,则log4a3 的值为()A. 1B. 2C. 0 或 1D. 0 或 2解析：选C由题意得，等比数列an中，5S2= S4, a1=1,所以 5(a1 +a2) = a1

15、+a2 + a3 + a4,即 5(1 +q) = 1+q + q2+q3,q3+ q2-4q-4=0,即(q + 1)(q2 4) =0,解得q=- 1或 2,当 q=1 时，a3=1, log4a3=0.当4=2 时，a3=4, log4a3 = 1.综上所述，log4a3的值为0或1.8.设数列an是公差为d(d0)的等差数歹U,若a1 + a2 + a3=15, a1a2a3= 80, 则 a11 + a12+a13=()A. 75B. 90C. 105D. 120解析：选 C 由 a1 + a2 + a3=15 得 3a2= 15,解得 a2 = 5,由 a1a2a3= 80,得 (

16、a2 - d)a2(a2 +d) = 80,将 a2 = 5 代入，得 d=3(d = 3 舍去)，从而 a11 + a12+ a13 = 3a12= 3(a2 + 10d) = 3 x (5 + 30) = 105.二、填空题9 .若数列an满足al + 3a2+32a3+3n1an=,则数列an的通项公式为解析：当 n2 时，由 a1 +3a2+32a3+ 3n1an=,得 a1+3a2+ 32a3+- + 3n-2an-1=,两式相减得3n 1an=-=,贝U an =.当n= 1时，21 =满足an=,所以an=.答案：an= 31-3n10 .数列an的前n项和为Sn,若Sn= 2a

17、n1,贝U an=.解析：: Sn= 2an1,.Sn 1=2an- 1-1(n2),得 an=2an 2an1,即 an = 2an 1. S1=a1 = 2a11,即 a1 = 1,.数列an为首项是1,公比是2的等比数列，故 an = 2n 1.答案：2n-111 .已知数列an中，a2n=a2n1 + ( 1)n , a2n+1 = a2n + n, a1 = 1,则 a20解析：由 a2n=a2n1 + ( 1)n ,得 a2na2n 1 = ( 1)n ,由 a2n+ 1 = a2n+ n,得 a2n+ 1 a2n= n,故 a2 a1 = 1, a4 a3=1, a6-a5= 1

18、,，a20-a19=1.a3a2=1, a5 a4= 2, a7 a6= 3,，a19 a18= 9.又 a1 = 1,累加得：a20=46.答案：4612 .数列an为正项等比数列，若 a3=3,且 an+ 1 =2an+3an 1(n 2, n6 N*), 则此数列的前5项和S5=.解析：设公比为 q(q0),由 an+1=2an+ 3an1,可得 q2 = 2q+3,所以 q = 3, 又a3=3,则a1 = ,所以此数列的前5项和S5=.答案：等 3三、解答题13 .已知在等差数列an中，a3=5, a1 + a19=18.(1)求公差d及通项an;(2)求数列an的前n项和Sn及使得

19、Sn取得最大值时n的值.解：(1) va3= 5, a1 + a19=18,. an= 11 2n.(2)由(1)知，Sn= = = - n2+10n= (n5)2+25,.n=5时，Sn取得最大值.14 .已知数列an满足+ + + + = n2+n.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn=,求数列bn的前n项和Sn.解：(1) .+ + + + = n2+n,当 nA2 时，+ + + - + = (n1)2+n1,两式相减得=2n(n 2)，.= an=n - 2n+ 1(n 2).又丁当 n= 1 时，=1 + 1,a1 = 4,满足 an=n 2n+ 1.an= n 2n+ 1.(

20、2) vbn= n( 2)n,.Sn= 1X(2)1 +2X( 2)2+ 3X(2)3+ nx( 2)n.-2Sn= 1X( 2)2 +2X( 2)3 +3X( 2)4 + + (n 1) 2( 2)n + n( -2)n + 1,两式相减得 3Sn= ( -2) + (-2)2 + (-2)3 + ( -2)4 + + ( -2)n -n( -2)n + 1 = n( 2)n + 1 = n( 2)n + 1 =,= Sn=.高考研究课（一）等差数列的3考点一一求项、求和及判定 全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度等差数列通项5年6考求通项或某一项等差数列前n项和5年5考求项数、求和等差数

21、列的判定5年2考判断数列成等差数列或求使数列成等差数列的参数值11 n等差数列基本量的运算典例(1)设Sn为等差数列an的前n项和，若a1 = 1,公差d = 2, Sn+ 2- Sn= 36,贝U n =()A. 5B. 5C. 7D. 8(2)(2016 .全国卷H )Sn为等差数列an的前n项和,且a1=1, S7= 28.记bn = lg an,其中x表示不超过x的最大整数，如0.9 =0, lg 99 =1.求 b1, b11, b101;求数列bn的前1 000项和.解析(1)法一：由等差数列前n项和公式可得Sn+ 2-Sr (n + 2)a1 + d- = 2a1 + (2n +

22、 1)d = 2+ 4n+ 2 = 36,解得n= 8.法二：由 Sn+ 2 Sn= an + 2 + an+1 = a1 + a2n+ 2=36,因止匕 a2n+ 2 = a1+(2n + 1)d=35,解得 n = 8.答案：D(2)设数列an的公差为d,由已知得7+21d=28,解得d=1.所以数列an的通项公式为an=n.b1 = lg 1 =0, b11=lg 11 =1, b101=lg 101 =2.0, 1n 10,因为bn =1, 10n 100,2, 100n0.设an的前n项和为Sn,a1 = 1, S2- S3= 36.(1)求 d 及 Sn;(2)求 m, k(m,

23、k6N*)的值，使得 amn+ amn+ 1 + am 2+ +am k=65.解：(1)由题意知(2a1+d)(3a1 +3d)=36,将al = 1代入上式解得d = 2或d = 5.因为 d0,所以 d = 2.从而 an = 2n1, Sn= n2(n 6 N*).(2)由(1)得 am am+ 1 +am+ 2 + + am k = (2m+ k 1)(k + 1),所以(2m+ k 1)(k +1) =65.由 m, k6N*知 2m+ k-1k+ 11,m m mr-T / t-t m= 5 ,故解得I , k = 4.即所求m的值为5, k的值为4.7|等差数列的判定与证明典例

24、已知an是各项均为正数的等比数列，a11 = 8,设bn=log2an ,且b4 = 17.(1)求证：数列bn是以一2为公差的等差数列；(2)设数列bn的前n项和为Sn,求Sn的最大值.思路点拨(1)利用等比数列以及对数的运算法则，转化证明数列 bn是以一 2为公差的等差数列；(2)求出数列的和，利用二次函数的性质求解最大值即可.解(1)证明：设等比数列an的公比为q,贝U bn + 1 bn=log2an + 1 log2an = log2 = log2q ,因此数列bn是等差数列.又 b11 = log2a11 =3, b4=17,所以等差数列bn的公差d= = 2,故数列bn是以一2为

25、公差的等差数列.(2)由(1)知，bn = 25-2n,则 Sn= = = n(24 n) = (n 12)2 + 144,于是当n=12时，Sn取得最大值，最大值为144.方法技巧等差数列判定与证明的方法方法解读适合题型定义法对于n2的任意自然数，anan1为同一常数？an是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an 1= ch + an 2(n3, nCN)成立？ an是等差数列通项公式法an=pn+q（p, q为常数）对任意的正整数 n都成立? an是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证 S = An2+Bn（A, B是常数）对任意的正整数 n 都成立？ an是等差数列即时演

26、练1. （2016 浙江高考）如图，点列An , Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn + 1|=|An + 1An+ 2 , An?An+ 2, n6N*, |BnBn+1| =|Bn + 1Bn+ 2 , Bn?Bn+ 2, n6N*（P#Q表示点P与Q不重合）.若dn=|AnBn|, Sn为AAnBnB肝1的面积，则 （）A. Sn是等差数列B. S是等差数列C. dn是等差数列D. d是等差数列解析：选A由题意，过点 A1, A2, A3,，An, An+1,分别作直线 B1Bn + 1的垂线，高分别记为h1, h2, h3,，hn, hn+1,，根据平行线的性质，得 h1, h2,

27、 h3,，hn, hn+1, 成等差数列，又 Sn= x |BnBn+1| x hn, |BnBn+1| 为定值，所以Sn是等差数列.故选A.2. （2017 全国卷I ）记$门为等比数列an的前n项和.已知S2= 2, S3= -6.（1）求an的通项公式；（2）求Sn,并判断Sn+ 1, Sn, Sn+ 2是否成等差数列.解：（1）设an的公比为q.a1由题设可得Ja11 + q =2,1 + q + q2 = - 6.解得a1 = -2, q=- 2.故an的通项公式为an = (2)n.(2)由(1)可得 Sn= -2 J-J 2 n 12=H ( 1)n.j 2n c 2 c /、2

28、n+3 2n+ 2由于 Sn+ 2+Sn+ 1 = +( 1)n3 =2= 2Sn,故Sn+ 1, Sn, Sn+ 2成等差数列.等差数列的性质典例(1)已知等差数列an的公差为d(d#0),且a3 + a6+a10+ a13=32, 若amn= 8,则m的值为()A. 8B. 12C. 6D. 4已知数列an , bn为等差数列，前n项和分别为Sn, Tn,若=，则=()A.C.11D石(3)(2018 天水模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S1O 10, S20= 30,贝U S3O.解析(1)由 a3+a6+ a10+a13=32,得(a3+ a13)+(a6+a10) = 32

29、,得 4a8 = 32,即 a8= 8, m= 8.(2)因为an , bn为等差数列,且=, 所以=.(3) .610, S20- S10, S30- S20 成等差数列， 2(S20-S10) = S10+ S30- S20, .40= 10+ S30- 30, /. S3O 60. 答案(1)A (2)A (3)60 方法技巧一一一一一一一一一一一一至1薮而乐面一一一一一一一一一一一一一一一一 |(1)项的性质|在等差数列an中，am-an=(mn)d? =d(m?n),其几何意义是点(n , an),(m, am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.(2)和的性质在等差数列an中，Sn为

30、其前n项和，则S2n= n(a1 +a2n) = n(an + an+ 1); S2n 1 = (2n-1)an.一IpW演练了一”-”一”-”一“”-”一“”-”一“”-”一“”-”一“”-“一”一“一“-1. (2018 岳阳模拟)在等差数歹U an中，如果a1 + a2=40, a3+ a4= 60,那么 a7+a8=()A. 95B. 100C. 135D. 80解析：选B由等差数列的性质可知，a1 + a2, a3+a4, a5+a6, a7+a8构成 新的等差数列，于是 a7+ a8= (a1 + a2) + (4 1)(a3 +a4)-(a1 +a2) =40+ 3X20 = 1

31、00.2. (2018 广州模拟)已知等比数列an的各项都为正数，且 a3, a5, a4成等 差数列，则的值是()A.B-C.D.3解析：选A设等比数列an的公比为q,由a3, a5, a4成等差数列可得a5= a3+a4,即 a3q2= a3+ a3q,故 q2q1 = 0,解得 4 =或 q =(舍去)，所以=.3.若两个等差数列an和bn的前n项和分别是 Sn, Tn,已知=,则+ =解析：.数列an和bn都是等差数列,LU3答案：翳等差数列前n项和的最值等差数列的通项an及前n项和Sn均为n的函数，通常利用函数法或通项变 号法解决等差数列前n项和Sn的最值问题.典例等差数列an中，设

32、Sn为其前n项和，且a10, S3= S11,当Sn取得 最大值时，n的值为.解析法一：用“函数法”解题由 S3= S11,可得 3a1 + d=11a1 + d,即 d= 一a1.从而 Sn= n2+n= (n7)2 + al,因为a10,所以一0,an+1 0,a1+ n 1-占1 0, 13a1 + n a1 130, d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm | ;|当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.|许同窟维一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一 一1. (2018 潍坊模拟)在等差数列an中,a1=29, S10= S20,则数列an的前n项和Sn的最大值为

33、（）A. S15B. S16C. S15 或 S16D. S17解析：选 A .a1 = 29, S10= S20, 10a1 + d = 20a1 + d,解得 d= 2, . Sn= 29n+x（-2）=- n2+ 30n= （n 15）2 + 225. 当n=15时,Sn取得最大值.2.已知an是等差数列，a1 = 26, a8+a13 = 5,当an的前n项和Sn取最 小值时，n的值为（）A. 8B. 9C. 10D. 11解析：选B设数列an的公差为d, a1 = 26, a8+a13 = 5, 26+7d 26+12d = 5,解得 d = 3, . Sn= 26n+ x 3= n2-n = 2-, an的前n项和Sn取最小值时，n = 9.3.已知an是各项不为零的等差数列，其中 a10,公差d0, a60,公差d#0,前n项 和为Sn（n N*）,有下列命题：若S3= S11,则必有S14= 0;若S3= S11