余弦定理教学设计

1、余弦定理教学设计一、教学背景分析“余弦定理”是高中课程实验教科书人教A 版（必修5）第一章“解三角形” 的主要内容之一， 是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一， 也是初中“勾股定理” 内容的直接延拓， 它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用， 是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、 生活实际 问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“余弦定理”教学的第一节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。二、 学情分析有利因素： 学生已经学习了三角函数、 向量的基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。不利因素：

2、结合学生的认知水平和心理特征， 总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度。三、教学目标知识与技能：1. 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法2. 会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题过程与方法：1. 利用向量的数量积推出余弦定理2. 经历余弦定理的证明过程，培养学生的自主探究能力情感态度与价值观：通过三角函数、 余弦定理、 向量的数量积等知识间的关系， 来理解事物之间的普遍联系与辩证统一, 激发学生的学习兴趣。四、教学重点、难点1 . 重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用2 .

3、难点：向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程余弦定理在解三角形和判断三角形形状时的应用思路五、教学策略、教学手段分析及课前准备1、教法：教师充分利用多媒体资源优化课堂教学，从已有知识出发，提出新 的问题让学生去探索，去发现，亲身感触知识发生发展过程，激发学生学习的兴 趣，并通过让学生实践、总结等活动来使学生掌握知识，培养能力。2 .学法：提出问题一自主探究一教师指导归纳总结。以学生为主体展开 课堂，学生亲身感受不懂到懂、不能到能、不会到会的过程。3 .教学手段：借助多媒体及板书展示，让学生理解并运用余弦定理。4 .课前准备教学用具：多媒体教室教学资源：多媒体课件六、教学过程活动

4、步骤教师活动学生活动设计意图划、节一：复习 回顾1.提问：(多媒体展示) (1)正弦定理的内容是 什么？(2)通过正弦定理能够 解决两类解二角形问题, 分别是什么？2、教师关注学生的回应学生回答问题。回顾旧知识，为学生进一 步探索“余弦定理”新知 识作铺垫。及知识掌握情况。3、学生回答后教师用多 媒体展示答案。划、节 二提 出问 题提问：1 .除了这两类解三角形 问题，我们还能够解决其 它的解三角形问题吗？例如，已知三角形的两边 及其夹角能否解二角形； 已知三角形的三边能否 解三角形？（板书）（引导：根据全等三角形 的判定定理，我们可以发 现这两类情况确定的三 角形是唯一的，因此这两 类三角形

5、可以求解）2 .这两类解三角形问题 该怎样求解？学生思考并回答 问题。让学生学会提出问题，分 析问题。划、节探究 发现-新 课理 论讲 述引语：要解三角形，需 要知道二角形的六个元 素。对于第一类问题，显 然需要求出第三边和其 他两个角，选择先求第三 边1.通过正弦定理的学习 我们发现可以利用从特 殊到一般的数学思想方 法去思考问题。从最特殊 的三角形直角三角形入 手（板书作图），发现勾 股定理可以解决问题。（板书）1.在对教师的讲 解有了一定的理 解后，学生自主 验证已知其他两 边及其夹角也能 求第三边。1 .学生自主动手实践、探 究新知，使学生亲身经历 将感性认识逐渐上升为理性认识的过程，

6、更能有 益于学生的迅速接受和 思维的发展。2 .体验数形结合思想的 应用，加强学生应用数学 思想的能力，培养学生转 化与全面思维能力。帮助学生更多形成对事物的 理性认识。3 .通过自主探究，教师从 旁适当点拨，激发学生思 考，点燃学生勇于探索智 慧的火花，真正达到学为2.对于钝角三角形和锐角三角形，第三边可以求吗？（由直角三角形的启发，将第三边放到直角三角形里）多媒体展示过程余弦定理得出 c2 a2 b2 2ab co222b a c -2 ac cos2 ,22八，ab c 2 bc cos（板书）3 .有没肩其他的证明方法？（平向几何中的长度问 题口以用平向向量中的 向量模长解决）向里法（

7、多媒体展小）坐标法（多媒体展示）4 .观察余弦定理，思考余 弦定理有何特征？（多媒 体展示余弦定理）5 .通过余弦定理可以解 决已知两边及其夹角求 第三边的问题，那么对于 已知三边解三角形的问 题又该怎样做？s2c认识余弦定 3BoA3 .理解向量法和 坐标法对余弦定理的证明。4 .学生观察并思 考（三角形任意一 边的平方等于其 他两边的平方和 减去这两边与其 夹角余弦的的乘主，教为辅。4.使学生在探究中，体验 成功的喜悦，增强自身参 与的积极性。2 J-a b c cosC 2ab22.a c b cosB2ac.222cosA b：_a.2bc（板书及多媒体展示）6 .观察这六个式子，它们

8、 有什么特征？可以怎样 记忆？（教师提供记忆方 法），每个式子中肩几个 量？可以解决“知二求一”问 题7 .勾股定理与余弦定理 互为特殊和推广（教师引 导学生从余弦定理出发 判断角的情况）。2积的2倍）。25、学生回答：禾 用余弦定理求 角。6学生思考并回 答：有“平方、 夹角、余弦、乘 积”，后四个量。7.理解并能够证 明，进而能够判 断三角形形状。划、节 四： 实践 应用例1:（自制题）在已知 ABC 中a 1,b 2,C 60o，求 c 边长。（师生分析属于第一类 问题，可利用余弦定理）教师用板书展示标准解 答过程。（艾式）解二角形（注意求角的/、同方法）例2:（自制题）在已知 ABg

9、a 1,b 2,c 芯,解三角形。1.看例1,分析 问题类型寻求解 决方法，在教师 的引导下完成解 题过程。2.对父式中涉及 到的求角问题思 考方法，并体会 /、同方法的优缺 点。3.自主完成例 2,巩固加深理论 理解与记忆，培 养自主应用能 力。4.对应老师的点 拨纠正错误并标1 .例1主要用于检测学生 对上述理论知识的掌握 情况，让学生初步感触应 用数学抽象知识解决问 题的快乐。2 .例2主要使学生初步尝 试自主利用对所学知识 理解和掌握灵活应用与 转化理论思想解决实际 问题，增强学生思维的灵 活性及学生对转化思想 的应用能力。3 .成果检测题主要是为 了让学生进一步感触数 学理论解决实际

10、问题的 好处与快乐，巩固对知识 的掌握和记忆。学生板书展示成果检测：学生独立做练 习题（教师不讲，抽检学 生掌握情况，并点拨错误 即可）练习：1 .在已知 ABC中c 1,b 衣A 45o，求第三边长。2 .在已知 ABC中c 8,b 7,a 2,判断三角形形状能力拓展题：在已知 ABC中，a2 c b2 ab,求角C。记待课后整理。4.能力拓展旨在培养学 生分析问题，解决问题能 力。培养学生发散思维和自主探究的兴趣。划、节 五： 课堂 小结（学 生完 成）1 .总结性提问本节课主要学习了哪些 内容？（多媒体展示学习内容）2 .通过本节课的学习我 们已经将正弦定理和余 弦定理学完，那么利用它

11、们我们能够解决哪些问 题呢？（可见利用正弦定理和 余弦定理解三角形，必须 已知三角形的一条边。已 知三个角无法解三角形， 为什么呢？）1 .用简洁明了的 语言与文字回答 老师提问问题。2 .积极观看多媒 体上的内容小 结。3 .思考并回答问 题。1 .小结旨在对本节课新知 进行回忆与巩固，同时也 为学习水平较低学生提 供了再次学习理解的机 会，基本达到保证大部分 学生学生效果的目的。2 .主要由学生完成归纳总 结，可以帮助教师及时发 现学生问题、及时给予纠 正问题。培养学生自主归 纳概括、交流合作的能 力。划、节 六： 作业 布置对应性练习作业：1 .课后练习2 .导学案对应习题对应性练习：学

12、 生回豕独乂元 成。对应性练习旨在将课堂 学到的理论性知识进一 步内化为学生解决问题 的能力，也从心理上更好 地帮助学生加深知识印 象。七、教学反思1 .通过提出问题，分析问题，解决问题这样的教学过程，培养学生思考问题， 分析问题解决问题的能力，但是由于学生能力较差，所以难以达到预期的效果。2 .在建构“余弦定理”后，并没有把余弦定理的推论直接呈现，而是通过已知三边求角问题的解决，让学生自主探究出推论，通常在一个三角形中，只要有三个关于边角的已知条件（三个角除外），就可以解三角形。充分体现正弦定理与 余弦定理在解三角形问题上的一般价值。3 .数学的课堂不应该是结论的简单运用， 研究问题方法应比问题结论更有价值。一般来说，结论（余弦定理）只呈现问题的形式，而研究的方法（向量等式的数 量化）则呈现问题的本质。4 .实际教学中的困惑：9由于学生的能力较差，因此对于如何在学生主体地位与教师主导作用之间寻找平衡点存在着困惑。例如在平时的教学过程中，给学生自主探究的空间，有时却意外频频，导致无法完成教学任务。怎样在学生的主体地位得到充分的保证的前提下确保课堂教学任务的顺利完成？八、板书设计一.提出问题1 .已知两边及其夹角2 .