12.6双曲线的性质(一)

1、12.6 双曲线的性质 教学目标：（1 研究双曲线的基本性质；（2 讨论渐近线的双曲线；（3 能利用性质解 决实际问题 教学重点：双曲线的性质. 难点：双曲线的渐近线与双曲线的位置关系.一.知识链接 1. 1.双曲线 14 2 y x 的焦点坐标是 双曲线上一点 P 到左焦点距离为 3 那么 P 到右焦点距离为 2.双曲线 19 2 2 m x y 的焦距是 8,则 m= 3.椭圆有哪些几何性质？ 说明讨论双曲线的几何性质与讨论椭圆的几何性质，方法是相同的，这部分 的内容可 以采用类比的方法，让根据研究椭圆性质的方法类比双曲线的性质，得到 一些结论并加以研究. 、新知探究：1.概念辨析以双曲线

2、标准方程 12 22 2=- b y a x , 0(2 22 +=a c b a c 为例进行说明. 1. 范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线 在两 条直线 a x =勺外侧. y * 1 、 / ( . 1 Fl 4 从双曲线的方程如何验证？ 2. 对称性:双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心 .顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点 .(结合图形，所以令 0 =y 得 a x =因此双曲线和 x 轴有两个交点 0, ( 0, (2a A a A -,它们是双曲线 12 22 2=- b y a x 的 顶点,对称轴上位于两顶点间的线

3、段 21A A 叫做双曲线 12 22 2=- b y a x 的实轴长,它的长是 2a , a 把线段 21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是 2b , b 归纳:顶点:(0, , 0, (21a A a A -特殊点:(b B b B -, 0, , 0(21 实轴:21A A 长为 2a , a 叫做半实轴长.虚轴:21B B 长为 2b , b叫做虚半轴长. 双曲线只有两个顶点，与椭圆的又一差异 作 x 轴、y 轴的平行线 b y a x = =, x a b y 定义:如果有一条直线使得当曲线上的一点 M 时，点 M 的渐近线；漫漫长路无 交点”直线 xa b y =与双曲线 12

4、22 2=- b y a x 在无穷远处是否相交？（证明见课本 P58 渐近线：经过 2121B B A A、 求法:在方程x b 12 22 2=- b y a x 中，令右边为零，则 02 22 2=- b y a x ,得渐近线方程 0( ( =+ b y a 2 二入入 y x 当 0入时焦 b y =；若方程为 12 22 2=- b x a y，则渐近线方程为 x b a y 三、问题拓展 (一等轴双曲线 1、定义:若 a=b2、方程:222a y x =-或 222a x y =-. 3、等轴双曲线的性质:(1 渐近线方程为:x y = (2 渐近线互相垂直 几个 性质与定义式彼

5、此等价.3 等轴双曲线方程可以设为：0(2.注意以上 22 2=- 点在 x 轴，当 0入时焦点在 y 轴上. 匚共轭双曲线 1、定义:以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共 轭双曲线.2、方程:(1 12 22 2=- b y a x 的共轭双曲线为 12 22 2=- a x b y ; 122 1x y a x a y 的共轭双曲线为 12 22 2-=- b x a y ; 3、性质:有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆； (三共渐近线的双曲 线系方程 即：双曲线 222 2 x y a b =(0 入与双曲线 222 =有共同的渐近线. 四例题分析 1.

6、 写出双曲线 14416922=-y x 的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标 和渐近线方程 2. 已知双曲线过点（3, 4P ,它的一条渐近线的方程为 x y 2 1=,求双曲线的标准方程； 3. 双曲线的渐近线方程为 x y 2 1 土,且焦距为 10,求双曲线方程. 五、课堂小结双曲线 12 22 2=- b y a x 的范围、对称性、中心、 顶点、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线; 注意:双曲线 12 22 2=- b y a x 的渐近线是 x a b y =，但反过来此渐近线对应的双曲线则是 入=2 22 b y a x .六、课后巩固 1. 如果中心在原点，对称轴在坐

7、标轴上的等轴双曲线的一个焦点为 此双曲线的标准方程； 2. 求以 x y 3 =为渐近线，一个焦点是 F (0, 2 的双曲线方程. 3. 求中心在原点，适合下列条件的双曲线的标准方程(6, 01-F ,求 116 9 （1 顶点在 x 轴上，两顶点间的距离是 10,且经过点（310, ;、 （2 一个焦点坐标为 （0, 5,条渐近线方程为 043=-y x。 4. 已知双曲线的中心在原点，焦点在 y 轴上，并且双曲线上两点 21, P P 的坐标分 别为 （24, 3-, ? ? ? 5, 4 9,求该双曲线的标准方程； 5. 设双曲线 1C : 12 22 2=- b y a x ； （1 求双曲线 1C 的共轭双曲线 2C 的方程；（2 求证:双曲线 1C 和它的共轭双曲线 2C 的四个焦点在同一圆上。 6. 若双曲线的中心在坐标原点，它的一个焦点的坐标是（05,-,两个顶点的距离 为6,则此双曲线的方程是（A2 y x (B 111 36 2 2 y x (C 19 16 2 16 2 2 x (D 136 11 2 2 y x 7 在下列双曲线中以 x y 2 1 =为渐近线的是( (A 14 2 x (B 116 4 2 2 y x (C 12 2 2 =-y x (D 12 2 x 8.已知双曲线 8222 二 y x，求（1